对数辅助函数在解题中的重要应用

马小霞

摘 要： 对数函数作为辅导函数的一个重要类型在解题中起着很重要的作用.本文主要总结几种题型中对数辅助函数的使用效果，说明对数辅助函数的重要性和使用情形.

关键词： 辅助函数 对数函数 导数 极值

对数函数有很多类型，但应用最广泛的是以e为底的对数，由于lnx的很好的特性，如：能够将连乘的函数化成和式；函数y=f（x）与函数lnf（x）有相同的单调性等，决定了对数辅助函数的重要地位和不可替代的作用.下面通过几个例子说明本文观点.

1.在求导数时的重要应用

（1）我们通常将形如u（x）的函数式称为幂指函数，这种函数在求导时既不能当成幂函数，又不能当成指数函数，所以在解题之前需要对其进行变形.

（2）如果函数涉及根号下连乘或连除，则可以通过对数变形成我们能够求导的形式，从很大程度上减少计算量.

本题还可以直接求导数，但是如果将题目复杂化，就必须通过取对数进行化简，本文就不再对更复杂的情形进行举例说明了.

2.在求极值中的使用

由于我们知道函数y=f（x）的单调性和相对数式lnf（x）的单调性相同，因此在遇到复杂的连乘函数求极值问题，可以通过转换成对数函数，将连乘转化为求和，再求极值，并且极值点和原函数的极值点相同.这方面的应用在概率论语数理统计的极大似然估计法中得到了充分应用.

也就是原来函数f（x）的极值点情况如上表所示.

注意：此题如果直接利用函数求导求极值会相当复杂，计算量会相当大，但是通过对数辅助函数可以很好地简化计算.

以上只对对数函数在解题方面的应用做了总结，事实上，对数函数作为辅助函数在证明中也有非常重要的应用，此处不再说明.

参考文献：

[1]同济大学数学系编.高等数学上册（第七版）[M].高等教育出版社，2014.

[2]张天德主编.高等数学习题详解（同济第七版）.[M].沈阳出版社，2015年1月第1版.