等切削量三维螺旋数控曲面运动轨迹规划*

邱　林，宋爱平，张益汉

(扬州大学 机械工程学院，江苏 扬州　225127)



等切削量三维螺旋数控曲面运动轨迹规划*

邱林，宋爱平，张益汉

(扬州大学 机械工程学院，江苏 扬州225127)

为了保证数控机床高速切削运动的平稳性和连续性，保护机床的进给系统，避免出现因停顿或加速度的突变而造成的较大惯性冲击载荷，从而影响零件的加工质量，提出了一种基于STL数据曲面展开算法的等切削量三维螺旋式刀具平滑运动轨迹规划。在自由曲面加工中避免频繁抬降刀,不同曲面位置等切削量和实现相邻轨迹间平滑过渡的优点，有效的减少刀具的空行程，加减速过程，缩短整个加工时间，同时使刀具承受的载荷更加稳定，因而有利于提高加工表面的质量。为高速数控精加工提供了可靠的条件。

曲面加工；数控轨迹；三维螺旋；等切削量

0　引言

自由曲面轮廓零件的数控加工通常需经过粗加工、半精加工和精加工等多个加工工序来完成，其中精加工工序中刀具轨迹设计的优劣直接决定了曲面轮廓零件的最终表面加工质量[1-2]。因此，精加工刀具轨迹的规划也成为了自由曲面加工中的关键技术。自由曲面数控精加工刀具运动轨迹的生成技术相对比较复杂[3]，近二十多年来，业界学者们针对该技术进行了深入的研究，探讨了诸如等残留高度法、等高线法、等参数线法、平行平面刀路法等多种精加工刀具轨迹方法[4-5]，但它们都存在共同的不足之处，那就是在曲面的精加工过程中，相邻刀具轨迹之间不能很好的平滑过渡，需要不断地进行抬刀、降刀，或者出现频繁的加工方向突变。

针对目前空间曲面数控精加工过程中存在的问题，进行了刀具平滑运动轨迹规划的研究，提出了一种三维螺旋式刀具平滑运动轨迹规划的策略。通过一定算法得到曲面数控精加工过程中按三维螺旋式分布的刀触点，使用一种可调形三次三角Cardinal样条曲线[6]对所得到的刀触点进行样条插值拟合[7]，从而得到连续、光顺和平滑的三维螺旋式数控精加工刀具运动轨迹，为实现曲面高速高精数控加工提供可靠的理论依据和计算方法。

1　三维螺旋平面刀触点计算

1.1传统曲面加工轨迹

目前常用的曲面精加工刀具轨迹如图1所示，其中“Z”字形扫描切削精加工轨迹无法避免进给系统频繁的进行减速、换向、加速的过程；而等高分层切削精加工轨迹中存在频繁的抬刀、换向、降刀的过程，增加了刀具的空程移动。这些都将引起机床的振动，从而影响曲面的加工质量和效率。此外，如果在高速加工中使用上述刀具精加工轨迹，会使刀具运动速度的变化更加急促[8-9]，从而对机床造成更大的冲击，不能很好的保护机床的进给系统，造成机械设备不必要的耗损，也不能很好地保证曲面的加工精度与加工效率[10]。

图1　曲面精加工常用轨迹示意图

1.2平面刀触点生成

规划曲面数控精加工刀具平滑运动轨迹，首先需要得到被加工曲面的STL数据文件，即提取组成曲面的三角形面片的几何信息，然后根据提出的刀具轨迹规划算法，得到一系列空间螺旋分布的离散插值点，进而获得连续、光顺的刀具运动轨迹[11]。采取SolidWorks软件建立加工零件的三维模型并存储为STL(STereo Lithography interface specification)文件，使用VFP(Visual FoxPro)数据库软件对信息进行处理计算。

以底面凸起的半球面为例，精加工表面STL数据模型如图2所示。

图2　加工曲面STL模型

为得到离散的插值点，首先将精加工表面STL数据模型向XOY平面投影，从重心向四周发出一系列等间隔角度为θ的射线，每条从重心发出的射线依次与加工表面STL模型的三角形面片求交点，求到交点后再计算其与重心之间的距离，记录下该射线与三角形面片的所有交点中与重心距离最远的交点，这样一共可以得到2π/θ个最远的交点，只要间隔角θ比较小，依次连接这2π/θ个最远的交点，便可以得到精加工表面的边界轮廓。

设第i条射线Li与X轴正方向的夹角为θi，则在第一象限内该射线方程为：

(1)

计算射线与三角形面片的交点信息，设其三个顶点分别为A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)、C(x3,y3,z3)，法矢量为(v1，v2，v3)，则此三角形面片在XOY平面上的投影点坐标分别为A′(x1,y1)、B′(x2,y2)、C′(x3,y3)，故投影后三条边的方程分别为：

B'C'：fa(x,y)=(x-x2)×(y3-y2)-(y-y2)×(x3-x2)

A'C'：fb(x,y)=(x-x1)×(y3-y1)-(y-y1)×(x3-x1)

A'B'：fc(x,y)=(x-x1)×(y2-y1)-(y-y1)×(x2-x1)

