自然合理的教学设计促进学生思维的发展——“提取公因式法”点评

陈莉红（江西省教学教材研究室）



自然合理的教学设计促进学生思维的发展
——“提取公因式法”点评

陈莉红（江西省教学教材研究室）

摘要：文章提供的案例把因式分解置于由整式运算到分式运算发展的逻辑主线中，注重了概念的形成过程和运算发展的整体结构和体系，并以此为基础精心设计，自然地引导学生对概念和方法进行概括、归纳和应用，注重学生语言表达和书面表达的规范性，明确数与式运算的学习主线.让学生自然经历了概念和方法的“形成—概括—辨析—归纳—运用”的过程，并为后续提高学生自主学习能力，培养良好的学习习惯提供了路径和方法.

关键词：因式分解；提公因式法；教学设计到了引导、示范的作用.下面就围绕这节课的教学过程针对它的亮点与不足进行评析.

一、亮点

如何进行概念和公式的教学，一直是一线教师感到苦恼、困惑的事.“重结果，轻过程”是教学中的普遍现象，大多数教师会直接给出概念和运算公式，然后让学生通过反复训练来强化记忆公式.《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准（2011年版）》）明确提出“运算能力”这一核心概念，不仅要让学生掌握如何计算，而且还要知道相应的算理.《标准（2011年版）》指出，数学知识的教学，要注重知识的生长点与延伸点，把每节课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识和整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性.在第九届全国初中数学优秀课展示与观摩活动中，上海市曹杨中学附属学校的沈艳秋老师执教的“提取公因式法”这节课，很好地体现了《标准（2011年版）》对数学知识教学的要求，对概念、法则的教学起

1.找准生长点，类比联想，引出概念

这节课的引入，沈艳秋老师是这样进行的.

师：我们已经学习了整式（单项式、多项式），整式的运算，你认为接下来会学习什么内容呢？不妨回顾一下数的运算的学习过程，相信会有所启发！

师：在小学我们学过整数运算，小学六年级又学了分数运算，在学习分数运算前，需要学习因数、公因数、分解素因数．

师：12的因数有哪些？找找看？

生1：1，2，3，4，6，12.

师：怎么找到的？

生1：用短除法.

师：嗯，很好，那么12可以表示为12=1×12= 2×6=3×4.

师：6的因数有哪些呢？

生2：1，2，3，6.

师：嗯，6的因数有1，2，3，6，那么1，2，3，6是12和6的公因数.

师：我们看12=3×4中，右边的4还可以继续分解，写成12=2×2×3，我们把这个过程叫做分解素因数.

师：对比一下，学完整式的运算，你认为将会学习什么运算？需要先学习哪些内容？

概念的教学引入是教师很难把握的地方.有些教师认为概念是一种定义，既然是定义就应该直截了当的告知然后应用；有些教师会采用实际问题情境引入的方式，这也是新课程改革以来数学课堂的普遍做法，注重从现实生活情境中引出数学问题，这种引入的方式虽然加强了数学与生活的联系，但缺点是淡化了数学知识的内部联系和系统性，并不适用于所有内容的教学，这节课的教学就是如此，沈艳秋老师在引导学生回顾整数运算到分数运算的过程中，学习了因数、公因数、分解素因数的概念和方法，为这节课的学习目标寻找到了最佳知识生长点，通过类比联想，很自然地进行了由数到式的正向迁移，引出因式、公因式、分解因式的概念，而且有了分解素因数的基础，学生对分解因式时必须要分解到不能分解为止的要求就能自然、合理地接受了.

这种数学化的引入注重数学知识间的内部联系，问题层层递进，引导学生在不知不觉中进入学习的最佳状态.并由此经历整数运算到分数运算，整式运算到分式运算，及数与式发展的过程，领悟到类比联想是数学学习的一种重要方法，也明白了因式分解的内容是为后续学习分式运算打基础的，确定了知识的延伸点，也明白了这节课的内容在整章内容中的重要地位.

2.教学过程环环相扣，脉络清晰

在引出因式分解概念之后，沈艳秋老师设计了这样几个教学环节.

归纳概括，形成概念—分类辨析，理解概念—三问一验，巩固应用，清晰地呈现了知识发生、发展的过程.这个教学过程中的特色体现在以下两个方面：

（1）知识串的运用，清晰展现概念的形成过程.

本课时的概念多而零散，有好几个概念交织在一起，已学概念有单项式、多项式、整式、整式的积等；新概念有因式、公因式、因式分解、提取公因式法等．

①3x2+2x+1=x（3x+2）+1；

②m2-4m+4=m（m-4+）；

③3x（x+y）=3x2+3xy；

④2a2-4ab=2a（a-2b）；

⑤24a3b2c=2a3×3b2×4c.

