风险规避供应链的最优两部定价契约

代建生

(昆明理工大学管理与经济学院,云南昆明650093)

风险规避供应链的最优两部定价契约

代建生

(昆明理工大学管理与经济学院,云南昆明650093)

在双边道德风险下,研究了制造商和销售商均风险规避且都具有一定谈判能力下的最优两部定价契约.发展了一种方法来求解最优契约参数,并考察了渠道成员的风险规避、谈判能力和保留效用,以及市场需求波动等外生变量对契约参数的影响,研究表明:最优批发价格随制造商风险规避程度增大而下降,随销售商风险规避程度增大而上升.刻画了市场需求波动影响最优批发价格的临界条件.最后利用数值算例验证了结论的有效性.

供应链管理;两部定价;风险规避;纳什谈判;双边道德风险

1　引　言

两部定价由线性分成比例(在供应链合约实践中常以批发价格形式出现)和固定转移支付组成.通过两部定价机制,渠道成员可得到供应链纵向整合的最优结果并实现利润在参与者之间的任意分配.两部定价契约具有许多优点,相对于单一价格契约,两部定价契约更有效率[1-2];相对于数量折扣契约,在一定条件下,两部定价契约对制造商更为有利[3].这一契约机制在供应链合约实践中被广泛采用,比如,在连锁经营模式中,加盟商除了按批发价格向总部订购商品外,还向连锁总部支付加盟费和(或)管理费用,这些费用是加盟店给予连锁总部的单边转移支付;一般品牌制造商欲进入沃尔玛或家乐福等零售巨头的销售渠道时,除了按批发价向零售巨头供给商品外,通常要缴纳进场费、赞助费、场地使用费等多种费用,这些费用在本质上是制造商向销售商的单边转移支付.

对两部定价契约已进行了大量的研究,其中一簇重要的文献关注于如何设计最优契约来改善系统的运行效率[4-7].Giannoccaro和Pontrandolfo[4]针对渠道合作中的机会主义行为,讨论了如何设计最优两部线性契约来激励成员加大投入,促进渠道协作.Jeuland和Shugan[5]从制造商的角度考察了如何通过两部定价机制实现供应链纵向整合的最优结果.刘京军和梁建峰[6]考虑离散投资环境中,基金投资委托人如何运用最优线性契约来激励管理人.于丽萍等[7]考察了制造商以提供商业信用、零售商以广告形式进行合作的最优两部定价契约设计.

上述文献是在无道德风险或单边道德风险背景下对两部定价契约进行的研究.事实上,无论是制造商还是销售商,由于彼此信息的不对称,都有搭便车的激励,因而存在双边道德风险问题.一些文献在这一背景下对两部定价契约进行了研究[8-12],得到一个基本结论:在双边道德风险下,两部定价契约通常不能实现系统的帕累托最优.这些文献假定合作一方毫无谈判能力,这很具限制性.比如,当电器销售巨头国美或苏宁面对电器生产巨头海尔或长虹时,任何一方都不可能拥有完全的谈判能力,以至于可以提供一个要么接受要么拒绝的合约供另一方选择.张钦红和骆建文[13]以及孟卫东等[14]在渠道双方都具有一定谈判能力且存在双边道德风险的假定下探讨了供应链的激励和协调问题.

前面有关双边道德风险的文献假定渠道成员风险中性,在这种情形下,只要市场需求的期望值不变,其波动大小对渠道成员的效用及策略选择就没有影响,因而最优契约参数与市场需求波动大小无关,但这与现实观察是不符的.事实上,决策者的行为往往表现出某种风险规避的特性[15-16].直觉上,如果渠道成员风险规避,即使市场需求期望保持不变,只要需求波动大小发生变化,既定契约安排下渠道成员的效用必然发生改变,因而渠道成员有改变策略选择的激励,这意昧着供应链的最优契约在不同需求波动下是不同的.已有研究指出:相对于风险中性者,风险规避者的行为更保守,因而市场需求不确定对契约设计有重要影响[17-19].渠道成员的风险规避对两部定价契约有何影响呢?本文力图回答这一问题.

