复杂地形场地上多维多点地震动模拟研究

田　利， 盖　霞

(山东大学 土建与水利学院，济南　250061)



复杂地形场地上多维多点地震动模拟研究

田利， 盖霞

(山东大学 土建与水利学院，济南250061)

摘要：研究了复杂地形场地上多维多点地震动的模拟。将基岩加速度反应谱转换成相应的功率谱，介绍了多土层多维地震波的传播理论和基岩相干函数的选取。利用基岩功率谱与相干函数，给出了复杂地形场地上多维多点地震动的模拟方法。针对一算例进行分析，得到了非同类多土层复杂地形场地上的三个点地震动加速度时程曲线、功率谱以及不同分量的放大函数，通过比较功率谱和相干函数的吻合程度，验证了研究成果的准确性。该研究成果可应用于复杂地形场地上大跨度结构的多维多点地震动的分析。

关键词：多维多点地震动；波的传播理论；基岩功率谱；基岩相干函数；复杂地形场地

我国是一个地震多发的国家，全国大部分地区的地震烈度均在6度以上。山区面积占全国总面积的2/3，具有广阔的高原和盆地等，地势高低起伏和复杂险峻。大量的震害事例表明，场地地形条件对地震波的影响很大。1970年云南通海地震中，孤立突出的地形震害明显加重，地震烈度较周围平地偏高0.5～1.0度，表明地震作用下突出地形对地震动有放大作用[1]。1985年智利地震，沿两个山脊和紧邻一个山脊的山谷中，有同一个承包商建设的钢混框架结构公寓的震害截然不同，建在山脊上的公寓破坏严重，而建在山谷场地中的公寓没有遭到破坏，根据余震活动记录表明，山脊场地有一致增强地面运动放大的效应[2]。2008年汶川8.0级大地震，木鱼镇中学受灾严重，主要原因是其地处三面临空的山脊平台，地震波在孤立凸出场地上被强烈地放大，导致学校建筑物遭受毁灭性破坏[3]。场地地形放大效应也引起了研究人员的关注，Hartzell等[4]研究表明场地及地形效应是在数据收集以及理论分析时必须要考虑的方面。李小军等[5]研究表明局部场地条件会对场地地震动起到放大或缩小的作用，并直接影响到地震灾害程度的分布。姚凯等[6]通过实地观测资料计算峰值加速度，进一步表明地形起伏对于观测点的峰值加速度影响明显，在地震动强烈时山顶加速度峰值观测值较山脚相同地质条件的约大1.5倍。车伟等[7]研究结果表明山谷地形的不同位置对于大跨度桥梁的影响有很大的差异。从以上震害事例与研究结果可以得到，地形因素会改变地震动的峰值加速度与频谱特性，并对结构的地震响应造成较大的影响。对于需要考虑地震地面运动空间变化影响的大跨度空间结构，地震波的地形放大效应会更显著。

对于非平坦场地上地震动的模拟，研究人员开展了一系列的研究。Hao等[8]根据一维传播理论假设，选取Tajimi-Kanai谱的修正模型为功率谱，依据Sobczyk的理论相干函数模型，生成了地形变化下的多点地震动。进一步，Hao等[9]根据一维传播理论假设，运用随机地震动衰减模型模拟基岩功率谱，选取Tajimi-Kanai谱的修正模型为功率谱，依据Sobczyk理论相干函数模型，生成了地形变化下的多点地震动。Bi等[10]根据Hao-Nawawi模型，生成了地形变化下的多点地震动，其中功率谱模型为Tajimi-Kanai谱的修正模型，相干模型为地表处的Hao相干函数模型。周飞秦等[11]根据Hao-Nawawi模型，生成了复杂地形条件下的多点地震动，其功率谱模型是以抗震规范的反应谱与功率谱转换作为基岩自谱函数，相干为基岩处的丁海平相干函数模型。白凤龙[12]研究了复杂地形场地上多土层多维地震动模拟，其功率谱为Clough-Penzien模型，相干函数为Sobczyk的理论相干模型。以上研究选取地表处的功率谱作为基岩功率谱，或者将设计规范中的反应谱作为基岩处的加速度反应谱，但抗震设计规范中的反应谱与基岩加速度反应谱是不同的[13-14]，并且对于地表和基岩的功率谱和相干模型也有差异。田利等[15]通过基岩的反应谱转换得到相应的功率谱，选取基岩处的丁海平相干函数，生成了山丘谷地交错场地上的多点地震动；但文中仅考虑了同类非多层场地上单维地震动的模拟，而理论研究和震害表明地震动具有多维性[16]，并且对于重要或者复杂结构应该考虑多维地震动的共同作用。对于复杂地形的场地，不同地表的功率谱与基岩的相差较大；将基岩处的功率谱选取与地表处的相同会导致很大的误差，并且不能真实反映地形变化对地震动的影响，而依据基岩处的功率谱和相干函数生成地形变化场地上多维多点地震动的模拟鲜有涉及。

