浅谈利用微积分知识求解高中物理中的疑难问题

费琳翔

（天津武清区杨村三中 天津 301700）

浅谈利用微积分知识求解高中物理中的疑难问题

费琳翔

（天津武清区杨村三中 天津 301700）

微积分在高中物理解题中有着广泛的应用，特别是一些公式推演以及解题方法都会涉及到微积分连续累积的思想，其对于物理概念以及物理定律的给出都有着一定的影响。本文将从自身在物理学习和解题中对微积分知识的运用进行阐述，从而提出微积分知识在求解高中物理疑难问题中的重要作用。

微积分；高中物理；疑难问题

微积分知识在高中数学课程中学习的比较浅显，在物理课程的应用没有得到足够的重视，但微积分知识对于解决疑难物理问题有着重要的作用。在高三复习阶段，基于已经掌握了一定的物理求导和积分知识，可以尝试用微积分知识解决物理疑难问题。

1 利用微积分知识求解非线性变量的过程量

在求解非线性变量的过程量中，通常我会选择一个微元作为分析对象，在分析其受力、状态、变化等情况之后，将难以分析，不易确定的变量对象或物理变化过程拆分成一个小的处理单元，化整为零，在将每个区间内的问题整理之后，再将这些零散的问题整合起来，就可以得出想要的结果[1]。我曾经遇到过如下的物理问题，都是通过这种思路寻找解题答案的。

例如：如图1所示，竖直向上方向上，磁感应强度为B的匀强磁场中，两条相互平行，相距L的光滑平行金属导轨P1P2P3-Q1Q2Q3，两导轨间的电阻连接为R，导轨P2P3、Q2Q3处于同一水平面上，且P2Q2垂直P2P3，倾斜导轨和水平导轨均用相切的一小段光滑圆弧连接，长度忽略不计。在倾斜角为θ的斜导轨P1P2-Q1Q2上放置一根质量为m的细金属杆AB，杆AB始终垂直于导轨并与导轨保持良好接触。现用沿P1P2方向的拉力F施加于杆AB，使杆AB在高h处由静止开始向下做匀加速直线运动，当杆AB运动到P2Q2时撤去拉力，最终在CD处停下，测得CD与P2Q2之间的距离为s，不计导轨和杆A的电阻，不计空气阻力。求：杆AB下滑过程中通过电阻R的电荷量q；杆AB运动到P2Q2处时的速度v；回路中最大感应电流I和杆AB在斜导轨上的加速度大小a。

图1

将水平轨道上的运动分割成数个小段，每个小段有相对应的微小时间，设为△t，则对于每微小段时间△t内，借助牛顿第二定律，则为：

而a=△v/△t，把式子左右两边都乘以△t，则变成BiL△t=m△v

在进行求和得出∑Bil△t=∑m△v，将式子左边的i△t替换成△q，

其中，∑i△t=∑△q=q1，q1为棒由P2Q2到停下来过程中通过AB横截面的总电量，而，，式子右侧的∑△v=v-0=v，即此段初末速度之差，即AB棒由P2Q2到停下来的过程中速度的变化量。

由于速度v出现，第三问的两个问题也就此解决了：最大感应电流I是在P2Q2位置处，由E=BLv及，得出。由v2=2a，斜面加速度为：

在解决物理疑难问题时，我已经充分地认识到微积分知识在其中发挥的重要作用，因此，常将此种思想渗透到物理解题当中。

2 利用微积分知识求解物理量的瞬时值

在高三物理复习阶段，处理物理图像相关物理量的曲线某一点的切线的斜率的物理意义，即相应的纵坐标物理量和横坐标物理量的比值的瞬间值。

在处理此类问题时，我首先要找出相应的导数对应的物理量的意义，位移关于时间函数的导数的物理意义等，通过比值求导出物理量的瞬间值。

例如，两平行金属导轨处于同一水平面上，每两根导轨每米的电阻为r=0.1Ω/m，导轨的端点P、Q用电阻可忽略导线相连，两导轨建的距离l=0.2m，随着时间的变化，匀强磁场垂直桌面，已知B与t之间的关系B=kt（k=0.02T/s），其中一个电阻不计的金属杆可以在导轨上无摩擦滑动，在滑动的过程中，保持与轨道垂直，在t=0的情况下，金属杆紧靠P、Q端，在外力作用下，恒定加速度使杆从静止状态开始滑动，求：在杆滑动6s时，金属杆受到的安培力。

常规解法：

在t时刻，金属杆与初始位置的距离L=1/2at2，此时杆的速度v=at，此时杆和导轨构成的回路面积s=Ll，回路中的感应电动势为BLv，而 B=kt，回路的总电阻为R=2Lr，回路中的感应电流为，作用于杆的安培力为F=Bli，由上解得出代入公式得F=1.44×10-3N。

微积分知识解法：

现下笔者将用导数来进行推理，以加深微积分知识运用的意义。

从已知的情况上分析，电动势产生的原因有两个：△B感生的；△s动生的，如此就很容易得出

用导数来解题，可以更好地帮助我理解解题含义，而且当物理题中有变量的情况下，问题处理起来更为方便。

3 利用微积分知识再现物理过程的本质

在处理物理问题时，若能拓宽解题思路，从多角度入手，问题就会更容易解决。

在解决物理疑难问题时，我曾遇到过这样一道综合性的问题：MN、PQ是两个倾斜防置的平行金属导轨，电阻忽略不计，其构成的平面与水平面成θ=37°角，导轨上端接阻值R=1.5Ω的电阻，导轨宽L=1m，磁感应强度B=1T的匀强磁场垂直导轨平面，垂直导轨跨接一金属杆ab，ab的质量m=0.2kg，电阻r=0.5Ω，ab与导轨间的动摩擦因数u=0.5，ab杆从静止开始，2s后开始匀速运动，求：ab匀速运动的速度v；ab加速运动过程中，通过R的电荷量Q；ab加速过程中，整个回路产生的焦耳热Q。

首先我列出金属杆的动力方程，即：

然后将等式两边进行积分处理，得出：

第三个问题是解决整个回路产生的焦耳热，通常我可采用三种方法进行处理，即能量守恒、电流做功以及克服安培力做功[3]。在处理的过程中，方法3容易发生平均值求解错误，所以，在没有十足的把握的情况下，笔者一般会采用前两种方法进行解题[4]。通过对问题的全面分析，可以清晰地了解线路整个物理过程发生的本质，可以使我对物理规律的理解更为全面和深刻。当然，问题处理也就更得心应手了。

4 结束语

在高三物理复习阶段，对于疑难问题的解决，运用微积分知识可以更好地帮助我理解问题并解决问题，从而有效提高了学习成绩，为高考取得好成绩创造了条件。

[1]满桂花.利用微积分知识求解高中物理中的疑难问题[J].物理教师，2011，32（7）：64～65.

[2]冉芳.高中新课程改革下微积分知识的渗透之分析[J].科技风，2014，26（2）：224.

[3]李小棣.妙用微积分知识解决一个物理疑难[J].物理通报，2011，40（10）：39，57.

[4]王国士.巧用微积分活解物理题[J].物理教学探讨，2013，31（6）：25～26.

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1004-7344（2016）06-0039-02

2016-2-10