“错题集中营”之“轴对称”

谢洁红

数学学习的过程其实也是一个不断改错纠错的过程，在“轴对称与轴对称图形”的学习中，很容易出现这样那样的错误，下面呈现给同学们的是平时作业中常出现的几个典型错误，我们将进行具体的分析，希望同学们找出错误原因，在以后解题时避免类似的问题发生.

易错点一：对“两个图形成轴对称”与“一个图形是轴对称图形”概念理解不透

例1 下列说法中，正确的是（ ）

A.形状相同的两个图形成轴对称

B.轴对称图形和成轴对称图形是一回事，都是关于某直线对称

C.能够完全重合的两个图形成轴对称

D.沿着一条直线对折能够完全重合的两个图形成轴对称

【错解】A或B或C.

【正解】D.

【学生自述】对“两个图形成轴对称”与“一个图形是轴对称图形”概念理解不透.

【点评】选A或C的同学，对“两个图形成轴对称”的概念理解不到位，忽略了“两个图形成轴对称，不仅和图形的形状、大小有关，还与图形的位置有关，三者缺一不可” .选B的同学混淆了“两个图形成轴对称”与“轴对称图形”这两个不同的概念.图形成轴对称反映的是两个图形之间的形状、大小和位置的关系，而轴对称图形是指一个图形自身的性质.轴对称的对称点分别在两个图形上，而轴对称图形的对称点都在同一个图形上.当然，如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两部分关于这条对称轴成轴对称；如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么这个整体就是一个轴对称图形.“图形成轴对称”和“轴对称图形”是两个不同的概念.它们之间有着密切的联系.

易错点二：对称轴描述有误

例2 说出线段、角、等腰三角形、正方形、圆的对称轴.

【错解】线段有一条对称轴，是它的垂直平分线；角有一条对称轴，是它的角平分线；等腰三角形有一条对称轴，是底边的高；正方形有两条对称轴，是两组对边中点的连线；圆有无数条对称轴，是它的直径.

【正解】线段有两条对称轴，是线段的垂直平分线和它所在的直线；角有一条对称轴，是角平分线所在的直线；等腰三角形有一条对称轴，是底边上的高（或中线）所在直线或者是顶角平分线所在直线；正方形的对称轴有四条，是对角线所在直线和过对边中点的直线；圆有无数条对称轴，是过圆心的直线（或直径所在的直线）.

【学生自述】忽略了对称轴是直线，有的图形有若干条对称轴.

【点评】本题考查如何确定对称轴及其描述，要注意的是图形的对称轴是直线，而不是线段或射线.线段的对称轴有两条，正方形的对称轴有四条，等腰三角形有一条对称轴.

易错点三：对于无图问题，考虑欠周全，造成漏解

例3 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为30°，求这个等腰三角形顶角的度数.

【错解】60°.

【正解】60°或120°.

【学生自述】只考虑了高在等腰三角形内部的情况，忽略了在三角形外部的情况.

【点评】等腰三角形是一个轴对称图形，一腰上的高既可以在等腰三角形内，也可以在等腰三角形外，需分类讨论.①当高在等腰三角形内部时，顶角为60°；②当高在等腰三角形外部时，顶角为120°.故此等腰三角形的顶角为60°或120°.

例4 已知等腰三角形的两条边长分别为4和7，那么它的周长等于______.

【错解】15.

【正解】分两种情况：当腰长是4时，三角形的周长是7+4×2=15；当腰长是7时，三角形的周长是4+7×2=18，故三角形的周长是15或18.

【学生自述】只考虑了腰长为4这一种情况.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键.此类题不要漏掉一种情况，同时注意看是否符合三角形的三边关系.

例5 已知等腰三角形的一个角等于80°，则它的另外两个角的度数分别是（ ）

【错解】50°和50°.

【正解】分两种情况：当顶角是80°时，则另外两个角的度数分别是50°、50°；当底角是80°时，另外两个角的度数分别是80°、20°，所以它的另外两个角的度数分别是50°、50°或80°、20°.

【学生自述】等腰三角形一内角为80°，只考虑了顶角为80°的情况.

【点评】等腰三角形是轴对称图形，除了可以根据对称性得到边角、有关线段的性质外，在涉及等腰三角形的边、角的计算方面，若没有明确底边、腰、底角、顶角时，要分情况进行讨论.

易错点四：对称轴找不全

例6 如图，由4个小正方形组成的田字格中，△ABC的顶点都是小正方形的顶点.在田字格上画与△ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不包含△ABC本身）共有______个.

【错解】2个.

【正解】有3个.

【学生自述】只考虑了网格线为对称轴的两种情况，而把对角线作为对称轴的情况忽视了.

【点评】此题考查了利用“轴对称”寻找图案的知识，关键是根据要求顶点在格点上寻找对称轴，有一定难度，注意不要漏解.因为顶点都在小正方形上，故可分别以大正方形的两条对角线和两条横竖的网格线为对称轴进行寻找.

（作者单位：江苏省无锡市泰伯实验学校）