数学校本教材的开发与使用

周洪涛

潍坊广文中学在前期尝试的基础上对数学教材进行了二次开发。如编写《初中数学经典教学设计》，突破学生学习难点；编写《典型例习题集》，减轻学生作业负担；编写《初中常见数学思想与方法》，培养学生数学思维等。数学教学不再是教教材，而是把教材内容经过二次开发后，每节课以“学生学习活动案”的形式呈现给学生，学生自主学习能力大为增强，学习兴趣显著提高，但即便这样，学校也始终没有解决好“为每个学生提供适合的教育”这一问题。

从知识储备上看，学生水平参差不齐，一本教材显然不可能适合每一个学生。从认知方式上看，学生也是千差万别的：有的学生喜欢听教师详细讲解；有的学生喜欢自学后与同学交流或请教教师；有的学生数学基础很好，适合框架学习、整体推进；而有的学生适合学一点，巩固一点，最后才能构建知识网络。学生的这种个性化学习需求，促使我们开发数学分层教材。从本质上讲，我们开发的应该是“学材”。

有这种想法后，我们也在冷静思考：我们有能力开发数学校本教材吗？回顾学科组全体数学教师近十年来的努力与探索，实际上我们已开发了大量校本教材，有了一些积累与沉淀，我们下决心要尝试。

一、从教教材到“学材”

“学材”的主要使用者是学生，我们必须从“方便学生使用”的角度思考教材编写的所有问题，当然也要兼顾学科体系的科学严谨，做到详略得当。由此，我们将“符合学生认知水平，遵循学科固有规律，有利于学生思维发展，追求最佳使用体验”作为课程开发的指导思想。国家课程标准是编写学材的依据与参考，但国家课程标准的描述太过简洁，要求过于宏观而笼统，难以具体、明晰地指导教材编写。因此，我们工作的第一步是进行国家课程标准的详细解读，把每个人的理解变成编写者的共同认知，把笼统的标准具体分析拆解，将国家课程标准具体解读为“国家课程标准细目标”。

比如，在《分式》这一章，课标有“了解分式的概念”这一宏观要求，我们把它拆解为如下4个具体细目标：

①会判断一个有理式是否是分式。②会对有理式进行分类，能说出有理式、整式、分式、单项式、多项式之间的关系。③会将给定字母的值代入分式进行计算求分式的值。④掌握分式有意义、无意义、值为零的条件，并能据此确定分式中字母的值或范围。经过如此拆解后，教师与学生就能非常精准地把握课标要求。为更加形象地表达课标要求，我们在拆解后的每一目标后附以典型案例进行说明，同时在典型案例后继续附加“达标示例”，用以检验目标达成与否。为了方便学生学习与教师教学，我们还针对具体目标给出衔接点、切入点、易错点等学习建议或教学建议。

在一次又一次反复研讨解读中，“数学课程标准细目标”顺利完成，它既是教师编写数学校本教材—《数学读本》的执行标准，也是编写学生《习题训练知多少》的依据。在此基础上编写出的《数学读本》与课标高度吻合，选用的练习题层次合理、精简典型、分类清晰而不疏漏，把学生从题海中解放了出来，减轻了他们的负担。

二、从大一统到分层

《数学读本》是学生起始学习最重要的载体，为了满足不同需求的学生，我们把《数学读本》分为三个层次。最底层步子小、难度低、重基础，适合基础弱、自控力差、思维水平较低的学生；中间层内容适当整合、难度适中、节奏平缓，适合基础较好、有一定自主学习能力、思维水平中等的学生；最高层内容整合较多、知识跨度大、节奏快、拓展多，适合热爱数学、思维敏捷、具有很强自学能力的学生。为保证读本编写的科学准确，参与教材编写的教师参考了各种版本数学教材，大量征求教师与专家意见，调查所有在校学生与往届离校学生的数学学习感受，同时结合我校数学教学实践中积累的经验，最终确定了相对科学的教材结构框架。包括教材的编写原则、编写建议、编写及审核流程、编写使用工具、章节课时编排顺序、教材使用评价等，使教材编写有据可依。三个层次使用同一结构框架，并且先进行中间层数学读本的编写，在此基础上确定最高层和最低层读本内容。在对各版本教材的研究中，我们发现，不同教材对同一知识的描述有时完全相同，有时各不相同。这启发我们：对于数学这门学科来说，有些知识点必然有适合所有学生的最科学合理的呈现方式，此时就可以不用区分，否则，就需要对同一知识点进行不同处理，以适应不同层次学生需要。为此，我们特别强调如下两点。

