零点定理的推广及其应用

俞莹磊

[摘 要] 零点定理是微分学中一个重要的定理，在理论与实际生活中都普遍地能够应用到，就零点定理的推广及应用来了解零点定理的独特魅力。

[关 键 词] 零点定理；推广；应用

[中图分类号] G712 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2016）24-0068-02

零点定理是微分学中一个重要的定理，它的一个重要的应用是研究函数零点的存在性问题。它有两个很重要的约束条件。由于零点定理有两个约束条件，因此导致零点定理有时得不到充分的利用。本文将从零点定理及几何意义入手，对零点定理的推论进行探讨，将其推广与在理论和实际中应用，学以致用，将零点定理的价值充分展现。

一、零点定理及几何意义

1.零点定理：一般情况下我们设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）与f（b）异号[（即f（a）·f（b）<0），那么在开区间（a，b）内至少有函数f（x）的一个零点，即至少有一点ξ（a<ξ

2.几何意义：因为f（x）在区间[a，b]上是连续的，因此f（x）的图像是一条连续不断的连续曲线。当f（a）和f（b）异号，且曲线的两个端点f（a）和f（b）一个在平面直角坐标系x轴上方，一个在x轴下方，所以这条曲线必然至少经过x轴一次。

二、零点定理的推广

零点定理本身具有一定的局限性，首先该讨论的函数在闭区间上是连续的，其次该函数在闭区间的两个端点的函数值必须是异号的。将其推广可以得到更好地运用，以下是对零点定理的推广。

推论1（介值定理）：零点定理是介值定理的一种特殊情况。我们假设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）≠f（b），那么，对于f（a）与f（b）之间的任意一个数C，在开区间（a，b）内至少会有一点ξ，使得f（ξ）=C。

推论2：设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，P，p分别为f（x）在闭区间[a，b]上的最大值和最小值，则对于任何C，p

三、零点定理的应用

零点定理的应用十分广泛，不仅在理论中可以用到，在实际生活中也是极为普遍的，学知识的极高境界就是学以致用，将学到的知识运用到生活中去，使复杂的事情简单化。以下几个例子介绍了零点定理在理论与实际生活中的应用。

（一）理论中的应用

综上所述：函数f（x）图像上有且只有3个零点，即2x3+3x2-12x-10=0有且只有三个实根。

（二）生活中的应用

案例1.巧分不规则土地

问题的提出：老人有两个儿子，还有一块不规则的土地，他想要把这块地分给他的两个儿子，但是必须过土地上的任意一点才能分，问老人如何才能过这个任意点将这块土地平分。这个题目看似很难办到，可是如果利用高等数学中的零点定理是可以做到的。

分析：此问题的难点就是老人的土地是不规则的，可以根据建模的思想将这个问题进行转化。

通过题目的条件，我们可以知道在一个不规则的平面上有一条没有交叉点的封闭曲线，A点是曲线所围图形上任意一点。那这道题看似是分土地，实际则是求证过A点一定存在一条直线，可以将这图形的面积分成等面积的两份。

证明：经过P点作任意一条直线L，可将曲线所围图形分成两个部分，两个部分的面积可分别记为S1、S2，建立平面直角坐标系。

如果两块面积S1=S2，则L即为可以将土地平分的直线；如果S1≠S2，则假设S1>S2（将L与x轴正向的夹角记为θ0），证明如下。

P点为中心旋转，将L按照逆时针的方向进行旋转，土地的面积S1、S2就能连续地随着角θ0的变化而变化，可记为S1（θ）、S2（θ），并设f（θ）=S1（θ）-S2（θ）。

函数f（θ）在[θ0，θ0+π]上是连续的，并且在端点是异号的，则：

f（θ0）=S1（θ0）-S2（θ0）>0，

f（θ0+π）=S1（θ0+π）-S2（θ0+π）=S2（θ0）-S1（θ0）<0.

根据零点定理，必存在一点ξ∈[θ0，θ0+π]，使得f（ξ）=0，即S1（ξ）=S2（ξ）。过P点作直线，使之與x轴的夹角成ξ，该直线即为所求直线。

案例2.放桌子问题

问题的提出：有一个桌子，四只脚一样长，桌子的四只脚的连线时一个正方形，将它放在凹凸不平的光滑的曲面地上，怎样能使它的四只腳在落地时一起放稳。

分析：首先先建立直角坐标系，设桌子的四只脚分别为PQRS，其四只脚的交点为O，将点O设为原点，对角线PR设为X轴。桌子在转动过程中的任一的位置对应P1Q1R1S1，由对角线P1R1和x轴的夹角α唯一确定。在不同的位置，桌子脚P、R与地面的距离之和为f（α），Q、S两脚与地面距离和为g（α）。我们发现在任意位置，桌子总会有3只脚同时落地，即对任意的α，f（α）与g（α）总有一个为零。我们设g（α）=0，并将生活中的问题转化为数学问题：

设f（α），g（α）都是α的连续函数，g（α）=0，且对任意，f（α）·g（α）=0.存在α0∈（0，），使得f（α0）·g（α0）=0。

证明：将桌子转动角度，使得对角线互换，由此可得：g（0）=0且f（0）>0；f（）=0且g（）>0.令h（α0）=f（α0）-g（α0），且h（α）在[0，]上是连续的，同时满足h（0）>0且h（）<0。

根据零点定理，必然存在α0∈（0，）使h（α0）=0，即f（α0）=g（α0），因为f（α0）·g（α0）=0，所以f（α0）=g（α0）=0，此时桌子四脚同时落地的放稳。

本文将零点定理进行了推广并列举了几个理论上和实际生活中的例子，我们不仅看到了零点定理在数学上的理论价值，更发现了零点定理在生活中的应用，这样的方式有助于我们灵活地运用有关定理解决相应的实际问题。

参考文献：

[1]梁瑞光，郭强.介值定理在中学数学中的应用[J].长治学院学报，2005（2）.

[2]张月华.介值定理在解题中的应用[J].濮阳职业技术学院学报，2011（2）.