本文在双边道德风险下考察渠道成员风险规避、市场需求波动和相对谈判能力对最优两部定价契约的影响.技术上,使用指数效用函数来描述渠道成员的风险偏好,这一效用函数在金融和运营等管理文献中得到广泛运用[6,19-22],同时使用纳什谈判解来讨论渠道利益的分配和谈判问题,这一方法在经济和运营文献应用较为普遍[13,14,19,23,24].与本文最相关的研究是孟卫东等[14],他们在双边道德风险下考察了渠道成员通过纳什讨价还价确定利益分配下的两部定价契约设计问题,但他们假定渠道成员是风险中性的,本文讨论的是渠道成员风险规避的情形.Gan等[19]与本文的研究也是相关的,他们运用指数效用函数和纳什谈判解,考察了风险规避供应链的协调和谈判问题,但他们没有考虑渠道促销问题,也不关注两部定价契约.

2　渠道合作模型

制造商和销售商进行渠道合作,制造商负责产品的生产,销售商负责产品的销售.为了简化分析,本文仅考察市场价格外生给定下的利益分配问题.不失一般性,将商品价格与单位生产成本的差设为1.商品实现的收益只依赖于商品销量,商品销量与质量改进和促销力度有关,同时受到不确定因素的影响.商品的质量改进由制造商负责,并由其投入水平e1确定;而促销由销售商负责,促销力度由销售商的投入水平e2来刻画(在本文中,用下标1来指代制造商,下标2指代销售商).商品销量Y是双方投入水平的函数

其中ei∈[0,∞),函数f的Hesse阵处处负定且;随机变量ε～N(0,σ2),其中σ2反映了市场需求的波动大小.

为了实现渠道协作,渠道双方通过谈判达成以下分成契约:渠道成员i所得收入为Yi=ti+wiY,其中t1+t2=0,w1+w2=1且wi≥0.wi为线性分成比例,ti为固定转移支付,可正可负.

质量改进或促销过程中产生的成本记为ci(ei),它关于ei二阶可导且严格凸增.成员i从渠道合作中实现的利润为Yi-ci(ei).渠道成员具有不变的绝对风险偏好(CARA),其效用函数为

其中ri＞0为成员i的绝对风险规避系数.注意到ε～N(0,σ2),渠道成员i的期望效用可表述为

令r12=r1/r2,它表示渠道成员的相对风险规避程度:r12＞1表示制造商更加风险规避,r12＜1表示销售商更加风险规避.

渠道成员拥有参与或不参与渠道协作的自由,成员i的保留效用设为u0i.质量改进和促销的投入不可相互观察,或者可观察但不能被第三方所证实,因而存在双边道德风险.给定契约安排,渠道成员总是选择能使自身效用最大化的投入水平.渠道双方通过谈判确定渠道收益的分配,设τi为成员i的谈判力因子,满足0≤τi≤1且τ1+τ2=1.合作双方按纳什谈判解分享合作剩余,并选择保留效用作为谈判威胁点,技术上要求纳什积函数最大化.综上,供应链面临以下问题(P1)[25]

式(3)表示供应链选取最优两部定价契约和投入组合以最大化纳什积函数.式(4)为IR约束,成员参与渠道协作所得期望效用不小于各自的保留效用,否则它将退出渠道协作.特别地,由于渠道成员拥有参与自由,所有渠道成员的个体理性约束都必须得到满足.式(5)为IC约束,由于行动的不可观察,合作各方追求自身期望效用的最大化.式(6)和式(7)为BB约束,合作剩余完全在合作双方之间进行分配.式(8)为非负约束,它是对利益份额取值为正的规定,这一限定与两部定价契约实践是相符的.

