基于极值波延拓的端点效应处理方法

杨小强, 李　沛, 黄　杰, 韩艾洋

(1. 解放军理工大学野战工程学院, 江苏 南京 210007;2. 北京外国语大学英语学院, 北京 100089)



基于极值波延拓的端点效应处理方法

杨小强1, 李沛1, 黄杰1, 韩艾洋2

(1. 解放军理工大学野战工程学院, 江苏 南京 210007;2. 北京外国语大学英语学院, 北京 100089)

为解决总体平均经验模态分解(ensemble empirical mode decomposition, EEMD)的端点效应问题,提出了一种基于极值波延拓的端点效应处理方法。该方法从波形匹配延拓的模板子波和寻优起始点着手,以最靠近端点处的极值波为模板子波,以与端点处极值点同型的极值点为匹配起始点,使寻优的目的性更强,过程更加优化。同时,提出了一种客观有效的端点效应评价方法——区域等分的端点效应评价指标,避开了数据长度的干扰,突出了端点效应的影响。通过对仿真和实测信号的应用分析,并与采用镜像对称延拓方法比较,证明了极值波延拓法对抑制端点效应的有效性。

总体平均经验模态分解; 极值波延拓; 端点效应

0　引　言

经验模态分解(empirical mode dcomposition, EMD)方法是由美国科学家 Huang[1]于1993提出的,它是对传统的基于傅里叶变换的稳定性、线性频谱分析的突破和创新。EMD利用信号的局部特征时间尺度,提取出信号的多阶固有模态函数和一个残余量,分解出的各阶模态函数凸显了信号的局部特征,残余分量则是信号中缓变量的表现。对各阶模态分量进行分析，有助于准确把握信号的多种特征信息。但EMD在应用中仍存在比较严重的问题,如单独的模态分量含有全异尺度,以及相同尺度出现在不同的模态分量中。为此,法国Flandrin教授和Huang[2]本人的研究团队在EMD算法的基础上提出了总体平均经验模态分解(ensemble empirical mode decomposition, EEMD)算法。EEMD算法的主要做法是将白噪声加入到所需分解的信号中，以补充计算过程中所缺失的一些,进而达到更好的分解结果,这也就是EEMD中模态分析的基本思路。

但在运用EEMD对信号进行分解时,会存在端点效应问题。由于信号长度有限,且两端点不能同时既为极大值又为极小值,在采用三次样条曲线对极值点进行插值拟合包络线时,会在端点处失去约束,导致包络线在端点处产生发散现象。并随着筛分过程的进行,发散所产生的误差逐渐向内传播,“污染”整个数据序列,致使分解的结果出现严重失真。

针对端点效应,国内外学者提出了许多有效的方法,主要有极值延拓法[3]、镜像延拓法[4]、数据预测法[5]、多项式拟合法[6]、波形匹配延拓法[7-8]等。这些方法都能在一定程度上抑制端点效应,但也存在需要进一步改善的地方。通过对镜像对称延拓法和波形匹配法的研究,本文提出了一种基于极值波延拓的端点效应处理方法。通过仿真分析,能有效抑制端点效应影响。

1　区域等分的端点效应评价指标

在评价端点效应的影响程度时,大多文献中采用Hilbert时频谱图的方法,观察端点处是否发散,这种方法主观性太强。另外,也通过固有模态函数(intrinsic mode function, IMF)分量与各成分的对比来判断,但只适用于各成分表达式明确的信号,因为实测信号的成分表达式往往是不确定的。针对上述情况,文献[9]提出了一种客观的端点效应评价方法——基于能量的端点效应评价指标θ1,理论上,如果分解不受到端点效应的影响,各IMF分量互相正交,IMF能量总和与原信号能量相等,但实际上端点效应是不可避免的,所以分解必然会造成能量的变化,因而可以将能量的变化作为端点效应评价指标。由于端点效应影响一般在数据两端的局部区域,而且造成的能量变化相对于整个数据的能量来说是比较小的,所以在文献[9]的方法中,考虑全部数据长度而计算的RMSi很可能将端点效应的影响淹没掉。

(1)

式中,RMS为数据有效值;RMSi为第i阶IMF的有效值;RMSorginal为原信号的有效值;n为数据长度;m为IMF的个数。

文献[10]对文献[9]所提方法进行一定改进,提出了基于有效数据的端点效应评价指标θ2,引入左右两端有效数据点数li和ri,将RMSi的计算范围缩小在li和ri表示的区域,取得了比较好的效果。但是li和ri的确定比较繁琐,实际操作时会增加很大的工作量。