首先，分层不是对学生的要求进行分层，而是为了达到同一目标把学习路径分层。不管如何分层，我们有一把共同的尺子，就是国家课程标准。其次，不要为了分层而分层，如果针对某一知识点，能找到适合所有层次学生的最好呈现方式，此时就可以不分层。比如，对于统计学这一知识模块，相对简单易懂，分层就毫无必要了。我们主要在以下三个方面进行分层。

第一，针对不同水平的学生，有些知识不好理解，我们就需要在知识的呈现方式上进行分层。比如对于“整数与分数统称为有理数”这一概念，有的教材没有解释清楚小数与分数的联系，就需要分层。第二，对例题、习题的数量、难易程度、层次顺序进行分层。比如针对最低层学生思维水平略低的特点，选择的例题、习题综合性要低一点。而针对高层学生，我们会尽量安排开放性例题，增加学生数学探究的机会，以培养学生的数学高阶思维能力。第三，在知识的整合、拓展、延伸、补充上分层。对于低层学生，知识的构建一般是由部分到整体，需要学生在对部分充分理解的基础上，进行知识的整体构建；而高层学生适合在联系与对比中学习，所以，高层教材需要进行相对多的知识整合。例如，学习特殊平行四边形的性质时，把矩形、菱形、正方形的性质放在同一课时中处理，学生在求同存异的过程中，会对矩形、菱形、正方形的性质有更深刻的体会。总之，各层次教材之间“和而不同”。所谓“和”，是指对所有学生来说，都必须掌握基本的数学概念、方法、原理。所谓“不同”，是指各层次教材必然有些内容是不同的，比如在知识应用、知识拓展延伸、知识描述方式、习题难度及数量等方面加以区别。

三、从读本到系列丛书

《数学读本》作为新授课的依托，重点体现知识的发生、发展过程，展现数学的学科本质。但数学必须有适量的练习，这样，配套例题练习便同步开发出来。《数学读本》中的练习追求适量，重在精选，以熟悉新学知识、构建知识网络为主，知识的应用以直接应用为主，尤其注意不要把读本变成习题集。为了提高综合应用数学知识的能力，我们又开发了《习题训练知多少》，方便学生章末或者学期末综合复习时使用。为了培养学生良好的数学思维品质，我们开发了《初中数学思想与方法》，推动学生数学思维发展。这一系列丛书致力于追求学生的最佳使用体验，适合学生自学时阅读与自修时练习。丛书主要突出了如下特点。

1.注重程序性知识

教材中所有计算步骤均作了程序化处理，所有算式均采用结构划分的处理方式，大幅度提升了学生计算能力。比如，有理数的加法运算的程序可归纳为：第一，确定加法运算的类型；第二，确定结果的符号；第三，确定结果的绝对值（绝对值相加还是相减）。

再比如，为了把复杂的整式加减算式进行分解，我们采取利用竖线把算式划分为三个括号的和的形式，有利于从整体把握算式结构。教材中大量类似的结构划分也让教师对学生的具体审题要求具有可操作性，让学生的认真审题真正落到实处。