3　模型分析

3.1最优线性分配比例

式(5)的一阶最优条件为

用式(9)替代式(5),将相应的规划记为P2.特别地,P1与P2有同解,因为E[ui]关于ei是严格凹的,IC约束的一阶必要条件也是充分条件[26].

命题1P2的解也是P3的解.

根据命题2,要求解P2,总可先求解P3,找出解的前四个分量,再根据P2目标函数极大化的要求求解后两个分量.下面来求解P3.为了推导的方便,令F(e1,e2,w1,w2)=(F1(e1,e2,w1,w2),F2(e1,e2,w1,w2)),其中.由式(9),有

其中0表示分量为0的二维行矢量.

对F(e1,e2,w1,w2)求关于e1和e2的一阶偏导数,有

由成本函数的凸性和生产函数f的Hesse阵的负定性,矩阵A的行列式|A|≥0.特别地,当f严格负定或成本函数严格凸时,|A|＞0,则A-1存在,后文总是在这一假定下进行讨论.这一设定并不具有很大的限制性,它包括了文献中经常使用的两类函数族:①f是线性的,但ci(ei)是严格凸的,如;②f是严格凹的,但ci(ei)是线性的.

方程(10)隐含地确定了e1与e2关于w1和w2的函数关系

根据隐函数定理,有

将式(11)代入P3的目标函数,将其简记为W(w1,w2).求解P3,先不考虑IR约束(事后进行检验),如此,约束式(7)将变得无关紧要(命题2);且根据式(9),有wi＞0,故非负约束式(8)得到满足.综上,P3简化为在约束式(6)下极大化W(w1,w2),其关于w1和w2的一阶最优条件为

将式(9)和式(12)代入式(13)和式(14),并利用式(6),有式(15)和式(6)隐含地确定了wi与参数r1、r2和σ2的函数关系.令wi=w*i满足式(6)和式(15),借助式(9)可解出e*i.因式(15)不含变量τ1和τ2,故在P1、P2和P3的解中,(e*i,w*i)与谈判力因子无关.孟卫东等[14]在风险中性假设下指出最优线性分配比例与谈判能力无关.根据前面的讨论,这一结论在风险规避假设下仍然成立.

定理1.在渠道协作中,1)当市场需求确定时,最优线性分配比例与渠道成员的风险规避程度无关.2)当市场需求波动时,一方所得线性分配比例随自身风险规避程度增加而减小,随对方风险规避程度增加而增大;市场需求波动对分配比例的影响依赖于双方相对风险规避程度的大小:当rjw*j＞riw*i时,渠道成员i所得最优线性分配比例随市场需求波动的增大而上升;当rjw*j＜riw*i时,渠道成员i所得最优线性分配比例随市场需求波动的增大而下降.

证明1)由式(15)可知,当σ2=0时,wi与风险规避系数r1和r2无关,即当市场需求确定时,(e*i,w*i)与双方的风险规避程度无关.

2)P3的目标函数可视为w1与r1、r1和σ2的函数,不妨将P3的目标函数重新表述成

由Topkis[27]的定理3.2和Amir[28]的引理1,在P3的目标函数H(w1;r1,r2,σ2)中,内生变量w1与外生变量r1是子模的,变量w1与r2是超模的;当rjwj＞riwi时,w1与σ2是超模的,否则是子模的.由Topkis[27]的定理6.1和Amir[28]的定理9,有,当rjw*j＞riw*i时,;当rjw*j＜riw*i时,. P3的目标函数也可表示为H(w2;r1,r2,σ2),上面的讨论同样适用.证毕.

