Leibniz n-代数的Frattini扩张

关宝玲，韩　旸

(齐齐哈尔大学理学院，黑龙江，齐齐哈尔 161006)



Leibnizn-代数的Frattini扩张

关宝玲，韩旸

(齐齐哈尔大学理学院，黑龙江，齐齐哈尔 161006)

通过将李代数的Frattini扩张推广到Leibnizn-李代数，得到了Leibnizn-代数的Frattini扩张的一些重要性质，给出了Leibnizn-代数的Frattini扩张的几个充分必要条件.

Leibnizn-代数；Frattini扩张；Frattini理想

作为李代数的推广，Filippov在1985年提出了n-李代数的概念，并给出了n+1维n-李代数的分类.[1]近年来n-李代数得到了丰富的结果.[2-4]同时，人们将n-李代数推广到Leibnizn-代数.[5-6]

在群理论中，Frattini研究了所有极大子群的交集，现称其为Frattini群，并于1885年提出了Frattini子群的概念.1967年，Frattini群的理论被引入到李代数中.[7]同时，Stagg对Frattini子代数理论进行了深入研究，引入了李代数的广义Frattini子代数及Frattini理论.[8]21世纪初，Frattini群和广义Frattini群的理论已经完善，一些代数的Frattini理论也得到了广泛研究.[2，9，10-17]本文类比广义Frattini群理论，研究Leibnizn-代数的Frattini扩张.以下总假设L是特征零域F上的有限维Leibnizn-代数.

1　预备知识

定义1[6]若L是域F上具有n元线性运算的向量空间且满足

则称L为Leibnizn-代数.

定义2[5]设L是Leibnizn-代数，若L的子空间B对换位运算封闭，即[B，B，…，B]⊆B，则B是L的子代数.若L的子代数I满足[I，L，…，L]⊆I，则称I为L的理想.设I是L的理想，如果[I，I，L，…，L]=0，则称I为L的交换理想.

定义3[6]设L是Leibnizn-代数，M是向量空间.若在M上定义n元运算

[-，…，-]：L⊗i⊗M⊗L⊗n-1-i→M，0≤i≤n-1，

满足(2n-1)个方程，其中这(2n-1)个方程是从下面方程(1)中，分别令(2n-1)个变元x1，…，xn，y1，…，yn-1中的每一个属于M，而其余的都属于L得到，

(1)

则称M为Leibnizn-代数L的模.

定义4设L是Leibnizn-代数，L的所有极大子代数的交集称为Frattini子代数，用F(L)表示.包含于F(L)中的L的极大理想称为Frattini理想，用φ(L)表示.

称此为正合列代表扩张(L，ε).若Ker(ε)⊆φ(L)，则称扩张(L,ε)是Frattini扩张.

2　Frattini扩张

引理1设(L，ε)是H的扩张，其中Ker(ε)是交换的有限维H-模.若J是L的极大子代数，且Ker(ε)J，则(J，α)是一个扩张，且Ker(α)是Ker(ε)的极大H-子模.

(1) 由于N=Ker(ε)J，且J是L的极大子代数，则J⊆J+N⊆L.由于J是极大的，则J+N=L，注意到(L，ε)是扩张，有L/N≅H，故J+N/N=L/N≅H.又由于J+N/N≅J/J∩N≅H，故J是H通过J∩N的扩张.

(2) 由于N是交换的，且L=J+N，则[J∩N，L，…，L]⊆J∩N，即J∩N是L的理想.

(3) 不妨假设N∩J=0，下面证明N是L的极小理想.设K是L的理想，使得0⊂KN，则

dimJ

故J(J+K).又由于

dimL=dim(J+N)=dimJ+dimN-dim(J∩K)=dimJ+dimN>dimJ+dimK=dim(J+K)，

这与J是极大子代数矛盾，故不存在这样的K，即N是极小的，因此N∩J在N中是极大的.

定理1设(L，ε)是H的扩张，且Ker(ε)是交换的.若Ker(ε)是非平凡的不可约H-模，则(L，ε)是Frattini扩张，当且仅当(L，ε)是不可分的.

证明假设

(2)

是不可分扩张的.需要证明N=Ker(ε)是φ(L)的子代数.若Nφ(L)，则存在L的极大子代数J，使得NJ，由引理1知(J，α)是扩张，有α=ε|J，Ker(α)是Ker(ε)的最大的H-子模.由于Ker(ε)作为一个H-模是不可约的，则有Ker(α)=J∩N={0}，因此α是单射的.又由于(J，α)是扩张，故α是满射，从而α是同构的.因此(1)可分，矛盾.

反过来，假设(L，ε)是广义Frattini扩张，我们需证(1)是不可分的.假设(1)可分，则存在同态φ：H→L，使得εφ=IH，故φ是单同态，H≅Imφ，从而φ：H→Im(φ)是同构的.同样有Im(φ)⊆L，Ker(ε)⊆L.由于扩张可分，则L=Ker(ε)+Im(φ)，且Ker(ε)∩Im(φ)={0}.由于Ker(ε)Im(φ)，则Im(φ)不是L的极大子代数，因此存在L的极大子代数J使得Im(φ)⊂J⊆L.但又由J的极大性，Ker(ε)⊆φ(L)⊆J，从而Ker(ε)⊆J，且φ(L)⊆J，这与L=Ker(ε)+Im(φ)⊆J矛盾.

定理2设(L，ε)是H的Frattini扩张，则(φ(L),ε)是φ(H)通过Ker(ε)的扩张.

