例说数学解题中的几招

徐龙青

(江苏省扬州市邗江区蒋王中学，225126)



例说数学解题中的几招

徐龙青

(江苏省扬州市邗江区蒋王中学，225126)

数学是客观世界空间形式和数量关系的反映,矛盾与对立不断地处于转变与统一之中,转变是简化题意的重要手段,是解决数学问题的一把利剑．在解题中巧妙使用转变,常常会起到“山穷水复疑无路,柳暗花明又一春”的效果.下面举几例与大家共赏．

第1招把未知变为已知

解决问题的突破口是找到“问题”与“条件”间的桥梁．

第2招把陌生变为熟悉

把需要解决的问题从一个陌生的情境转变到熟悉的情境．

例2若存在a∈[1,3],使得不等式ax2+(a-2)x-2>0成立,求实数x的取值范围．

如果我们直接根据题目条件求实数x的取值范围，比较困难，故从另一角度出发，考虑问题.这道题中命题“存在a∈[1,3]使得不等式ax2+(a-2)x-2>0成立”的否定是“对于任意a∈[1,3],使得不等式ax2+(a-2)x-2≤0成立,求实数x的取值范围．”接着再变为“对于任意a∈[1,3],使得(x2+x)a-2x-2≤0成立,求实数x的取值范围．”从而看作关于a的函数，使问题轻易获得解决．

第3招把复杂变为简单

换个角度看问题,别有一番收获．

例3如图1所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2AD=2AA1=2,F是CD的中点,求三棱椎B-A1DF 的体积．

如果直接以∆A1DF为底面,B点到平面A1DF的距离(高)较为复杂．可以这样转变:在三棱锥中，取∆BDF为底，A1为顶点，显然底∆BDF面积易求，高为顶点A1到平面ABCD的距离，即A1A.这因为直线A1B1∥直线DF,所以直线A1B1∥平面A1DF,三棱锥B-A1DF的体积等于三棱锥A1-BDF的体积.

第4招把抽象变为具体

变抽象为具体非常符合人的认知规律,“走两步”探索一下,感觉就来了．

例4已知数列{an}满足

则a20等于______.

第5招把一般变为特殊

从特殊到一般,从具体到抽象是研究数学的一种基本方法,在一般情况下难以发现的规律,在特殊条件下比较容易发现.在一般情况下得出的结论、方法在特殊情形下自然成立,所以特殊和一般之间的转变可以用来验证命题的正确性,探索解的途径．

第6招把数量变为图形

这是一种重要的,并被广泛使用的方法．大量数式问题潜在着图形背景,借助形的直观性解题是寻求解题思路的一种重要方法．有时画一个图形给问题的几何直观描述,从数与形的结合中易于找出问题的逻辑关系．

例5关于x的方程|x2-4x+3|-a=x有三个不相等的实数根,则实数a的值是______.

此方程有三个根的问题可转变为两个函数y=|x2-4x+3|与y=x+a图象有三个交点的问题．

第7招把实际问题变为数学问题

用数学的眼光看问题,用数学知识解决生活中的问题．

例6两人相约7点到8点在某地会面,先到者等候另一人20分钟,过时离去,求两人能会面的概率．

本题是有名的“会面问题”．因为两人谁也没有讲好确切的时间,故样本点由两个数(甲、乙两人各自到达的时刻)组成,有序数对对应于平面上的点．因两人在7点到8点间到达是等可能的,所以可把这个实际问题变为数学中的几何概型问题，从而问题得以解决．

从以上案例可以看出,转变的本质特征是知识和方法的迁移.这种迁移受一定条件的制约,从学习方法和认识规律来说,我们要从哪些方面着手为联想与转变创造条件呢?

(1)知识的容量要大,要注意知识间的联系与演变,不断开拓思路,不断收集相关信息、积累联想、转变的实例．

(2)逐步掌握数学的基本思想方法,由简单到复杂,由低级向高级、由模仿到创新．联想与转变通常以一定的技巧、技能作为它的存在形式,而技巧与技能的形式与数学思想方法关系密切.这样做一方面有利于牢固地掌握基础知识,同时又有利于思维品质的优化．

(3)在学习中贯彻意义学习的原则.所谓意义学习就是新知识与学习者头脑中认识结构中已有的适当知识建立非人为的实质性的联系；也就是说,学习活动要以不断发展和完善认识结构为目的．

只要你掌握“变”的本质与技巧,复杂的问题将不再复杂,陌生的问题将不再陌生，你会发现,原来数学也这么精彩!