一类四阶偏微分方程的对称分析及级数解

杨春艳，李小青

（西北大学数学系，陕西 西安　710127）

一类四阶偏微分方程的对称分析及级数解

杨春艳，李小青

（西北大学数学系，陕西 西安710127）

研究了一类四阶偏微分方程的李对称，构造了方程所容许的李对称的优化系统，进行了对称约化，得到了精确解.进一步，基于幂级数理论，得到了这类四阶偏微分方程的幂级数解.

四阶偏微分方程；李对称；优化系统；幂级数法；精确解

1　引言

四阶偏微分方程在自然科学领域有着广泛的应用背景，它起源于应用数学和物理学的不同方面，尤其在弹性梁及稳定性理论中具有广泛的应用[1].研究非线性偏微分方程的方法有很多[2-4]，而用Lie对称群理论来构造微分方程的解是非线性微分方程研究中活跃的领域之一[5-9].本文研究这一类四阶微分方程：

的对称约化和精确解的构造问题，其中：α/=0，β/=0是常数，

这里我们首先对方程(1)进行对称群分析，应用优化系统理论，由方程(1)所容许的李点对称构造其对应的优化系统；再对方程进行对称约化，推出相应于优化系统中各个对称的约化常微分方程；最后，用幂级数法对约化的常微分方程求解，得到方程(1)的幂级数解.

2　方程 (1)的李对称群分析

本节利用经典李群方法研究方程(1)，考虑如下单参数李变换群：

其中，ε是参数，τ(t，x，u)，ξ(t，x，u)，η(t，x，u)是光滑函数.李变换群(2)的无穷小生成元为：

此时，我们需要确定向量场的系数函数τ(t，x，u)，ξ(t，x，u)，η(t，x，u).显然，V必须满足无穷小不变准则：

其中∆=ut+αu2ux+βuxxxx.由李对称理论知，向量场（3）的四阶延拓为

其中

结合方程(4)和方程(5)，我们得到了方程(4)的等价条件

将(6)式及方程(1)代入上述方程(7)，并比较u的各阶导数的系数，得到决定方程组，通过求解这个偏微分方程组，得到方程(1)的对称群的Lie代数由如下三个向量场

生成[10].

由于无穷小生成子的任意线性组合也是无穷小生成子，容许非平凡李对称的微分方程将会容许无穷多个不同的对称子群.因此为了完全理解方程的不变解，一个重要且必须的任务就是寻找那些能够对应本质不同的解的子群.对称群中任意变换都能够把一个解映射为另一个解，所以我们只需寻找那些与变换无关的解，即互相不等价的解.这样优化系统的概念应用而生[5，11，12].优化系统是使得方程的群不变解更丰富，构造子群的优化系统等价于构造子代数的优化系统.对一维子代数而言，这种分类等价于伴随表示的轨道的分类，其基本方法就是取李代数的最一般的表达形式，并用各种不同的伴随变换作用其上，使其形式得以最大程度的简化.由交换算子［Vs，Vt］=VsVt-VtVs，得代数(8)的非零交换关系为

伴随表示由李级数

给出，其中 ε为参数.表 1给出李代数 (8)的伴随表示，其中第 i行第 j列的元素表示Ad(exp(εVi))Vj.

表1　李代数（8）的伴随表示

下面构造方程(1)所容许的李代数(8)的一维优化系统.令

我们的任务是尽可能的通过对的恰当的伴随映射的应用去简化系数ai.

情形1由表1知，a3为不变量.假设a3/=0.不失一般性，令a3=1.用Ad(exp(4a2V2))作用于V上，使得V2的系数变为零：

再用Ad(exp(a′1V1))作用于V′上，使得V1系数变为零：因此，由V(a3/=0)生成的一维子代数等价于子代数V3.

情形2假设 a3=0，a2/=0.现在V=a1V1+a2V2.不失一般性，令a2=1.根据表1，用Ad(exp(εV3))作用于V上，使得

也相当于V′=a′1eV1+V2，它取决于a′1的系数，令a′1的系数为1，-1，0.此时，由V(a3=0，a2/=0)生成的一维子代数等价于V2+V1，V2-V1，V2.

情形 3假设 a3=0，a2=0，a1/=0.现在V=a1V1.不失一般性，令a1=1.因此，由 V(a3=0，a2=0，a1/=0)生成的一维子代数等价于V1.上述过程得到方程(1)的优化系统为

3　对称约化和精确解

方程(1)的向量场和优化系统已得到.这节我们在得到的优化系统的基础上求方程(1)的对称约化和群不变解.

3.1生成子 V1=∂t.

