时变时滞切换系统的指数稳定性及L2增益分析

武淑平, 刘玉忠

(沈阳师范大学 数学与系统科学学院, 沈阳 110034)



运筹学与控制论

时变时滞切换系统的指数稳定性及L2增益分析

武淑平, 刘玉忠

(沈阳师范大学 数学与系统科学学院, 沈阳 110034)

研究时变时滞切换系统的指数稳定性及相应的L2增益分析问题。构建了一类限定时滞上界和下界的特殊分段Lyapunov-Krasovskii函数,通过时滞分解方法及Jensen积分不等式与倒数凸组合相结合的技术处理了分段Lyapunov-Krasovskii函数中的积分项。更进一步,在估计泛函微分的上界过程中,一方面,未引入加权矩阵,从而涉及较少的决策变量,降低了计算复杂性;另一方面,未忽略任何有效信息,因此获得了具有更小保守性的稳定性结论。此外,利用平均驻留时间的方法给出了时变时滞切换系统的指数稳定性及L2增益的充分条件,同时也给出了切换律的设计方案。最后,将时变时滞切换系统的稳定性及L2增益分析问题归结为线性矩阵不等式的求解问题,这样便于利用Matlab工具箱求解并验证结论有效性。

切换系统; 指数稳定性;L2增益; 倒数凸组合

0 引 言

切换系统是一类重要的混杂动态系统,一般由一族连续(离散)的子系统以及一个决定子系统间切换作用的切换律组成。文献[1]阐述了切换系统的稳定性设计的3个基本问题。众所周知,如果切换系统存在一个共同的Lyapunov函数,则它在任意切换律下都是稳定的。然而,大多数的切换系统并不存在共同的Lyapunov函数,对于这类切换系统可以利用平均驻留时间的方法得到其稳定性。

另一方面,时滞现象在实际工程中普遍存在。例如通讯网络系统、化学过程系统、电力系统等。时滞现象通常影响系统的稳定性且使系统的性能变差[2],当切换系统带有时滞时,系统的分析和控制设计都会变得更为复杂[3],尽管如此,这样的系统却更能准确地描述实际的工程系统,所以研究时滞切换系统具有更重要的理论意义和实际价值。

近些年来,对于时滞切换系统的研究引起了专家学者的重视。在分析时滞切换系统的稳定性时,通常采取L-K函数技术[4-5]以及LMIs方法[6-10]。在文献[8-12]中,分别将切换系统的稳定性和指数稳定性等转化为LMI问题。另一方面,在减少保守性上,Jensen积分不等式方法[9-13]是非常有效的工具。特别地,文献[9]提出一种新的方法称为倒数凸组合方法,可以直接处理Lyapunov函数导数中出现的积分项。近期在Lyapunov函数中又出现三重积分项,文献[10]将倒数凸组合方法扩展为二重倒数凸组合方法,从而可以有效地处理三重积分项。这2种方法通过涉及较少的决策变量从而获得更小的保守性。

本文通过构建一种新的分段Lyapunov-Krasovskii函数,利用平均驻留时间的方法得到系统的指数稳定性及相应的L2增益的充分条件。利用Jensen积分不等式及倒数凸组合相结合的方法,直接处理Lyapunov函数中的积分项,通过涉及较少决策变量的数量和计算的复杂程度来获得更少的保守性。

1 问题描述

考虑下面的时变时滞切换系统

其中:x(t)∈Rn,z(t)∈Rm分别代表着系统的状态和控制输出;ω(t)∈L2[0,+∞)是扰动输入;切换信号σ(t):[0,+∞)→M={1,2,…,m},其中m是正整数,表示子系统的个数;Ai,Ei,Bi,Ci,Di(i∈M)是具有适当维数的常数矩阵;连续向量函数φ(θ)∈[-h2,0];时变时滞函数d(t)满足

‖A‖表示矩阵或向量A的欧几里得范数;P>0(≥0,<0,≤0)表示矩阵P为正定(半正定,负定,半负定)矩阵;λmax(R),λmin(R)分别表示矩阵R最大和最小特征值;矩阵中的“*”表示对称矩阵中的对称项。下面引入本文所需的引理。

引理1[9]令f1,f2,…,fN:Rm→Rn在开子集D∈Rm上有正值,则fi在D上的倒数凸组合满足

且满足如下条件

引理2[13]假设0≤h10,有下面的线性矩阵不等式成立

2 主要结果

2.1 指数稳定性分析

考虑如下时变时滞切换系统

证明 构造分段Lyapunov-Krasovskii函数为

当t∈[tk,tk+1),系统(3)切换到第i个子系统,此时σ(t)=i,V(t)沿着系统(3)轨迹的导数为

利用引理1和引理2有

在ti时刻,分段Lyapunov-Krasovskii函数(6)在条件(5)下可以得到

当k=Nσ(t0,t)≤(t-t0)/Ta时,由式(10)、式(11)有

根据a,b及V(t)的定义知

a‖x(t)‖2≤V(xt),Vσ(t0)(xt0)≤b‖

结合式子(12)、(13)得

因此系统(3)是指数稳定的。

2.2L2增益分析

接下来研究时变时滞切换系统(1)的L2增益。

证明 选取分段Lyapunov-Krasovskii函数(6),在式子(5)的条件下可以得到

结合式(15)和式(16)可以得到

3 结 论

本文研究了时变时滞切换系统的指数稳定性及L2增益问题。通过时滞分解方法及Jensen积分不等式与倒数凸组合相结合的技术处理分段Lyapunov-Krasovskii函数导数中的积分项,得到其导数的紧上界。本文涉及较少的决策变量,降低了计算复杂度,从而获得更小的保守性。应用平均驻留时间的方法获得系统的指数稳定性及L2增益的充分条件。最后,将时变时滞切换系统的稳定性及L2增益分析问题归结为线性矩阵不等式的求解问题,便于利用Matlab工具箱求解并验证结论的有效性。

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Exponential stability andL2gain analysis for switched systems with time-varying delay

WU Shuping, LIU Yuzhong

(College of Mathematics and Systems Science, Shenyang Normal University, Shenyang 110034, China)

This article studies the problem of exponential stability andL2gain analysis of a kind of switched systems with time-varying delay. By using delay decomposition approach and the method of combining Jensen integral ineqaulity and reciprocally convex, the integer terms in the Lyapunov-Krasovskii function that taking both the lower bound and upper bound of delay into consideration are dealt. On the one hand, because of any free weighting matrix is not introduced, which can decrease decision variables and reduce the complexity of the operation. On the other hand,the information about the time-varing delay is not ignored to estimate the upper bound of the derivation of Lyapunov-Krasovskii function. So this method can develop a less conservative stability criterion. Moreover, the sufficient conditions of exponential stability andL2gain analysis of a kind of switched systems with time-varying delay are gained by the average dwell-time approach. In the meantime, the designing scheme of switching law is given. At last, the problem of exponential stability and L2gain analysis of a kind of switched systems with time-varying delay can be solved by linear matrix inequality technique, which is convenient to solve and prove to be valid by the LMIs tool box of Matlab.

switched systems; exponential stability;L2gain; reciprocally convex

2016-06-09。

国家自然科学基金资助项目(11201313)。

武淑平(1990-),女,辽宁朝阳人,沈阳师范大学硕士研究生; 通信作者: 刘玉忠(1963-),男,辽宁新宾人,沈阳师范大学教授,博士。

1673-5862(2016)03-0282-05

TP273

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2016.03.006