儿童心目中的雪花分布

巩子坤 何声清

【摘 要】以401名9～14岁儿童为被试对象，考察其心目中的雪花分布，结果发现：儿童描述的雪花分布不外乎随机与不随机两类；给出的理由可以分为4类，分别为运用模糊的概率知识、主观判断、动手试验与其他。进一步分析表明，给出“主观判断”理由的儿童比给出“运用模糊的概率知识”理由的儿童，描述出的雪花分布更高的比例是随机的；动手试验得到的雪花分布均是随机的。原因在于大部分儿童将“多次试验结果的规律性”与“一次试验结果的随机性”混淆了。动手试验是认知随机性的有效方式。

【关键词】儿童 雪花分布 随机性 教学建议

一、引言

概率认知的一个重要方面，是对随机性的认知。按照认知的复杂程度，我们把随机性分为三类：随机事件，如抛一枚硬币，朝上一面的情形，可能正面朝上，也可能反面朝上；独立序列，如连续抛一枚硬币10次，朝上一面的情形，可能是3次正面朝上7次反面朝上，也可能5次正面朝上5次反面朝上；雪花分布，如16片雪花随机飘落到由16块方砖构成的平坦房顶上，雪花分布的情形，可能16片雪花飘落到7块方砖上，也可能飘落到12块方砖上。

严加安院士说：“随机非随意，概率破玄机。无序隐有序，统计解迷离。”[1]随机性中隐藏着规律性，对随机性的认知，本质上就是对规律性的认知。然而，要认识到这种规律性，还是比较困难的。因为，虽然日常生活中随机事件随处可见，非正式的概率知识有着较好的现实基础，但随机性规律与我们日常所学习的数学规律还是有着较大的区别的，学习随机性的思维方式与学习确定性数学的思维方式也还是有着较大区别的。比如，Green等人的研究表明，学校确定性数学——科学演绎推理模式主导的课程扼杀了学生对于随机性的认知[2]。

义务教育阶段数学课程所涉及的主要是随机事件，这是对随机性最初步的认知。相应地，对随机事件的研究也比较多。有的数学教材中也出现了独立序列[3]，虽然这样的内容并不是课程标准所规定的。义务教育阶段数学教材中没有出现雪花分布这样的内容，因而很少有人关注或研究儿童对雪花分布的认知。

我们采用分层取样的方式，选取浙江省S市城区、城乡接合地区2个类型学校9～14岁的401名儿童作为被试对象（我们的研究表明，城市、城乡接合部、农村儿童之间的概率认知没有显著性差异，所以样本具有代表性），通过以下调查题目，了解儿童心目中的雪花分布。

题目：如图所示，花园房顶是平的，由16块尺寸相等的方砖构成。开始下雪了，过了一会，16片雪花飘落到房顶。请标出16片雪花可能落在什么地方（用×表示一片雪花），并写一写你的理由。

学生基于已有的生活经验与概率知识，给出了雪花在房顶的分布。这些雪花分布，哪些是随机的？哪些是不随机的？判断的标准是什么？我们可以从生活经验与概率知识两个方面来回答这些问题。

生活经验告诉我们（这里的我们是指成年人了），16片雪花都飘落到一块方砖上的可能性比较小，除非出现了人为的情形，比如，你用扫帚把这些雪花扫到了一起；同样地，16片雪花均匀地落到每一块方砖上的可能性也比较小。这是两种极端的情形。排除掉这两种极端的情形，生活经验告诉我们，16片雪花所占的方砖数应该不多也不少，才可能是没有受到人为干涉，才可能是随机的。到底什么才是“不多也不少”呢？就是极端的情形不能够出现，用概率的知识来说，就是“小概率事件在一次试验中是不可能发生的”。比如，某厂家生产的灯泡合格率是90%。今天，我们接到了一批产品，理论上而言，这批产品的合格率应该是90%。这批产品的合格率是否达到了呢？我们从中随机抽取100只，发现有30只不合格。我们很容易计算出，30只灯泡不合格的可能性是1.84×10-8——这是小概率事件。所谓小概率事件，是我们根据实际需要来确定的，有时候规定，可能性小于等于0.05的事件就是小概率事件；有时候规定，可能性小于等于0.01的事件才是小概率事件。如果这批产品是合格的，小概率事件是不可能发生的；既然发生了（这是事实），我们只好说，这批产品不合格。当然，这样去做判断，也可能会犯错误，但是，我们可以把出错的可能性控制在一个可以接受的范围内。什么是雪花分布的“小概率事件”呢？根据概率的相关公式，我们可以计算出，雪花所占的方砖数在7～13范围内的概率为95%，而小于7或大于13的概率只有5%左右。因此，“雪花所占的方砖数小于7或大于13”就是小概率事件。在学生给出的雪花分布中，如果雪花所占的方砖数在7～13的范围内，我们初步判定雪花分布是随机的；否则，判定雪花分布不是随机的。

