一类具有时滞和避难所的捕食系统的动力学行为

陈新一

(西北民族大学 中国民族信息技术研究院,甘肃 兰州 730030)



一类具有时滞和避难所的捕食系统的动力学行为

陈新一

(西北民族大学 中国民族信息技术研究院,甘肃 兰州 730030)

文章研究了一类具有时滞和避难所的捕食者—被捕食模型的一致持久性和全局稳定性. 利用比较原理得到了保证此系统持久性的充分条件,通过构造适当的Lyapunov函数的方法,得到了保证此系统全局渐近稳定的充分条件, 所得结果推广了文献[1,2]的主要结果.

时滞; 一致持久性; 全局渐近稳定性; 捕食系统

0　引言

捕食系统中的种群在某时刻的密度会受到之前一段时间种群间的种群密度及同种群密度的影响，同时被捕食种群总是尽力寻找庇护所来躲避捕食种群. 我们考虑如下具有时滞和避难所的捕食系统.

其中xi(t)(i=1,2,3)表示t时刻的种群密度;τ1,τ2为非负常数;p≥0,q≥0是整数;系数ai(t),bi(t),ci(t),di(t),ei(t),gi(t),Di(t)(i=1,2),f(t),a3(t),t∈[0,+∞]都是连续有界严格正的函数;hi(t)(i=1,2)是非负的有界连续函数.假定系统(1)满足如下初始条件:

xi(s)=φi(s),φi(s)∈C[-τ,0]≥0,φi(0)>0,(i=1,2);x3(0)>0.

(2)

这里τ=max{τ1,τ2}.

1　正解的存在性与一致持久性

利用文献(1)相应定理的类似证明即可获得证明.同样利用文献(1)的类似方法,我们还可得到如下两个定理.

定理2设x(t)=(x1(t),x2(t),x3(t))是系统(1)的满足初始条件(2)的任意正解,若系统(1)满足如下条件(H1)：

则存在正常数T*(>τi)，使得t>T*时，有xi(t)≤Mi(i=1,2,3),其中

定理3设x(t)=(x1(t),x2(t),x3(t))是系统(1)的满足初始条件(2)的任意正解,若系统(1)满足条件(H0)和如下条件(H2)：

则存在正常数T＇(>τi),使得当t>T＇时有xi(t)≥mi(i=1,2,3),其中

取m=min{m1,m2,m3},M=max{M1,M2,M3},则可知紧区域Γ={(x1(t)x2(t),x3(t))|m≤xi(t)≤M(i=1,2,3)}是系统(1)满足条件(2)的解的最终有界区域,从而直接可以得到下面的定理.

定理4若系统(1)满足条件(H0),(H1)和(H2),则系统(1)是一致持久的.

2　全局渐近稳定性

定理5若系统(1)满足条件(H0),(H1)和(H2)和如下条件(H3)：

则系统(1)满足初始条件(2)的任意正解是全局渐近稳定的.

构造如下Lyapunov函数

由定理的条件可知，存在一个正常数η>0，使得

两端从τ+T到t积分得

(3)

因此有

由此得

故系统(1)满足初始条件(2)的任意正解是全局渐近稳定的.定理证毕.

系统(1)中p=q时,系统(1)即为文献[1]的系统(1),由此可得文献[1]的主要结果.p=q=0时即可得文献[2]的结果.

[1] 陈新一.一类具有时滞和避难所的捕食者—两共存食饵模型[J].生物数学学报,2015,30(3):436-442.

[2] 宋爱丽,阿吉木·优力达西.具有时滞和避难所的捕食者—两共存食饵模型[J].生物数学学报,2012,27(2):290-296.

[3] 陈兰荪,陈健. 非线性生物动力系统[M]. 北京: 科学出版社,1993.54-90.

[4] 徐瑞,陈兰荪.具有时滞和基于比率的三种群捕食系统的持久性与全局渐近稳定性[J].系统科学与数学,2001,21(2):204-212.

[5] 王静,王克.非自治一捕食者—两互惠食饵模型的动力学行为[J].东北师范大学学报(自然科学版),2005,37(1): 1-6.

2015-12-10

陈新一(1957—)，男，江苏武进人，教授，主要从事微分方程方面的研究.

O175.1

A

1009-2102(2016)01-0001-03