反向Gauss消元及方阵的UL分解

孔美婷，傅守忠

（肇庆学院 数学与统计学院，广东 肇庆　526061）

反向Gauss消元及方阵的UL分解

孔美婷，傅守忠

（肇庆学院 数学与统计学院，广东 肇庆526061）

讨论了求解线性方程组的反向Gauss消元法.首先将方程组变成等价的下三角方程组，再通过代入求解出方程组的解；此外，讨论了与此对应的UL分解及其计算方法．

线性方程组；反向Gauss消元；矩阵；UL分解

0　引言

在日常生活和科学研究中，有许多问题需要通过求解线性方程组予以解决.在计算方法中，求解线性方程组常用的直接方法是Gauss消元法.该方法通过消元（即对增广矩阵进行初等行变换）将方程组化成等价的上三角方程组，再通过回代进行求解.由于矩阵的初等行变换相当于左乘初等矩阵，因此可将Gauss消元法的消元过程看作将系数矩阵做了LU分解（即一个下三角矩阵L乘以一个上三角矩阵U）后，再左乘下三角矩阵的逆矩阵而得［1-3］.

在手工模拟Gauss消元法计算时，常会遇到上三角部分数字绝对值较大，而下三角部分数字绝对值较小的情形.此时大数字要参与多次运算，计算很不方便.本文模仿Gauss消元法给出一种反向消元法，即将方程组消元为一个下三角方程组再代入求解.它也相当于将系数矩阵分解为一个上三角矩阵U乘以一个下三角矩阵L.

1　反向Gauss消元法

设有线性方程组Ax=b，其中

若设ann≠0，依次将增广矩阵第n行的-ain/ann倍加到第i行（i=n-1，…，1），则方程组的增广矩阵变为

然后，自上而下代入即可求得方程组的解

2　方阵的UL分解

根据线性代数理论可知，对增广矩阵所做的初等行变换，相当于依次左乘可逆矩阵

其中，k=n，n-1，…，2.令

M=M2M3…Mn，

则

由于Mk都可逆，且

仍是上三角矩阵，所以M也可逆，且U:=M-1也是上三角矩阵.因而A可分解为A=UL.矩阵U和L的元素也可通过如下待定参数法得到.设

依次相继比较UL与A的第k列和第k行（k=n，n-1，…，1），可得即

例1 求解方程组

解对增广矩阵使用反向消元

使之成为下三角方程组.由第1个方程可得x1=-1，代入第2个方程，得x2=1；一起代入第3个方程，得x3=1.

若采用常规的Gauss消元法，则会产生分数，使计算过程复杂化.

应用公式（1）和（2），按顺序l31，l32，l33，u13，u23，l21，l22，u12，l11可求得上述方程组系数矩阵A的UL分解

这样，解原方程组Ax=b就等价于先用回代求解上三角方程组Uy=b，即

得y=（11，-1，1）T，再代入求解下三角方程组Lx=y，即式（3）右边矩阵为增广矩阵对应的方程组，即可得解x=（-1，1，1）T.

记矩阵A的第i行、第i列到第n行、第n列的元素组成的子式为

证与矩阵LU分解的相应定理类似（可参见［4］中定理1.1.2）.

［1］令锋，傅守忠，陈树敏，等.数值计算方法［M］.2版.北京：国防工业出版社，2015.

［2］令锋，傅守忠，陈树敏，等.数值计算方法复习与实验指导［M］.2版.北京：国防工业出版社，2015.

［3］喻文健.数值分析与算法［M］.北京：清华大学出版社，2012.

［4］徐树方，高立，张平文.数值线性代数［M］.北京：北京大学出版社，2013.

Abstracttract：This paper discusses the reverse Gauss elimination which changes the linear equations into equivalent lower triangular equations，then gets the solutions by substitution.The UL decompositions of matrices are also discussed and its computation methods are given.

Keywordswords：linear equations；reverse Gauss elimination；matrix；UL decomposition

（责任编辑：陈静）

Reverse Gauss Elimination for Equations and UL Decomposition of Matrices

KONG Meiting，FU Shouzhong
（School of Mathematics and Statistics，Zhaoqing University，Zhaoqing，Guangdong 526061，China）

O151.2；O241.6

A

1009-8445（2016）02-0009-03

2015-11-20

广东省教学质量工程建设项目（粤高教函［2015］133号）

孔美婷（1993-），女，广东汕尾人，肇庆学院数学与统计学院2011级学生.

傅守忠（1966-），男，内蒙古卓资人，肇庆学院数学与统计学院副教授，博士.