证明由于(L，ε)是H的Frattini扩张，则L/Ker(ε)≅H，故φ(L/Ker(ε))≅φ(H).又由Ker(ε)⊆φ(L)，故φ(L/Ker(ε))=φ(L)/Ker(ε).

令L1∶=[L，L，…，L]，若L=L1，则称Leibnizn-代数L是完美的.

定理3设L是有限维Leibnizn-代数.若(L，ε)是H通过N的Frattini扩张，H是完美Leibnizn-代数，则L是完美的.

证明假设L不是完美的，且N=Ker(ε)，由于(L，ε)是H的Frattini扩张，则有

(L/Ker(ε))=L/N≅H.

由于H是完美的，有(L/H)1≅H1=H，即(L1+N)/N≅(L/N)≅L/N.又由L是有限维的，故L1+N=L.注意到N⊆φ(L)⊆F(L)⊆L1，因此L=N+L1⊆L1⊆L，故L1=L.

定理4若ε：J→M是有限维Leibnizn-代数的满射，L是J的子代数中极小的子代数，且ε(L)=M，则(L，ε|L)是Frattini扩张.

证明设K是L的极大子代数，且假设Ker(ε|L)K，则K⊆K+Ker(ε|L)⊆L.由K的极大性知K+Ker(ε|L)=L.同样有

Ker(ε)◁J，Ker(ε|L)⊆Ker(ε)，

且K⊆J，因此

K⊆J⊆K+Ker(ε)⊆J.

(3)

设W=K+Ker(ε)，则

ε(W)={ε(k+x)|k∈K，x∈Ker(ε)}=

{ε(k)+ε(x)|k∈K，x∈Ker(ε)}={ε(k)|k∈K}=ε(K).

由(2)式知ε(L)⊆ε(W)⊆ε(J)，即M⊆ε(W)⊆M，因此ε(W)=M，即ε(K)=M，这与L的极小性矛盾.因此Ker(ε|L)包含在L的任意极大理想中，即Ker(ε|L)⊆φ(L).故(L，ε|L)是Frattini扩张.

性质1设(L，ε)是H的Frattini扩张.若α：L→H，β：H→L是同态，且αβ是满射，则β为满射.

证明设K=Im(β)=β(H).由于αβ是满射，则有

α(L)=H=(αβ)(H)=α(β(H))=α(K).

故∀l∈L，∃k∈K，使得α(l)=α(k)，则有

α(l)-α(k)=α(l-k)={0}.

引理2设N是L的极小理想.若N在L中是可补的，则N∩φ(L)={0}.

证明若N在L中可补，则对某些HL，L=N+H，且N∩H={0}.由于N◁L，且φ(L)◁L，有N∩φ(L)◁L.由N的极小性，N∩φ(L)={0}或N.若N∩φ(L)=N，则N⊆φ(L)，因此N+H⊆φ(L)+H.故L=φ(L)+H，即L=H，矛盾.从而N∩φ(L)={0}.

定理5设L是H通过N的扩张，N是交换的.则L是N的极小Frattini扩张，当且仅当N是L的极小理想且不可补.

证明设N是L的极小理想且不可补.若Nφ(L)，则存在L的极大子代数M，使得NM.由于N◁L且M⊆L，则M⊆N+M⊆L.再由M的极大性知N+M=L.由N∩M◁M，N∩M◁N，有N∩M◁N+M=L.而N的极小性表明N∩M={0}，矛盾.因此N⊆φ(L)，L是N的极小Frattini扩张.反过来，假设N是L的极小理想且是可补的，由引理2知N∩φ(L)=0，因此N不是φ(L)的子代数，从而L不是极小的Frattini扩张.这与已知条件矛盾，故N是L的极小理想且不可补.

定理6Frattini扩张的复合是Frattini扩张.

β是满射，且Ker(β)⊆φ(H).需要证明βα是满射，Ker(βα)是满射，且Ker(βα)⊆φ(L).

由于h∈H，α是满射，则存在l∈L，使得α(l)=h.若m∈M，由于β是满射，则存在h∈H，使得β(h)=m.因此

(βα)(l)=β(α(l))=β(H)=m，

故βα是满射.

由α(L)=H，有

α(φ(L))=φ(α(L))=φ(H)，

因此φ(L)=α-1(φ(H)).但

Ker(βα)={l|(βα)(l)=0，l∈L}={l|β(α(l))=0，l∈L}=

{l|α(l)∈Ker(β)，l∈L}={l|l∈α-1(Ker(β))}.

由于Ker(β)⊆φ(H)，有

α-1Ker(β)⊆α-1(φ(H))=φ(L).

因此Ker(βα)⊆φ(L).

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(责任编辑：李亚军)

The Frattini extensions of Leibnizn-algebras

GUAN Bao-ling，HAN Yang

(School of Science，Qiqihar University，Qiqihar 161006，China)

The Frattini extensions of Lie algebras are generalized to Leibnizn-algebras.Some important properties of the Frattini extentions for Leibnizn-algebras are obtained.Several necessary and sufficient conditions of the Frattini extensions for Leibnizn-algebras are given.

Leibnizn-algebras；Frattini extensions；Frattini ideal

1000-1832(2016)03-0005-04

2015-05-01

黑龙江省自然科学基金资助项目(B2015019).

关宝玲(1974—)，女，博士，副教授，主要从事李代数研究；韩旸(1969—)，男，博士，副教授，主要从事数据挖掘研究.

O 152.5[学科代码]110·21

A

[DOI]10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.03.002