解析几何中一类问题的求解方法

王华俊

(江苏省华罗庚中学,213200)



解析几何中一类问题的求解方法

王华俊

(江苏省华罗庚中学,213200)

解析几何中,定点、定值、最值与范围问题,几乎涵盖解析几何中的所有知识与思想方法．这几类问题的知识综合性强,方法灵活,对运算能力和推理能力要求较高,因而成为了高中数学学习的重点和难点.

定点定值问题都是探求“变中有不变的”量．因此，要用全面的、联系的、发展的观点看待并处理此类问题，从整体上把握问题给出的综合信息,并注意挖掘问题中各个量之间的相互关系,恰当适时地运用函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合、分类讨论、特殊到一般、相关点法、设而不求、换元、消元等基本思想方法.下面，笔者通过具体的例子来说明这类问题的求解方法.

一、定点问题

例1在平面直角坐标系xOy中,二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.

(1)求实数b的取值范围;

(2)求圆C的方程;

(3)问圆C是否经过定点(其坐标与b的取值无关)?请证明你的结论.

解(1)(2)略.

(3)方法1特殊值探求

由(2)知,圆C 的方程为

x2+y2+2x-(b+1)y+b=0.

分别令b=0,-1,得方程组

所以圆C过定点(0,1)和(-2,1).

证明如下:

将点(0,1)的坐标代入方程,左边=02+12+2×0-(b+1)+b=0,右边=0，

所以圆C过定点(0,1).

同理可证圆C过定点(-2,1).

方法2参数无关法

圆C 必过定点,证明如下:

假设圆C过定点(x0,y0)(x0,y0不依赖于b),将该点的坐标代入圆C的方程,并变形为

=0.

(*)

为使(*)式对所有满足b<1(b≠0)的b都成立,必须有1-y0=0,结合(*)式，得

经检验知,点(0,1),(-2,1)均在圆C上,因此圆C 过定点．

评注定点问题通常先求出动曲线方程,而后求定点有两种方法:一是通过取特殊值找出定点,然后后加以证明;二是利用定点与参数无关,从而含参数的动圆方程恒成立,利用系数关系求出定点．

二、定值问题

(1)求椭圆的标准方程;

(2)求点C的坐标;

解(1)(2)略.

(3)由(1)知椭圆的标准方程为

设P(x0,y0),M(2y1,y1),N(2y2,y2).

∵P,B,M三点共线,

∵P,C,N三点共线,

∵点C在椭圆上,

评注定值问题,先设出动点的坐标,并看作参数,再根据条件依次求出相关量,建立与参数的联系,将椭圆上点的坐标满足椭圆的方程这一基本条件代入消参．

三、最值与范围问题

例3设m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,则m+n的取值范围是______.

解由直线与圆相切,得

平方整理,得

当且仅当m=n时取“=”,解得

解设直线PQ的方程为:x=c+my,P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线方程代入椭圆方程，得

(b2m2+a2)y2+2b2cmy-b4=0.

而∆F1PQ的面积

S=c|y1-y2|

令t=m2+1(t≥1),则