(2)

式中,li为左端有效数据点数;ri为右端有效数据点数；其他参数同式(1)。

在上述二者的基础上,本文提出了一种更为简单有效的评价方法——区域等分的端点效应评价指标θ。将数据作k等分,计算首末两个等分区域能量之和的变化,以此为评价指标,等分数k可根据端点处发散的大致区域来确定。

(3)

式中,round(x)函数为取最接近x的整数(四舍五入法)；k为等分数；Nd为所取点数；其他参数同式(1)。

2　极值波延拓法

波形匹配延拓法以靠近端点处的一段波形作为模板子波,通常取端点和靠近端点的两个极值点间的波形,称为边界波。波形匹配延拓法通过在信号内部寻找与边界波最相似的对应子波,再截取相似子波的前一段波形(后一段波形)作为左(右)端延拓部分,这种方法考虑了端点处的变化趋势与信号内部的波动规律之间的联系,而用来分析的实际信号大都具有波形重复的规律,所以波形匹配延拓法是一种遏制端点效应非常有效的方法。波形匹配延拓法在应用时涉及到模板子波、寻优起始点、匹配公式和延拓波长的设置问题,本文从这4个方面着手,提出了一种新的波形匹配延拓方法——极值波延拓法。定义极值波为任意3个相邻的极值点组成的波形,信号的延拓包括左右两端,下面以左端的延拓为例来说明极值波延拓法。

(1) 确定与端点对应的极值波序列{R}

信号x(t)有m个极大值点和n个极小值点,组成的集合分别为{E}和{e},t(Ei)、x(Ei)分别表示第i个极大值点的时间序列和数值,t(ei)和x(ei)分别表示第i个极小值点的时间序列和数值。假设x(t)的第一个极值点为极小值,由于是进行左延拓,所以定义左极值波序列{S}为任意两个相邻的极小值和它们之间的极大值组成的极值波,显然第i个左极值波Si为由ei、Ei和ei+1组成的波形。

(2) 选取模板子波与匹配子波

定义靠近左端点的第1个左极值波S1为模板子波,除S1外的所有左极值波Si(i≠1)为匹配子波。

(3) 计算匹配误差

对于两个三角形,如果它们对应的3条边都相等,则这两个三角形全等。如果匹配子波Si的3个极值点组成的三角形ΔeiEiei+1与特征子波S1中的三角形Δe1E1e2全等的程度越高(见图1),则Si与S1相似的程度也就越高。根据这一原理,设定匹配误差计算公式为

(4)

(5)

(6)

式中,i∈[2,n-1]；d(e1,ei+1)表示e1点到ei+1的距离；其他类似。

图1　极值波匹配Fig.1　Extreme wave matching

(4) 寻找最优匹配子波

计算除S1以外的所有左极值波Si(i≠1)与模板子波的匹配误差P(i-1)(i∈[2,n-1]),找到最小的min(P(i-1))=P(k-1),说明左极值波Sk与S1的相似程度最高,如果同时存在多个最小P(i-1),取与Si最远的Sk。

(5) 截取延拓波形

如图2所示,寻找到最佳匹配子波Sk后,截取Sk左边的一段波形S′(一般选取左极值波的整数倍,图2中取为2个左极值波),由于模板子波S1的起始点为第一个极值点ei而不是左端点O,所以还需对S′作一定处理才能作为延拓波形。在S′中找到点B,使波形Bei对应的时间与Oei对应的时间一致,如式(3)所示,最后确定ek-2B对应的波形S″为延拓波形。

(7)

图2　截取延拓波形Fig.2　Prolongation wave capture

(6) 左右端点的延拓

将截取的延拓波形S″平移至左端点处,使B点与左端点O重合,左延拓结束,再用同样的方法对右端点进行延拓。

(7) 分解结果的截取

对经左右延拓的信号进行EEMD分解,在分解结束时,再对IMF分量进行截取,保留与原信号数据长度与时刻一致的部分。

3　仿真信号分析

文献[2]所提的EEMD方法中IMF的求取是通过10次包络均值相减循环得到,且IMF分量个数由信号长度决定。本文应用的EEMD方法是在文献[2]所提EEMD方法的基础上改进的,其中的分解过程不再是简单的循环相减,而是嵌入了完整的EMD分解。本文EEMD中内嵌的EMD程序为法国学者Rilling G所编[4],该程序内EEMD的分解层数，也就是其中嵌入的EMD的分解层数,由EMD分解的IMF筛分终止条件决定,也即分解过程持续至分解所得差值函数不存在负的局部极大值和正的局部极小值,否则说明所得函数还不是一个IMF函数,还需继续分解。程序内的端点处理方法为镜像对称延拓法(下文中直接进行EEMD分解时就等同于端点处理采用镜像对称延拓法),这种处理方法延拓简单、计算量小、效果明显,所以被广泛采用。在检验本文极值波延拓方法对抑制端点效应的效果时,均通过与镜像对称延拓方法的比较来评价,选择仿真信号形式为

