GA-凸函数的 Fejér型不等式

时统业，吴　涵，尹亚兰

(海军指挥学院 信息系,江苏 南京　211800)



GA-凸函数的 Fejér型不等式

时统业，吴涵，尹亚兰

(海军指挥学院 信息系,江苏 南京211800)

摘要：研究GA-凸函数的Hermite-Hadamard型不等式和Fejér型不等式决定的差值。 对二阶可微的GA-凸函数，给出这些差值的上下界。 对一阶可微的GA-凸函数，给出由Hermite-Hadamard型不等式和Fejér型不等式构成的函数的单调性的充分条件。

关键词：GA-凸函数;凸函数;Fejér型不等式;Hermite-Hadamard型不等式;单调性

0引言

已有文献对GA-凸函数的Hermite-Hadamard型不等式和与GA-凸函数相关的函数的准线性、单调性、凸性作了研究[1-10]。研究GA-凸函数可以借鉴研究通常凸函数的方法。文[11]利用导数的条件，建立涉及函数增量的不等式，然后通过积分得到由凸函数的Fejér型不等式生成的函数的上下界。本文将仿照文[11]的方法，研究由GA-凸函数的Fejér型不等式(见下面的不等式(1)和(2))生成的差值，在一定条件下给出这个差值的上下界，并研究生成函数的单调性，对一阶或二阶可微的GA-凸函数建立一些新的Fejér型不等式。我们需要下面GA-凸函数的定义、性质和Fejér型不等式。

定义1[1]设f(x)是定义在区间I⊆(0，+∞)上的函数，如果对于任意x1，x2∈I和t∈(0，1)，有

则称f(x)在区间I上是GA-下凸的；如果上面不等号反向，则称f(x)在区间I上是GA-上凸的。

定理A[1]设f(x)是定义在区间I⊆(0，+∞)上的函数，f(x)在I上存在二阶导数，则f(x)为区间I上GA-下凸函数的充要条件是对任意x∈I有xf″(x)+f′(x)≥0。

定理B[2]设f(x)是定义在区间[a，b]⊆(0，+∞)上的GA-下凸函数，则

2)对任意x，y∈(a，b)，有

定理C[3]设f：[a，b]⊆(0，+∞)→是可积的GA-下凸函数，则有

(1)

定理D[4]设f：[a，b]⊆(0，+∞)→是GA-下凸函数，g(x)是[a，b]上正的可积函数且满足，则有

(2)

1主要结果

定理1设f：[a，b]⊆(0，+∞)→是二阶可微函数，且存在常数m和M，使得m≤f′(x)+xf″(x)≤M，则对任意λ∈[0，1]，有

m(a+b-a1-λbλ-aλb1-λ)≤f(a)+f(b)-f(a1-λbλ)-f(aλb1-λ)≤M(a+b-a1-λbλ-aλb1-λ)，

(3)

当且仅当f(x)=mx+c(c为常数)时式(3)的左边等号成立，当且仅当f(x)=Mx+c (c为常数)时式(3)的右边等号成立。

证明由对称性，不妨设λ∈[0，1/2]，利用Newton-Leibniz公式和变量代换得

f(a)+f(b)-f(a1-λbλ)-f(aλb1-λ)=

由Lagrange中值定理，存在ξ∈[u，ab/u]，使得

因为m≤f′(x)+xf″(x)≤M，故有

(4)

于是有

f(a)+f(b)-f(a1-λbλ)-f(aλb1-λ)≤

也即式(3)成立。

由上面证明可知，式(3)的左边等号成立当且仅当式(4)的左边等号成立，即f′(x)+xf″(x)≡m，也即f(x)=mx+c，其中c为常数。同理可证当且仅当f(x)=Mx+c (c为常数)时式(3)的左边等号成立。

0≤f(a)+f(b)-f(a1-λbλ)-f(aλb1-λ)≤M(bλ-aλ)(b1-λ-a1-λ)

当且仅当f(x)恒为常数时左边等号成立，当且仅当f(x)=Mx+c (c为常数)时右边等号成立。

证明因f是二阶可微的GA-下凸函数，由定理A有f′(x)+xf″(x)≥0，在定理1中取m=0则推论得证。

定理2设条件同定理1，则有

(5)