进一步对初步判定为随机的雪花分布进行继续考察，如果这些雪花分布具有明显的规律性（如严格关于中轴线对称等），则判定为不具有随机性。比如，以下回答就不具有随机性。

如果学生在图中标出的雪花数超过或者不足16片，均作为无效数据处理。

综上，如果方砖上的雪花总数恰好为16片，且雪花所占的方砖数在7～13之间，且雪花分布没有明显的规律性，我们判定这样的雪花分布是随机的，其余情形均判定为不随机。分布是随机的记为1分，否则为0分。

二、儿童心目中的雪花分布

学生在描述了心目中的雪花分布后，给出了各种各样的理由。这些分布不外乎随机与不随机两类；理由可以分为4类，分别如下。

（一）运用模糊的概率知识进行判断

3836号儿童描述的分布如图1，理由是“因为每一块方砖都有的概率得到雪花，而雪花又正好是16片，又有的概率飘到不同的方砖上”。

这是经常出现的情形。既然每一块方砖都有的可能得到雪花，而恰恰是16片雪花，因而，每一块方砖上正好有一片雪花。描述了同样分布的儿童，给出了以下类似的理由。有的儿童干脆做起了除法：16÷16=1，所以每块方砖上一片雪花。3835号、3432号儿童给出的理由分别是“因为机会平等”“因为有16块方砖，而正好有16片雪花，每一片雪花很少叠在一起，但它们的数目相等，这样刚刚好，这样很公平”。显然这些分布都是不随机的。

学生之所以呈现出这种模糊的概率知识，首要原因是他们将“多次试验结果的规律性”和“一次试验结果的随机性”混淆了，没有意识到每一片雪花的下落过程是独立的。更具体地说，从长时间结果来看，如果连续下了几小时的雪，每块方砖上的雪花个数理论上是差不多的。但是，这是长时间重复试验才表现出的“规律”。换言之，用频率估计概率的过程，是长时间、多次重复试验之后根据各个结果的频率进行归纳（估计）的过程。儿童持有模糊的概率知识，其认知局限表现在，少数几次的试验结果不足以概括多次、重复试验的结果样态。前者具有特殊性（即时性、随机性），后者具有一般性（规律性）。其次，学生的这种模糊的概率知识还可能与其逐渐发展的确定性思维有关：儿童将“16”片雪花和“16”块方砖建立联系，“等分”思想在其决策过程中发挥了重要作用。

3526号儿童描述的分布如图2，理由是“因为雪花不一定飘落在每一块方砖上，有可能有2片或者3片雪花飘落在同一块方砖上”。3402号给出了类似的分布，理由是“因为雪花是随意落下来的，所以落的地方也就不一样”。2532号给出了类似的分布，理由是“雪花可能会下到任何的地方，有可能会在一起”。

在儿童看来，雪花的飘落是随机的，因而，不可能每一片雪花飘落在每一块（不同的）方砖上，所以出现了有的方砖上2片、有的3片的情形。而这样的情形恰恰是随机的。

同样从“每一片雪花飘落到方砖上是随机的”出发，一种观点认为，机会均等，所以，一块方砖上一片雪花；一种观点认为，一块方砖上可能多于一片雪花。这就体现出随机事件的规律性与随机性：大量试验的规律性与一次试验的随机性。因而，一次试验是不可能出现规律性的。事实上，每块方砖一片雪花的概率只有十万分之一。