当市场需求确定时,最优线性分配比例与渠道成员风险规避程度无关,这一结论是显然的.当市场需求波动时,一方所得线性分配比例随自身风险规避程度增加而减小,随对方风险规避程度增加而增大,这一结论也是符合直觉的,因为在两部定价契约中,固定转移支付部分相当于确定性资产,而与线性分配比例相对应的收益是风险性资产.当某一渠道成员变得更为风险规避时,通过减少其风险性资产在资产组合中的配比,能改善整个系统的效率.市场需求波动对线性分配比例的影响更为复杂,不能依靠直觉得到,定理1刻画了市场需求波动如何影响最优线性分配比例的临界条件.

前文将市场价格与单位生产成本的差模型化为1,因而制造商的线性分成比例w1可解释为批发价格(两者至多相差一个常数项).定理1提供了以下管理洞见,第一、当渠道一方变得更加厌恶风险时(如经历某一灾害而遭受了重大经济损失),有必要调整批发价格:如果制造商变得更加规避风险,批发价格应调减,反之,如果销售商变得更加规避风险,则应提高批发价格.第二、如果现有批发价格满足条件,当市场需求波动更大时,应提高批发价格,否则降低批发价格;如果,则执行相反的政策.特别地,如果制造商风险中性而销售商风险规避,市场需求波动越大,批发价格应越高;如果制造商风险规避而销售商风险中性,市场需求波动越大,批发价格应越低.

当渠道成员风险中性时,即当r1=r2=0时,式(15)可简化为

3.2最优固定转移支付

令u0i=1-exp(-v0i).命题2表明(t*1,t*2)是以下规划的解(记为P4),即

设λi是P4中与IR约束对应的拉格朗日乘子,构造P4的广义拉格朗日函数

对L求t1和t2的偏导,简单变形,得到

命题3.在P4的解中,当τi=0时,λi＞0;当0＜τi＜1时,λi=0.

当某一渠道成员毫无谈判能力时,与之对应的约束是绷紧的,这表明它参与合作所得收益正好等于保留收益,没能额外分享因合作产生的净剩余.当渠道合作双方的谈判力均不为零时,双方都将参与合作净剩余的分配.

由命题3及式(21),有

将式(2)代入上式,注意到t1+t2=0,有

上式隐含地确定了t1与v01、v02、τ1及τ2这四个变量的关系.注意到w*i和e*i与上述四个变量无关,运用隐函数定理,分别求t1关于v01、v02、τ1及τ2的偏导,可得以下结论.

定理2.在渠道协作中,各方所得固定转移支付随自身保留效用和谈判能力增大而增大,随对方保留效用和谈判能力的增大而减小.

一方保留效用增加,参与渠道协作的机会成本增加,谈判基点增大,因而要求增加转移支付.谈判能力增强,要求从合作剩余中分得的收益增加,由于线性分配比例不随谈判能力的变化而变化,因而要求转移支付增加.在商业实践中,当制造商(销售商)拥有新增的销售(供货)渠道,可能导致制造商(销售商)的保留效用增加.因此,供应链一方通过加强渠道建设,能获得对现有渠道伙伴的竞争优势.渠道成员通过品牌建设,增强经济实力和谈判技巧等,或者获得专利及独家经营权,有助于增大该成员在与现有伙伴合作中利益分配的谈判能力,从而获取更大的利益分配份额.

尽管P4的解必然满足式(22),但满足式(22)的解未必是P4的解,除非它还满足约束(19).下面来讨论这个问题.在最优线性分配比例下,为了确保渠道成员参与渠道合作而补偿给渠道成员的最低支付,称之为最低转移支付,如果补偿小于这个支付,渠道成员没有参与的激励,渠道合作无法达成.将成员i的最低转移支付记为,它满足,解之,得

命题4不仅提供了判定P4解存在的充要条件,而且给出了最优固定转移支付取值的边界:其下界使自己刚好获得保留效用,其上界使对方恰好获得保留效用.