对生成子V1，它对应的群不变解为u=f(z)，其中z=x.代入方程(1)约化为常微分方程

对方程(9)积分，且令积分常数为零，得

其中

3.2生成子 V2=∂x.

对生成子V2，它对应的群不变解为u=f(t)，代入方程(1)得到约化方程f′=0.因此，方程(1)的解是u=c1x+c2，其中c1，c2是任意常数.

3.3生成子 V3=t∂t+x∂x-u∂u.

对于生成子V3，它对应的群不变解是u=t-f(z)，其中z=t-x.将其代入方程(1)得到的常微分方程为

3.4生成子 V2±V1=∂x±∂t.

对于生成子V2±V1，它对应的群不变解是u=f(z)，其中z=x±t.代入方程(1)得到的常微分方程为

对方程(12)积分，且令积分常数为零，得

4　基于幂级数法的方程的幂级数解

对常微分方程积分，通过降阶来求解常微分方程，这种约化的常微分方程在某些情况下比原方程更复杂.考虑到这种情况，我们用幂级数法，它是解高阶非线性或非自治常微分方程的有效工具.而且，这种幂级数解的收敛性很强，在理论和应用上的计算也是方便的[13].方程(1)的约化方程已经得到.这一部分，我们用幂级数法解方程(10)，方程(11)，方程(13)，从而得到它们的幂级数解.

4.1方程 (10)的幂级数解

现在，我们寻找方程(10)形式为

的幂级数解，其中cn是待定系数.将(14)式代入方程(10)，得

从(14)式，比较系数，有

对所有的n=0，1，2，....

这样，对任意的选定的常数ci(i=0，1，2)，从(16)式得到

序列{cn}∞n=0的其余各项都可以由方程(16)依次唯一确定.进一步，由归纳法可得方程(10)存在由方程(16)给定的幂级数解(14)，参考文献［8，14］.对于方程(10)的幂级数解(14)的收敛性证明如下：

由(16)可得，

使

和

容易看出，|cn|≤pn，n=0，1，2，...

换句话说，级数

是幂级数解(14)的优级数.下面，只需证明幂级数 µ=P(z)有正的收敛半径.事实上，通过级数运算有

考虑隐函数方程

显然，F解析，且F(0，p0)=0，F′µ(0，p0)=1/=0.根据隐函数定理，可得级数 µ=P(z)在点(0，p0)的邻域内解析，从而存在正的收敛半径.

因此，方程(10)的幂级数解如下

进而，方程(1)的幂级数解为

其中cn(n=0，1，2)是任意常数，其它的系数cn(n≥3)可以由(16)式确定.

注意到上面我们计算的各项的系数，可将(17)写成如下的近似形式

4.2方程 (11)的幂级数解

我们探索方程(11)的形式为(14)的幂级数解.将(14)式代入方程(11)，得

当n=0时，通过比较(18)式中的系数得到

当n≥1时，容易得到下列结果

由(19)式易得，

和其它的系数cn(n≥7).因此，方程(11)的幂级数解为

进而，方程(1)的幂级数解为：

其中cn(n=0，1，2，3)是任意常数，其它的系数cn(n≥4)可以由(19)式确定.

注意到上面我们计算的各项的系数，可将(20)式写成如下的近似形式：

4.3方程 (13)的幂级数解

同样，寻找方程(13)的形式为(14)的幂级数解.将(14)代入方程(10)，得

当n=0时，

4　结果和讨论

这篇论文，我们研究了一类四阶非线性偏微分方程的李对称和优化系统，然后基于优化系统，得到了方程的相似约化和精确解.而且，用幂级数法得到了收敛性很强的解.由此可见，李对称分析法对研究偏微分方程的精确解而言是一个非常重要而有效的工具与方法，且幂级数法对探索非线性常微分方程的收敛幂级数解也是非常重要的.

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2010 MSC:35J15

The symmetry and series solutions of a class of fourth-order partial differential equation

Yang Chunyan，Li Xiaoqing
（Department of Mathematics，Northwest University，Xi′an710127，China）

In the paper，Lie symmetry analysis of a fourth-order partial differential equation is performed.The one dimension optimal system of the Lie symmetries admitted by the equation in consideration is constructed. In addition，all exact solutions or the reduced equations corresponding to the optimal system are presented. Furthermore，based on the power series theory，a kind of explicit power series solutions for the equation is well constructed with a detailed derivation.

fourth-order partial differential equation，Lie symmetry，optimal system，power series method，exact solutions

O175.2

A

1008-5513(2016)04-0432-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.04.011

2016-06-01.

国家自然科学基金(11201371)；陕西省自然科学基金(2012JQ1013)；陕西省教育厅专项科研基金(11JK0482).

杨春艳(1990-)，硕士生，研究方向：偏微分方程.