（二）根据自己的生活经验、喜好进行主观判断

3843号儿童描述的分布如图3，理由是“因为雪花是随风飘的，没有固定结果”。3838号描述了类似的分布，理由是“因为雪花是不规则的，它可以飘向任意一个方向”。

3509号儿童描述的分布如图4，理由是“因为角上会难一点落到，所以四个角上都没有雪花落到”。3501号描述了类似的分布，理由是“它们可能随处乱飘，可能一块方砖上一片，也可能几片落在一块砖上”。

3428号儿童描述的分布如图5，理由是“因为中间雪花不太容易掉下来”。3419号给出了类似的分布，理由是“它们在一起”。明显地，儿童提供的这些理由，无论是“随风飘”“乱飘” “不规则”，还是“中间的雪花不容易掉下来”，大都来自自己的生活经验，大都来自自己的主观意识，而基于生活经验与主观意识所描述的分布大都是随机的。这些儿童还没有被数学的确定性因果思维“禁锢”“侵蚀”，仍然有着较好的随机性直觉。

需要指出的是，我们设计的问题具有一定的生活背景，因此儿童的生活经验一定程度上能够帮助其做出合理的决策。概言之，儿童在决策时所依靠的生活经验主要来源于以下几个方面：（1）雪花。如“雪花的形状不规则，因此……”“雪花是随意飞的，因此……”（2）方砖。如“方砖的角难以有雪花落到，因此……”（3）外力。如“风吹着雪花跑，因此风向、风力对雪花的飘落位置有影响”；（4）当事人。如“根据个人自身喜好决策”。随机事件与现实生活有着千丝万缕的联系，把随机事件的结果归结为上述因素，避免了“确定性思维”的干扰，生活经验在儿童决策中也产生了正向的影响。然而，如果我们把情境置换成现实性不强的问题，如“摸球”模型：一个不透明的盒子里有1个黑球、1个白球，它们除颜色不同外，其他均相同。摇一摇盒子，闭上眼睛从中摸出1个球，请问摸出哪种球的可能性大？我们的研究发现，也有儿童在决策中表现出上述的生活经验，把随机事件的结果归结为：（1）球。如“我们不是球，只有球知道”；（2）外力。如“只有天知道”；（3）当事人。如“我喜欢白球”。如果说“雪花问题”由于其现实背景较强，儿童的解释存在某种程度的“合理性”，那么儿童在“摸球问题”中的类似经验就显得苍白无力。

2402号儿童描述的分布如图1，理由是“因为风大时，雪花会飘落在上面，而风小时，雪花会落在下面，而当风中等时，雪花会落在中间，所以每排几乎都一样”。如前所述，3836号儿童也认为雪花是均匀分布在每一块方砖上的（即每一块方砖正好一片雪花），但他是基于“等可能性”（模糊的概率知识）做出判断的。这里，儿童基于生活经验、基于自己的主观，给出了同样的分布。这样的分布是不随机的。

3834号儿童给出的分布如图6 ，理由是“因为下雪要刮西北风，所以雪花被吹到东南方”。3503号儿童描述了类似的分布，理由是“因为冬天的风是往南吹的，所以雪花就在南边”。2433号儿童描述了类似的分布，理由是“因为可能风大，雪往一个地方飘”。

（三）动手试验

3517号儿童描述的分布如图7，理由是“我有一张纸，坐（做）过了”。

学生通过试验，得到了这样的分布，这样的分布是随机的。我们的研究表明，动手试验所得到的分布98%以上都是随机的，因而，动手试验能够纠正儿童的错误观念[4]。

（四）其他（雪花数少于16片）

3426号儿童描述的分布如图8，理由是“16片雪花不可能全部飘落到房顶，因为地上会飘落上去”。

类似的情况比较多。儿童没有仔细阅读题目中的文字“房顶是平的，16片雪花飘落到房顶”，认为房顶是倾斜的，凭借自己的经验，认为有的雪花没有落到房顶，于是出现了这样的分布。