(8)

3.1仿真信号的分解结果对比

信号长度对端点效应的影响非常大,在对一个周期性信号进行延拓时,有两种情形:①信号内部有与模板子波完全一致的子波,经延拓后的信号走势与信号的真实走势几乎无差别；②信号内部没有与模板子波完全一致的子波,此时,匹配到的最优子波是与模板子波相似程度最高的子波,延拓后的信号走势与信号的真实走势有一定差别。下面分别对这两种情形进行EEMD的分析比较。

3.1.1情形1

选取式(8)信号的时间t∈[-23,223],经延拓(左右各延拓2个极值波)后的波形如图3所示。

图3　情形1信号延拓图Fig.3　Signal prolongation of situation 1

由图3可知,信号在延拓时,模板子波匹配到了完全一致的子波,信号的延拓部分与信号的真实走势完全重合。这种情形在分析一些较长(1个周期以上)周期性的信号时,是必然会出现的。下面分别对信号进行EEMD(端点处理采用镜像对称延拓方法)以及经极值波延拓后EEMD(噪声标准差设置的非常小),如图4所示。

图4　情形1下两种延拓后的EEMD对比Fig.4　EEMD prolongations comparison in situation 1

分解各得到了3阶IMF分量,对比可以看出,图4(b)中的IMF分量波动的规律性要好于图4(a)对应的IMF分量。为进一步分析,分别作出IMF分量与信号相应成分的对比图,如图5所示。

图5　情形1下两种延拓后分解的IMF与信号分量对比Fig.5　Comparison of IMF and signal component after prolongations in situation 1

图5(a)中,3阶IMF分量的端点效应都非常明显,尤其是IMF3,与信号中的x3差别甚大,基本已失真。反观图5(b),3阶IMF分量与信号中对应的3个成分基本重合,可见,延拓的效果是非常有效的。

(9)

3.1.2情形2

选取式(8)信号的时间t∈[-23,124],经延拓(左右各延拓2个极值波)后的波形如图6所示。

图6　情形2的信号延拓图Fig.6　Signal prolongation of situation 2

从图6中可以看出,由于信号较短的缘故,信号内部没有与模板子波完全一致的子波,所以模板子波只能匹配到与其相似程度最高的子波,经延拓的信号与信号的真实走势有一定出入。这种情况下的延拓能否改善端点效应,还需进一步验证。图7(a)是直接EEMD的结果,图7(b)是经极值波延拓后的EEMD结果。

图7　情形2下两种延拓后的EEMD对比Fig.7　EEMD Prolongations comparison in situation 2

由图7可知,两种分解都得到了3阶IMF分量,大致能与信号中的3种成分相对应,为进一步比较分解结果的端点效应,分别作出IMF分量与对应信号成分的对比图,如图8所示。

图8　情形2下两种延拓后分解的IMF与信号分量对比Fig.8　Comparison of IMF and signal component after prolongations in situation 2

从图8的对比可以看出,经过极值波延拓后分解的IMF分量与对应信号成分的拟合程度更加吻合,端点处的发散得到了明显改善,说明即便在信号序列较短,模板子波匹配不到完全一致的子波,而只能匹配到相似程度较高的子波时,延拓对于抑制端点效应依然是有效的。

3.2仿真信号的端点效应评价指标

对图9所示实验信号进行EEMD(端点处理采用镜像对称延拓)、以及经极值波延拓后的EEMD,结果如图10所示。

图9　实验信号的延拓图Fig.9　Experimental signal prolongation

图10　两种延拓方法的EEMD结果Fig.10　EEMD results of two prolongation methods

分别对情形1信号和情形2信号的两种延拓方法的EEMD结果进行处理,得到它们的端点效应评价指标θ1和θ(等分数k取为8),如表1所示。

表1　仿真信号的端点效应指标

表1中两种情形下的极值波延拓的端点效应指标θ1和θ都要小于镜像对称延拓,说明经极值波延拓后端点效应得到了明显改善,与图5和图8所反映的信息一致。同时,指标θ比θ1的反应更为灵敏,故采用区域等分的端点效应评价指标θ能更加有效地评价端点效应的影响程度,下文中只采用指标θ。