目的是想进一步加深理解多项式因式分解概念中的几个关键词：多项式、整式、积，在用提取公因式法分解因式结束时，沈老师又设计了这样几个问题：（1）结果中哪些是单项式因式？哪些是多项式因式？（2）结果是否已经是几个单项式因式或多项式因式的积的形式？（3）结果中每个多项式因式是否不能再分解因式了？（4）如何检验自己进行的因式分解是一个恒等变形（等号始终成立）呢？笔者把它概括为“三问一验”，并在例题讲解，巩固练习的过程中反复强化.“三问一验”紧扣概念的核心，也是一种学习方法的指导，强调结果是积的形式，直到不能分解为止，最后验算，引导学生逆向思维，反向推理，领悟因式分解和整式乘法之间的互逆关系，养成反思、质疑的学习习惯.

3.关注学生的思维参与度，培养学生用数学语言概括与表达的能力

课件展示：ma，mb.

师：m与a相乘，m和a都叫做它们的积ma的因如处理不当，易使课堂枯燥乏味，学生一味地机械模仿，难以真正理解概念，甚至出现混淆概念的情况.沈老师充分逐个列出了ma，mb，ma＋mb，m（a＋b），ma＋mb＋mc，m（a＋b＋c）这样一个知识串，把相关概念汇集成小的知识集块，再把这些知识集块串接起来．例如，在ma中，汇集了因式、因式的积、单项式等概念；在ma＋mb＋mc中汇集了单项式、多项式、各项公因式等概念．沿着这个知识串由浅入深，由易到难，终端就是ma＋mb＋mc＝m（a＋b＋c），它汇集了因式分解的第一种方法——提取公因式法．课件动态展示了这一过程，凸显了概念之间、概念与法则之间的内在联系．

（2）问题串的驱动，加深理解概念、巩固概念的应用.

在归纳出因式分解的概念之后，沈老师设计了这样几个等式让学生逐一辨析.式；m与b相乘，m和b都叫做它们的积mb的因式.

课件展示：m（a＋b）.

师：请同学们描述一下哪些是因式？

生：m和a＋b都是因式.

师：把话说完整，就是“m和a+b都叫做它们的积m（a+b）的因式”.

师：同学们概括一下，什么是因式？

……

课件展示：ma＋mb＋mc.

师：观察这个多项式有什么特点？

生3：每个式子都含有因式m.

生4：多项式各项都含有同一个单项式.

师：这个相同的单项式，我们前面说过，它叫做什么？

生4：因式.

师：多项式各项都含有的因式，称为各项的公因式.

……

课件展示：ma＋mb＋mc=m（a＋b＋c）.

师：概括一下，什么叫做把多项式因式分解？要求：①不看教材；②可以与同桌交流；③把结果写在学习单上.

……

生5：将几个多项式转化为几个整式积的形式叫做把多项式因式分解.

生6：把一个代数式写成几个因式乘积的形式叫做……

教师总结：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．

从以上教学片断可以看出，在教学过程中，沈老师自始至终能够引导、组织学生参与到教学活动中，让学生尝试用自己的语言概括表达，顺应学生自己的思维发展在概括表达的过程中碰撞出思维的火花，从而真正促进学生数学思维的发展，提高数学语言概括、表达的能力.

4.注重细节，讲究规范，培养学生养成良好的数学学习习惯

在教学过程中，不仅注重语言表达的规范性，也注重了书面表达的规范性和教师的示范作用.在讲解例题（2）-4x2y+6xy2-2xy时，沈老师强调第一项带“-”，通常先提取负号，括号里的多项式就化归为前一题的类型进行解决即可，2xy提取公因式2xy后的式子是1，不能遗漏.并强调由于是初学提公因式法，在练习时一定要保留分离公因式的那一步；学生演板练习时，没有写“解”，“原式=”，教师让学生补上.这些细节的处理，教师为学生做了很好的示范作用，使学生在书写过程时有据可依，目标明确.

二、不足与建议

在让学生概括表达概念时，提问学生的面还要再扩大一些，多一些学生参与表达，教师最后再归纳；在例题讲解和纠错环节，还应该放开些，教师可以先不急于示范正确的解题步骤与方法，而是让学生先做，然后根据学生做题的情况，在纠错过程中示范正确的解题方法，在学生演板后发动学生对板演进行评价，纠错的效果会更好.另外，在这节课的最后，教师提出问题：为什么没有针对单项式的因式分解呢？并让学生课后思考完成，有些多此一举，甚至会让学生感到迷惑，根据这节课的学习内容和因式分解的概念，学生很容易回答出这个问题，教师在教学过程中轻轻带过，稍作解释就可以了.

这节课围绕着概念的形成、概括、辨析、应用的过程进行设计，巧妙运用知识串，精心设计问题串，在设计上注重了整体感悟知识发展的逻辑主线，结构上层层递进，学习方法上注重类比和推理，充分考虑学生学情，抓住知识的生长点和延伸点.自然流畅的教学设计，顺应了学生思维的发展；以学生思维为出发点的教学实施体现了以生为本的教学理念，确实是一堂精彩的课，值得一线教师学习和借鉴.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部制定．义务教育数学课程标准（2011年版）［M］．北京：北京师范大学出版社，2012．

［2］教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

收稿日期：2015—12—18

作者简介：陈莉红（1973—），女，中学高级教师，主要从事中学数学课堂教学及中考数学命题研究.