4　数值分析

4.1最优线性分配比例的求解及敏感性分析

上一节给出了最优批发价格和固定转移支付满足的方程,但没有给出两个变量的显性解.事实上,方程(22)是一个关于ti的超越方程,没有解析解.为了进一步验证理论推导的正确性,以及进行更深入的探讨,本小节对上述模型进行数值分析.设某供应链由单一的制造商和单一的销售商组成,制造商负责生产商品并通过销售商进行销售.为了取得竞争优势,制造商投入成本e1改进产品质量,而销售商投入成本e2来加强市场营销.商品销量与渠道投入的函数关系为,其中a1,a2＞0,a1和a2的差异反映了渠道成员的投入对终端市场需求的不同影响.

由式(9),有

将约束(6)代入上式,解得

由ri≥0,有wi＞0,这表明非负约束(8)得到满足.

易验证上面的结果与定理1保持一致.

下面进行数值分析,除非特别说明,后文中的参数值设定为a21=10,a22=15,r1=1,σ2=1,v01= 1,v01=0.5.图1在四种不同的市场波动情形下绘制了w*1随r2的变化情况.在随机需求下,随着销售商风险规避程度的增加,制造商相对于销售商的风险规避程度递减,批发价格递增.由于商品收益是不确定的,这表明制造商承担了更多的风险;在确定需求下,批发价格与相对风险规避程度无关.图2反映了批发价格随市场波动程度的变化曲线.当a22r2＞a21r1时,批发价格随需求波动程度增加而增加;当a22r2＜a21r1时,批发价格随需求波动程度增加而减小,当a22r2=a21r1时,批发价格维持恒定.四条曲线在σ2=0时交汇于一点,当市场需求确定时,无论渠道成员的风险规避程度如何,最优批发价格保持不变.图1和图2都表明,市场需求波动越大,相对风险规避程度对批发价格的影响越大.

图1　w*1随r2的变化曲线Fig.1 The curve line of w*1with respect to r2

图2　w*1与σ2的变化曲线Fig.2 The curve line of w*1with respect to σ2

4.2最优转移支付影响因素分析

当r2=2时,由式(24)和式(25)可解得(e*1,e*2,w*1,w*2)=(0.509 9,1.127 7,0.451 6,0.548 4);运用公式(23)并借助数值算法可解得,由命题4,P4的解存在,且有.可类似计算r2为其它值的最低转移支付.图3绘制了t*1随τ12的变化情况:当τ12→0时,;当τ12→∞时,,其中t*1可正可负:当t*1＞0时,表示销售商向制造商支付渠道费用,比如加盟商向总部支付的管理费;当t*1＜0时,表示制造商向销售商支付渠道费用,比如制造商向沃尔码等零售巨头缴纳的进场费.从图3可知,当相对谈判能力差异极其显著时,t*1随τ12的变化趋近于收敛,其下界为,上界为-,其经济含义是:如果制造商相对于销售商毫无谈判能力,制造商只能获得保留效用;反过来,当销售商毫无谈判能力时,销售商只能获得保留效用.图4反映了σ2=3的情形,相对于图3,图4中t*1的上界和下界都被压缩,因为当市场波动增大时,风险规避的制造商和销售商的风险补偿增加,在IR约束下,双方的最低转移支付都将增大.图3和图4联合表明:当市场需求波动增加时,相对谈判能力对固定转移支付的影响将减弱.

图3　t*1随τ12的变化曲线(σ2=1)Fig.3 Effect of τ12on t*1(σ2=1)

图4　t*1随τ12的变化曲线(σ2=3)Fig.4 Effect of τ12on t*1(σ2=3)

给定参数τ12=5,图5反映了t*1随v01的变化情况:制造商的转移支付和保留效用具有正向线性关系.图6反映了相对风险规避程度与转移支付的关系:与谈判能力和保留效用有所不同,相对风险规避程度对转移支付的影响较为复杂,不再是单调变化的关系,而是显著地受到相对谈判能力的影响.