4　实验信号分析

通过上述仿真信号分析,可以知道极值波延拓方法对于抑制EEMD的端点效应具有较好的效果。选择液压故障平台上测得的某故障信号为实验信号,采样频率为5 000 Hz,采样点数为2 048,考虑到数据长度较短时端点效应更为明显,所以截取其中的505个点作为研究对象,图9是经过极值波延拓的实验信号(左右各延拓10个极值波)。图10(a)端点处理采用镜像对称延拓方法,分解得到了8阶IMF分量,其IMF3左端存在明显发散,右端波形存在较大畸变,IMF4和IMF5的右端也存在发散现象。图10(b)是经过极值波延拓后的EEMD结果,也得到了8阶IMF分量,其IMF3的波形平稳性明显改善,而且左右两段基本不存在端点发散,从总体上来看,图10(b)的分解是要好于图10(a)的。为了更加客观的评价,分别求出两种方法下的端点效应指标θ(以IMF3中发散区域与整个数据长度的大致比值为依据,k取为15),如表2所示。

表2　端点效应指标

从表2可以看到,采用极值波延拓法后分解的端点效应指标明显小于采用镜像对称延拓法的,也就说明较之于镜像对称延拓法,极值波延拓法能更好地抑制端点效应。

5　结　论

(1)针对EEMD中出现的端点效应问题,本文在综合比较两种端点效应评价方法的基础上,结合EMD理论与EEMD算法,提出了一种更为简单有效的评价方法——区域等分的端点效应评价指标。将数据多等分,计算首末两个等分区域能量之和的变化,有效避开了数据长度的干扰,突出了端点效应的影响。

(2)基于波形匹配延拓法应用时所涉及到的4个方面,即模板子波、寻优起始点、匹配公式和延拓波长的设置问题,提出了新的波形匹配延拓算法,该方法以最靠近端点处的极值波为模板子波,以与端点处极值点同型的极值点为匹配起始点,使最佳匹配波形的寻找过程更加优化,目的性更强。

(3)在对EEMD方法进行改进的基础上,本文开发了算法程序,其中借用了文献[4]的EMD部分程序,从而完成了波形匹配延拓算法的具体实现。通过与镜像对称延拓分解结果的比较,证明本文的延拓算法对抑制端点效应的有效性,端点效应指标的比较也证明了这点。

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李沛(1991-),通信作者,男,硕士研究生,主要研究方向为测试技术。

E-mail:yangsecond@126.com

黄杰(1990-),男,博士研究生,主要研究方向为信号处理。

E-mail:medi1114@126.com

韩艾洋(1997-),女,主要研究方向为科技英语翻译。

E-mail: yangchief@126.com

Method based on extension of extreme wave in dealing with end effect

YANG Xiao-qiang1, LI Pei1, HUANG Jie1, HAN Ai-yang2

(1.SchoolofFieldEngineering,PLAUniversityofScienceandTechnology,Nanjing210007,China;2.SchoolofEnglishandInternationalStudies,BeijingForeignStudiesUniversity,Beijing100089,China)

In order to solve the problem of end effect on ensemble empirical mode decomposition (EEMD), a new method based on extension of extreme wave in dealing with end effect is proposed. This method focuses on the template wavelet and the optimization starting point in waveform matching and extension. The nearest extreme wave is used to the endpoint as the template wavelet, and the same type extreme point with the one nearest is taken to the endpoint as the optimization starting point. With this method, the purpose of optimization is clearer and the process is more optimized. In the meantime, an objective and effective evaluation method of end effect is provided, which is the end effect evaluating indicator in equal parts. It effectively avoids the interference of data length, and highlights the influence of end effect. Through the application of the method based on extension of extreme wave in the simulation signal and measured signal, and comparing with the result of the mirrored symmetry extension method, it is proved that the method base on extension of extreme wave can effectively restrain the end effect.

ensemble empirical mode decomposition(EEMD); extension of extreme wave; end effect

2015-12-15；

2016-04-03；网络优先出版日期：2016-06-07。

江苏省青年科研基金(BK2012061)资助课题

TH 137

A

10.3969/j.issn.1001-506X.2016.09.04

杨小强(1967-),男,副教授,博士,主要研究方向为信号处理与故障检测。

E-mail:yanglab@126.com

网络优先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20160607.1605.022.html