Grünwald插值算子基于一重积分Wiener空间下的平均误差逼近

盛盼

（安徽三联学院 安徽合肥 230000）

Grünwald插值算子基于一重积分Wiener空间下的平均误差逼近

盛盼

（安徽三联学院 安徽合肥 230000）

本文基于一重积分Wiener空间下，以第一类Chebyshev多项式的结点组构成的Grünwald插值算子，求得了在范数为加权的L2意义下的平均误差，证明了其的收敛性。

Grünwald；一重积分 Wiener空间；Chebyshev 多项式；平均误差

引言：

设F是一个Banach空间且实可分的，定义在F的Borel子集上的μ是概率测度。设X是一个线性的且范数为‖·‖的赋范空间，F连续嵌入X，任意使得 f→T（f），则算子 T：F→X 称逼近算子，且可测映照，算子 T 的2-平均误差为：

一重积分Wiener测度w在F1上是一个高斯测度[1～2]，且均值为零。设权函数对 f∈C[-1，1]，定义 f的加权 L2-范数为：

设f∈C[-1，1]，则以n阶第一类Chebyshev多项式Tn（x）=cosnθ的零点为插值结点组的f的Lagrange插值、Grünwald插值和Hermite插值的多项式分别为：

由于插值算子是一类仅依赖于函数f在有限个点的值的重要逼近工具，许多文章研究了这种算子的逼近性，尤其是基于正交多项式的结点的插值多项式。近年来，许贵桥研究了插值多项式在一重积分wiener空间下同时逼近的平均误差[2]。由文章[2]激发，我们研究了Grünwald插值多项式，并得到了相应的结果如下：

定理：设F1和定义如（1）和（3），，则：

定理证明：

为了证明，首先我们给出如下引理：

引理 2[2]若 s≥t，则：

由Lagrange插值多项式和Hermite插值多项式性质，我们有：引理3若pn（x）为一次数不超过n-1的代数多项式，则：

若qn（x）为一次数不超过2n-1的代数多项式，则有：

我们得出定理证明，且由此知在上述意义下具有收敛性。

[1]P.Billingsley，Convergence of probability measure.Wiley，New York，1968.

[2]Xu Guiqiao，The simultaneous approximation average errors for interpolation polynomials on the 1-fold integrated Wiener space（in Chinese），Sci Sin Math，2011，41（5）：407～426.

[3]P.Erdōs，E.Feldheim，Sur le mode de convergence pour interpolation de Lagrange，C R Acad Sci Paris Sèr I Math，1936，203：913～915.

[4]G.Grünwald，On the theory of interpolation，Acta Mathematica，1943，75：219～245.

[5]Ch.Hermite，Sur la formule d'interpolation de Lagrange，J.Reine Angew.Math.1878，84：84～89.

[6]A.K.Varma，J.Prasad，An analogue of a problem of P.Erdōs and E.Feldheim on Lpconnergence of interpolatory processes J Approx Theory，1989，56：225～240.

O174.41

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1004-7344（2016）06-0290-02

2016-2-10