对一道数学题的反思

梅杰群

“问题是数学的心脏”，数学问题来源于实际生活，为解决实际生活中的问题服务.随着新课程的普及与深入开展，许多数学课堂教学向生活化发展，课堂上开展了许许多多丰富多彩的活动.“数学的生活化”已经在新课程中得到了充分显现，生活成了数学发展最肥沃的土壤.“回归生活、关注学生现实生活”的新课程理念是当前数学课程改革的首要特征与发展趋势.

数学思维具有生活的经验性，但有时又被实际生活的局限性困扰.下面我就两硬币旋转问题谈谈看法.

例：（宁波市舜水杯初二数学竞赛试题）将两枚相同大小的一元硬币A、B紧贴在一起，硬币A固定不动，硬币B的边缘紧贴硬币A并围绕硬币A无滑动地旋转.当硬币B围绕硬币A旋转一周回到原来位置时，它围绕自己的中心旋转的角度是360度的？摇？摇？摇 ？摇倍.

对于本题的思考，我们经常会受到生活性思维的困扰，有时对自己的结论表现得非常肯定，甚至不惜体力地与人争得面红耳赤，事后又经常反思，思维错误出现在何处？

大多数人最初的结论：一倍关系.

理由：两硬币的周长相等，硬币B围绕硬币A旋转一周回到原来位置时，它们的边缘都接触过一次，故硬币B自转一圈.如在生活中将硬币B在地面上沿直线滚动一段与自己的周长相等的线段CD时，硬币必然是旋转了一圈.

然而最初的结论被接下来的实验给予了强烈的反驳.如图：当硬币B围绕硬币A旋转一圈时，实验中很清楚地看到硬币B围绕自己的中心旋转了两圈.

实验后的结论：两倍关系.

因此当硬币B围绕硬币A无滑动地旋转一圈后，硬币B应该是自转两周.

证明如下：如图所示，当硬币B旋转到B′的位置时，设硬币B上的点E旋转到硬币B′上的点F，则有弧DF=DE.（可以将硬币B′倒退到硬币B的位置发现）

进而得∠DB′F=∠DAE（等弧所对的圆心角相等）

过B′作B′E′∥BE，得∠E′B′A=∠B′AE，

可知硬币B旋转的角度∠E′B′F=2×∠B′AB.

结论：当硬币B在地面上沿直线滚动一段与自己的周长相等的线段时，硬币是旋转一圈，而当硬币B沿着一段与自己的周长相等的封闭曲线滚动时，硬币是旋转了两圈.

反思：为什么大多数人最初的想法不对呢？

我们生活在现实中，数学思维具有生活的局限性，就像我们经常感觉到自己居住的地球是平面的一样，感受到太阳东升西落就好像太阳在围绕地球旋转一样，当硬币B在地面上沿直线滚动时，我们如何判断硬币是否滚动了一周呢？我们用生活性的思维这样判断：当最初的触地点再一次触地时，我们就判断它滚动了一周.带着这样的思维我们做“硬币B围绕硬币A旋转一周”的问题时，我们很自然地会认为，最初的接触硬币A边缘的点再一次接触硬币A，我们就判断它转动了一周，这就是“生活化思维的局限性”.

受到生活化思维的局限性影响，我们很自然地会认为答案为一周.

由此可见，数学作为一种认识，与其他科学认识一样，遵循着感性具体—理性抽象—理性具体的辩证认识过程.这就是数学认识的一般性.