图5　t*1随v10的变化曲线Fig.5 Effect of v10on

图6　t*1随r12的变化曲线Fig.6 Effect of r12on

5　结束语

风险规避供应链的最优两部定价契约受到渠道成员风险规避程度、市场需求波动程度以及相对谈判能力等因素的影响.本文发展了一种算法可先求解最优线性分配比例,再确定最优固定转移支付,从而获得两部定价契约的最优解.研究表明,在确定需求下时,制造商与销售商的风险规避程度对批发价格没有影响.在随机需求下,渠道成员风险规避程度对最优批发价格施加重要影响;市场需求波动越大,其影响就越大.两部定价契约中的单边转移支付依赖于渠道成员的保留效用和谈判能力,一方的保留效用和谈判能力越大,获取的单边支付就越大.特别地,无论渠道成员是否风险规避,最优批发价格与谈判能力无关.

通过讨论,得到以下管理启示,当制造商变得更加规避风险时,批发价格应调减,反之,当销售商变得更加规避风险时,则应提高批发价格.如果现有的批发价格满足条件,当市场需求波动变得更大时,应提高批发价格,否则降低批发价格;如果,则执行相反的政策.通过加强渠道和品牌建设,增强经济实力和谈判能力,能取得对现有渠道伙伴的竞争优势,从而在渠道协作的利益分配中获益.

本文的讨论是在影响市场需求的随机变量服从正态分布下进行的,这一假设具有较大的限制性,下一步可在随机变量服从更一般的分布下对风险规避供应链的两部定价契约进行研究.

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附录 文中定理的证明

因此,在下面两式中,必有一个式子成立

不失一般性,假设前式成立.注意到P2与P3的解域是一样的,因此,也是P2的可行解.另构造P2的一个可行解,其中t1+t2=0,使得

用V来表示P2的目标函数值.式(F2)及式(F3)表明

(ii)设P2的解为(e*1,e*2,w*1,w*2,t*1,t*2),由命题1,它也是P3的解.用W来表示P3的目标函数,则有

即

故存在Δt,使得下面两式同时成立

因而它也是P2的解.证毕.

命题3的证明第一部分的证明.首先注意到ri＞0,而根据约束极值理论,又有λi≥0.不失一般性,设τ1=0,则有τ2=1,因λ2≥0,由式(21),必有λ1＞0.

命题4的证明必要性.要使P4有解,要求存在ti,使得,i=1,2,因为关于ti是严格增的,因而,i=1,2,BB约束要求

下证式(22)的解存在,令

Optimal two-part pricing contract of a risk-averse supply chain

Dai Jiansheng
(Faculty of Management and Economics,Kunming University of Science and Technology,Kunming 650093,China)

This paper studies the optimal two-part linear contract for a supply chain consisting of a manufacturer and a distributor who are risk averse with CARA risk preferences and have bargaining powers,in the presence of bilateral moral hazard.An approach is developed to solve the optimal two-part pricing contract parameters.It investigates the effect of the exogenous variables,such as risk aversion degrees,bargaining powers and reservation utilities of the channel’s member firms,and market demand variability,on the parameters of the optimal contract.It concludes that the optimal wholesale price decreases in the risk aversion degrees of the manufacturer and increases in that of the distributor.Furthermore,a threshold condition is characterized that can determine how market demand variability affects the optimal wholesale price.At last,validity of the conclusions is verified with a numerical example.

supply chain management;two-part pricing;risk aversion;Nash bargaining;bilateral moral hazard

C94;F274

A

1000-5781(2016)01-0066-12

10.13383/j.cnki.jse.2016.01.007

2013-05-21;

2013-12-05.

国家自然科学基金资助项目(71462023;71362025);昆明理工大学人才培养基金资助项目(KKSY201408067);昆明理工大学管理与经济学院热点(前沿)领域科研支持计划项目(QY2015046).

代建生(1978—),男,四川华蓥人,博士,研究方向:供应链协调等,Email:jiansheng.dai@163.com.