(2)

以A′B′边为例，联立射线方程与线段A′B′方程：

(3)

若射线Li与三角形片A′B′边存在交点，则其坐标为：

(4)

为了生成等比例螺旋发散式平滑刀具运动轨迹上的刀触点，需要将平面边界轮廓点和坐标原点之间的线段都作定数等分。线段定数等分的数量n由允许的最大相邻刀具运动轨迹之间的距离确定，假设允许的最大相邻刀轨之间的距离为Δd(Δd<刀具直径D)，分别计算所有组成平面边界轮廓数据点与坐标原点之间的距离，记其中最大的距离为lmax，则最后生成的有界等比例螺线的圈数m为：

(5)

为了提高加工效率，m可以取满足式(5)的允许的最小整数值，确定m的值以后，就可以确定线段定数等分的数量n，计算公式如下：

(6)

(7)

通过式(7)可以得到n个平面等分点之后，将其保存至数据库平面刀触点VFP表中。

2　等比例三维螺旋轨迹规划

根据保存在VFP新数表中的平面刀触点反求出它在投影前的空间曲面上的对应点，这些空间曲面上的对应点，即为曲面数控精加工时的空间刀触点，再运用可调形三次三角cardinal样条曲线插值于这些空间刀触点，就可得到使用曲面等比例螺线法规划的空间三维螺旋式数控精加工刀具平滑运动轨迹。

从保存有平面刀触点的数表中依次读取每个数据点，设其坐标为D′(x0，y0)，判断D′点属于空间曲面哪个三角形面片的投影范围之内，设三角形顶点分别为A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)、C(x3,y3,z3)，法矢量为(v1，v2，v3)，在XOY平面上的投影点坐标分别为A′(x1,y1)、B′(x2,y2)、C′(x3,y3)，投影后三条边的方程同式(2)。

以B′C′边为例，若平面刀触点D′在投影三角形A′B′C′内，则点D′必须与点A′在B′C′ 边的同侧，即满足fa(x0，y0)×fa(x1，y1)>0，其它边同理。所以判断平面上的刀触点D′(x0，y0)是否在三角形A′B′C′内，只要比较fa(x0，y0)×fa(x1，y1)、fb(x0，y0)×fb(x2，y2)和fc(x0，y0)×fc(x3，y3)这三个数的正负性，可能出现的情况有以下几种：①三个数都是正数，则D′在三角形A′B′C′内；②至少有一个负数，则D′在三角形A′B′C′外；③有且只有一个0，另外两个都是正数，则D′在三角形A′B′C′ 的边上；④有且只有一个0，一个正数一个负数，则D′在三角形A′B′C′的延长线上；⑤有二个0，则D′在三角形A′B′C′ 的顶点上。

若符合第①种情况，则说明平面刀触点D′就在三角形面片ABC的投影范围内，其对应的空间刀触点D就在此三角形面片内，法矢量为(v1，v2，v3)，且点D与点D′具有相同的X坐标和Y坐标，需要确定的是点D的Z坐标z0。由于平面内任意一条直线都与该平面的法矢量垂直，而AD为三角形面片所在平面内的一条直线，根据点A和点D的坐标，可知直线AD的方向向量为(x0-x1，y0-y1，z0-z1)，根据此方向向量与三角形面片的法矢量垂直，可以得到：

(x0-x1)×v1+(y0-y1)×v2+(z0-z1)×v3=0

(8)

由式(8)可求得点D的Z坐标z0为：

(9)

将求得的空间刀触点坐标和所在三角形面片的法矢量信息保存到VFP数表中。

若符合第③种情况，即点D′在三角形面片投影后的边上，那么可以得到D′就在等于0的方程所对应的那条投影边上，然后再根据投影边线所对应的空间直线求出其对应的空间点D的Z坐标及其所在空间三角形面片的法矢量，并保存到VFP数表中。

若符合第⑤种情况，即点D′在三角形面片投影后的顶点上，这种情况下，D′所对应的空间点D就是投影前三角形面片ABC中的一个顶点，且D′就是等于0的两个方程所对应的两条边相交所组成的顶点。求得该点后，将其坐标及所在三角形面片的法矢量保存到VFP数表中。

若不符合①、③、⑤中任意一种情况，说明平面上的刀触点D′不在该空间三角形面片ABC的投影范围内，继续读取三角形面片数据信息的数表中下一个三角形面片，然后按以上的方法再进行判断，依次往下，直至找到平面刀触点D′所对应的空间刀触点D为止。

如此循环，便可找到每一个平面刀触点在空间曲面上对应的点，这些对应的点即为空间曲面数控精加工时刀具平滑运动轨迹上的刀触点，将这些刀触点按顺序存入VFP数表中，然后用可调形三次三角Cardinal样条曲线插值于这些空间刀触点，便可生成如图所示的由曲面有界等比例螺线规划方法得到的空间曲面数控精加工刀具平滑运动轨迹。