2.内容适度整合、拆分

我们在浏览各版本教材后，发现教材顺序编排主要参考三种结构：模块结构、串式结构（从一个知识点出发，引出其他相关知识）、螺旋式结构。在认真比较思考后，我校教材确定了以模块结构为主、螺旋式结构为辅的编写原则。比如除法法则，小学只涉及正数与0，初中数系扩展到了有理数，我们就要在小学除法法则的基础上打补丁，把负数也纳入小学的除法法则体系中。而直角三角形全等的判定，采取后来“打补丁”的方式就不科学，因为一般三角形与直角三角形仅仅是一般与特殊的关系，这儿没有数学体系的发展、延伸问题，应该作为一个模块进行学习，“打补丁”就不利于学生构建三角形全等的知识网络，所以我校教材就把三角形（包括直角三角形）的全等整合为一章进行编写。当然，有时候我们也要考虑不同年龄阶段学生认知特点对教材编排顺序的影响，比如多数教材把因式分解与整式的乘法整合在一起，确实有利于学生的整体系统认知，但学生由于年龄原因达不到我们期望的认知水平，有拔苗助长之嫌。所以，从学生认知水平角度考虑，把两者安排在初一下学期与初二上学期分别处理。再比如，一元二次方程的解法有四种，所有教材都把“因式分解法”这种解一元二次方程的方法放在四种方法的最后，然而从学生认知冲突的角度考虑，我们把因式分解法作为第一种方法编写，后面的方法都是因为用“因式分解法”解决不了而必然出现的。

3.力求简洁易懂

简洁是我们编写教材时孜孜以求的目标。比如，在编写“有理数的减法”时，我们需要把减法转化为加法处理，而后一课时“有理数的加减法”，需要把“加减混合运算”看成“省略加号与括号的和”的形式，也就是“-”不再被看作减号，而是负号。为了避免“减法运算”对“加减混合运算”的负迁移影响，我们在编写时把“有理数的减法”弱化，并直接与“有理数的加减法”并入同一课时，时间节省了，效果反而更好。再比如，对于“去括号”这一知识点，其本质是“乘法分配律”，所以我们在“乘法分配律”这一认知基础上描述“去括号”会更简洁易懂，也能体现学科内在本质统一。

4.常见数学结论“模型化”处理

数学也需要记忆，大脑解决问题时，多数情况下是在搜索可利用的模型。为了让学生学起来更轻松，我们归纳了常见数学模型以供学生理解后识记应用。比如，所有涉及几何图形的编写，均可归纳出常见几何模型，提高了学生的图形分离能力。学习“线段的和差关系”时，我们归纳了如下两个基本模型：

模型一：图中三条线段AC、AB、BC（C不是中点），可知二求一。

模型二：图中三条线段AC、AB、BC（C是中点），可知一求二。

所有利用线段和差关系求线段的问题都是上述两个模型的组合，模型归纳出来，有利于学生从复杂问题中识别出基本模型而使问题简化。

5.编排符合学生认知规律

教材的编排必须考虑学生的年龄特征及认知特点，使整个结构体系符合学生的认知规律。具体编写时必须从细节入手，体现由浅入深、由易到难、由特殊到一般、由直观到抽象，注重内在逻辑，注重激发思维。比如，所有数学知识都涉及一般情况与特殊情况，必然要在“由特殊到一般”与“由一般到特殊”两种认知方式之间做选择，以便学生获得最佳体验。教材中函数的学习遵循“由特殊到一般”的规律，而图形的学习则遵循“由一般到特殊”的规律。我们依据自己的教学实践经验，参考不同版本教材的处理方式，确定了每个知识点的科学合理的认知方式。例如，对于三元一次方程组的解法，我们确定先处理最一般的（三个方程均为三元一次方程），再处理特殊的（三个方程中有一个是二元一次方程），如果反过来处理，就容易先入为主，使学生产生思维定势。

正是因为有心系学生的换位思考，数学校本课程系列丛书一出炉便得到了学生的欢迎与家长认同。学生说，“原来的教材总是读不大懂，现在的教材简洁易懂，数学学习变得轻松多了！”。家长说，“原来的教材更多关注教师的教，而校编学生用书真正关注了学生的学！”。

（作者单位：山东省潍坊广文中学）

责任编辑：赵彩侠

zhaocx@163.com