儿童给出的理由统计如表1，雪花分布得分如图9。

从上表（图）中可以看出，12岁是一个分界点：12岁之前，选择“运用模糊的概率知识”儿童的百分比是30%左右，选择“主观判断”儿童的百分比是50%左右，选择前一个理由儿童的百分比明显低于选择后一个理由儿童的百分比。12岁之后，随着年龄的增加，选择“运用模糊的概率知识”儿童的百分比是45%左右，选择“主观判断”的儿童的百分比是25%左右，选择前一个理由儿童的百分比明显高于选择后一个理由儿童的百分比。对比儿童随机分布认知得分，我们发现，9～11岁儿童的得分明显比13～14岁儿童的高。我们是否可以得出这样的结论：选择“运用模糊的概率知识”的儿童越多，其雪花分布得分就越低；选择“主观判断”的儿童越多，其雪花分布得分就越高。

这样的结果也容易理解。儿童的概率知识仅仅局限在“每一片雪花飘落到每一片方砖上的可能性均是”，而对于每一片雪花飘落的独立性、规律性是不了解的，儿童的概率知识非常有限。应用有限的概率知识，就会出现3836号儿童所描述的分布，这样的分布不具有随机性。相反，如果基于自己的主观判断，基于随机性直觉，再联系生活经验，就有可能得到随机的分布。当然，生活经验是一把双刃剑，因为经验告诉我们：雪下了很长一段时间后，雪的表面是平滑的——也就是说，雪的分布是均匀的。这事实上表明，一次试验的随机性与多次试验的规律性。

对儿童给出的理由与正确率进行统计（表2），我们发现：无论是正确的频数占回答频数的百分比，还是正确的频数占总数的百分比，选择“主观判断”的儿童比选择“运用模糊的概率知识”的儿童要高。这进一步说明，基于主观判断的，更有可能给出随机的分布。当然，动手试验得到的分布均是随机的，这表明，试验是获得雪花分布随机的有效方式。

三、几点思考

（一）儿童对雪花分布的认知水平很低

从儿童雪花分布得分图中，我们可以发现，即便是在10岁的最高水平，也仅仅有14%的儿童能够获得正确的认知，并且，从10岁开始，儿童的认知水平不断下降，14岁时才出现了回升。这一结果表明，随着年龄的增长，儿童对雪花分布的认知不升反降。因而，这部分内容并不适合在义务教育阶段出现。

（二）寻求确定性数学的规律导致了儿童的认知水平很低

通过对儿童给出的理由进行分析，我们发现，之所以出现不升反降的现象，是由于随着年龄的增长，更多的儿童寻求确定性数学的知识，而对于概率的知识，客观上他们还不具备，于是出现了这样的窘境：理论知识尚未建立，良好的随机性直觉又逐渐丧失。也许，只有学习了概率知识，知道了重复试验的规律性（大数定律）与一次试验的随机性后，他们才能够给出随机的分布。

（三）动手试验能够提升儿童的认知水平

动手试验的儿童所描述的分布都是随机的，这再一次告诉我们，动手试验是学习概率知识的有效方式[5]。

参考文献：

[1]严加安.概率破玄机，统计解迷离 [N]. 中国科学报，2012-03-03.

[2]Green， D. R. A Survey of Probability Concepts in 3000 Students aged 11-16 Years. In D. R. Grey （ed.）， Proceedings of the First International Conference on Teaching Statistics， Teaching Statistics Trust. University of Sheffield， 1982.

[3]张天孝.数学（六年级下册）[M].杭州：浙江教育出版社，2008.

[4]巩子坤. 6～14岁儿童的概率概念认知发展研究[D]. 浙江大学，2012.

[5]巩子坤，宋乃庆. 统计与概率的教与学：反思与建议[J].人民教育，2006（10）：1-6.

（杭州师范大学理学院 310036北京师范大学教育学部 100875）