图3　等比例三维螺旋加工轨迹

3　等切削量三维螺旋轨迹规划

传统曲面加工轨迹通常按照纵向或横向进给距离划分轨迹，这势必造成每次走刀的切削量不等，刀具运动过程所受的切削力不均，容易引起刀具和机床震动，影响表面加工质量。如图4所示，传统径向进给等间距的条件下，曲面斜率大的部位切削量大且变化明显，平缓的部分切削量小且相对均匀。因此在等比例三维螺旋轨迹的基础上提出等切削量三维螺旋加工轨迹。为了获得相等的切削量需要将曲面周向距离等分，使每次进给纵向深度自动调节以调整切削量，本文基于曲面STL数据模型设计了一种按周向长度展开的算法。

图4　切削量示意图

3.1STL数据表面展开

(10)

将对应的P′ij(x,y)带入方程(10)即可得到空间点Pij(x,y,z)。设重心为Pi0，同一射线上相邻空间交点的距离：

(11)

加工曲面边界最远点距离重心的总长度Si为：

Si=Li1+Li2+Li3+Li4……+Lij

(12)

根据Si挑选出每条射线上最远交点，共有2π/θ个边界最远点，依次连接这些最远点即可得到在XOY平面上沿曲面长度展开的外轮廓，如图5所示。

图5　外轮廓示意图

3.2等切削量轨迹空间刀触点

精加工曲面展开后，使用平面等比例螺旋法在其展开面上计算平面刀触点，XOY平面上的每一个等分点都对应一个展开前的空间曲面刀触点。首先在数据库中找到平面刀触点所在射线的角度相一致的等比射线，而后将平面刀触点的坐标与射线上交点坐标依次对比，从而找出该等分点所在的空间位置，利用空间几何关系计算出该点在曲面上的原坐标。

(13)

图6　空间几何计算关系

平面还原为曲面后，投影三角形△ABC与△ADE的相似比为K，通过几何关系推导，空间等分点qj的坐标：

(14)

根据式(14)，对平面等分点数据进行依次查找计算，将展开平面上的等分点还原为曲面空间的等分点即空间刀触点。为了最终形成平滑的刀具加工轨迹，使可调形三次三角Cardinal样条曲线对所得到的空间刀触点进行样条插值拟合。如图7，图8所示等切削量三维螺旋加工轨迹，从俯视图中可以看出与等比例三维螺旋轨迹相比，在中间凸台以及曲面边界等斜率较大的部分刀具轨迹明显较密，减少了走刀切削量，在曲面底部平缓部分轨迹较稀疏。此种轨迹在加工斜率有较大变化的曲面时，能够根据斜率调整刀具轨迹间隔均匀切削量，使得刀具在运动过程中受力均匀，有利于减少机床振动提高表面质量。

图7　等切削量三维螺旋平滑加工轨迹

图8　鼠标外壳型曲面等切削量三维螺旋轨迹

4　轨迹加工试验

通过以上算法，计算得到精加工曲面的三维螺旋运动轨迹的插值点，运用可调形三次三角Cardinal样条曲线进行拟合并生成数控加工文件。运用MasterCAM软件自动生成传统等高分层切削精加工轨迹，进行了加工试验如图9。对比发现，图9a传统等高分层加工轨迹刀具层间移动痕迹明显，图9b三维螺旋加工轨迹为一次走刀过程，无明显抬刀、降刀痕迹。

(a) 等高分层切削精加工轨迹

(b) 三维螺旋精加工轨迹

5　结束语

本文提出了一种基于STL曲面数据模型建立平滑数控加工轨迹的方法，利用三维软件和数据库系统计算出等切削量螺旋加工轨迹的刀触点，调用可调形三次三角Cardinal样条曲线对空间刀触点进行插值拟合。该曲面加工轨迹规划有利于避免机床频繁抬刀、降刀、加减速和方向突变，减少了空行程和加工时间，在铣削过程中受到的切削力均匀，有利于提高表面加工质量和减少机床刀具震动，为实现曲面高速高精数控加工提供可靠的理论依据和计算方法。

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(编辑李秀敏)

Trajectory Planning of 3D Spiral NC Curved Surface with Equal Volume of Cutting

QIU Lin,SONG Ai-ping,ZHANG Yi-han

(College of Mechanical Engineering, YangZhou University, Yangzhou Jiangsu 225127,China)

In order to ensure the stability and continuity of the CNC high-speed cutting movement and protect feed system,To avoid the larger inertia impact load caused by the occurrence of a sudden stop or acceleration of the mutation,which can affect the processing quality of parts.A kind of 3D spiral tool path planning based on STL data and surface expansion algorithm is proposed.There are advantages of no tool rising,tool direction smooth and equal cutting amount for different surface currature.These effectively reduce the cutting tool's empty stroke, shorten the processing time, and make the load more stable, so it is advantageous to improve the quality of the machined surface.Provided the reliable condition for the high speed numerical control precision machining.

curved surface machining; NC track; 3D helix;cutting quantity

1001-2265(2016)08-0046-04

10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.08.013

2015-11-15

国家自然科学基金项目(51375427)

邱林(1991—)，男，江苏镇江人，扬州大学硕士研究生，研究方向为CAD/CAM技术，(E-mail)qiulin91@foxmail.com。

TH166;TG659

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