当且仅当f(x)=mx+c (c为常数)时左边等号成立，当且仅当f(x)=Mx+c (c为常数)时右边等号成立。

证明式(3)对λ在[0，1]上积分后得证。

推论2.1设条件同推论1.1，则有

当且仅当f(x)恒为常数时左边等号成立，当且仅当f(x)=Mx+c (c为常数)时右边等号成立。

证明因f是二阶可微的GA-下凸函数，由定理A有f′(x)+xf″(x)≥0，在定理2中取m=0则推论得证。

定理3设条件同定理1，则有

(6)

当且仅当f(x)=mx+c (c为常数)时左边等号成立，当且仅当f(x)=Mx+c (c为常数)时右边等号成立。

证明在定理1中，取λ=1/2，得

以a1-λbλ，aλb1-λ分别代替a，b，得

(7)

式(7)对λ在[0，1]上积分后定理得证。

推论3.1设条件同推论1.1，则有

当且仅当f(x)恒为常数时左边等号成立，当且仅当f(x)=Mx+c (c为常数)时右边等号成立。

(8)

(9)

当且仅当f(x)=mx+c (c为常数)时左边等号成立，当且仅当f(x)=Mx+c (c为常数)时右边等号成立。

证明式(3)乘以p(a1-λbλ)，然后对λ在[0，1]上积分，并利用下面事实：

则式(8)得证。式(7)乘以p(a1-λbλ)，同理可证式(9)。

在[a，b]上单调不减，于是有

2)若xf′(x)单调不减且非负，p(x)单调不减，则

在[a，b]上单调不减，于是有

证明1)F(x)在[a，b]上是连续的。对任意x∈(a，b)，有

由Cauchy中值定理，存在ξ∈(a，x)，使得

2)G(x)在[a，b]上是连续的。对任意x∈(a，b)，有

由Cauchy中值定理，存在ξ∈(a，x)，使得

故G′(x)≥0，即G(x)在[a，b]上单调不减。

在[a，b]上单调不减，于是有

(10)

在[a，b]上单调不减，于是有

(11)

注2设f的条件同定理1，则由定理A容易知道f(x)-mx和Mx-f(x)都是GA-下凸函数，用f(x)-mx和Mx-f(x)替代式(10)和(11)中的f(x)，得到下面定理2中式(5)和定理3中式(6)的改进：

那么

1)若对任意x∈(a，b)，有f′(x)K′(x)≥0，则G(x)在[a，b]上单调不减；

2)若f(x)和p(x)都是[a，b]上单调的可微函数，且单调性相反，则G(x)在[a，b]上单调不减。

证明G(x)在[a，b]上连续。当x∈(a，b)时，有

因f是GA-下凸函数，故由定理B有f(x)-f(t)≤xf′(x)(lnx-lnt)，于是有

(12)

其中

2)L(x)在[a，b]上连续，在(a，b)上

若p(x)在[a，b]上单调不增，f(x)在[a，b]上单调不减，则对任意x∈(a，b)，p′(x)≤0，f′(x)≥0，故有L′(x)≥0，即L(x)在[a，b]上单调不减，于是有L(x)≥L(a)=0，进而由式(12)可知对任意x∈(a，b)有G′(x)≥0，即G(x)在[a，b]上单调不减。同理可证若p(x)在[a，b]上单调不减而f(x)在[a，b]上单调不增时，G(x)在[a，b]上单调不减。

在[a，b]上单调不减。

证明在定理6中取p(x)≡1，则K(x)≡1/2，则由定理6的(1)可知G(x)在[a，b]上单调不减。

参考文献：

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[7] 时统业，吴涵.与GA-凸函数有关的两个函数[J].数学的实践与认识，2012，42(10)： 230-237.

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[11]MINCULETE N,MITROI F C.Fejér-type inequalities[J/OL].arXiv：1105.5778v3 [math.CA]15 Dec 2011.

文章编号：1004—5570(2016)03-0042-06

收稿日期：2016-04-20

作者简介：时统业(1963-),男，副教授，硕士，研究方向：基础数学教学与研究，E-mail：shtycity@sina.com.

中图分类号：O178

文献标识码：A

Fejér type inequalities for GA-convex functions

SHI Tongye,WU Han,YIN Yalan

(Department of Information, PLA Naval Command College, Nanjing, Jiangsu 211800, China)

Abstract:The differences generated by Hermite-Hadamard type inequality and Fejér type inequality for GA-convex functions are considered. Upper and lower bounds of the differences for twice differentiable GA-convex functions are obtained . The sufficient conditions on monotonicity of functions generated by Hermite-Hadamard type inequality and Fejér type inequality for differentiable GA-convex functions are given.

Key words:GA-convex function; convex function; Fejér type inequality;Hermite-Hadamard type inequality;monotonicity