针对以上研究现状，本文开展了复杂地形场地上多维多点地震动的模拟研究。首先，确定了基岩处加速度反应谱，通过转换得到相应的功率谱；然后，介绍了多土层多维地震动的生成方法，基于基岩功率谱和相干函数，给出了多维多点地震动的模拟方法；最后，通过一个算例，生成了地形变化场地上多维多点地震动时程曲线。该研究成果可应用于复杂地形场地上大跨度结构的多维多点地震动分析。

1基岩地震动功率谱的生成

在地震工程研究中，反应谱与功率谱的转换十分重要。本文选取位于郯庐断裂带上的临沂地区作为研究对象，选定的场地经纬度分别为E118.30°和N34.48°，根据美国NGA强地震动观测数据库得到的美国西部地区的基岩地震动衰减关系和中国东部地区烈度衰减关系确定了中国东部地区基岩地震动衰减关系，其表达如式(1)和(2)；进一步根据中国东部地区基岩地震动衰减关系和临沂地区周边地质构造资料，生成了该地区基岩加速度反应谱，其反应谱曲线如图1所示。

长轴关系：

lgY=2.387+0.689M-2.395lg(R+

1.331exp(0.537M))

(1)

短轴关系：

lgY=0.920+0.657M-1.758lg(R+

0.402exp(0.641M))

(2)

式中：Y为峰值加速度，M为震级，R为震中距。

图1　基岩加速度反应谱Fig.1 Acceleration response spectra at base rock

基于等效平稳输入的最大反应分布，江近仁等[17]得到功率谱密度函数和均值反应谱的转换关系，其中功率谱密度函数可表示为：

(3)

式中：ξ为阻尼比，ω为圆频率，R(ω,ξ)为均值加速度反应谱，v≈ω/π为随机过程的平均穿零率，td为强度超过50%峰值的振动时间，M为非平稳输入效应的因子，其表达式为：

(4)

式中：t1、t2和c分别为主振平稳段的起始、终止时间和衰减系数。采用上述方法，根据生成的基岩加速度反应谱可以得到相应的功率谱，其曲线如图2所示。

图2　基岩功率谱Fig.2 Power spectrum on the bedrock

2基岩相干函数的选取

地震动在传播过程中会穿过不同的介质，在介质中发生的反射与折射也不同，这便导致地表不同位置处地震波的迭加方式不同。为了更好的反映地震波的这种特性，研究者们提出了不同的相干函数模型，这些相干模型大部分是基于密集的台阵记录或根据台阵记录与理论研究相结合所得到的。由于缺乏基岩地震动的观测资料，对于基岩相干函数模型的研究采用实际记录存在很大难度，因此，基岩处相干模型均为纯理论的相干函数模型。

丁海平等[18-19]采用震源位错模型进行了基岩随机地震动空间变化规律的研究，给出了基岩相干模型，该相干函数模型考虑了震源破裂速度、子源个数、震源深度和介质传播速度等影响因素，其表达形式如下：

(5)

式中,倾滑断层情形：ah=2.38×10-7，bh=7.00×10-6；av=6.77×10-6，bv=4.09×10-5。走滑断层情形：ah=1.3×10-6，bh=2.38×10-5；av=9.8×10-6，bv=4.79×10-5。

3波的传播理论

[SSH]{uSH}={PSH}

(6)

[SP-SV]{uP-SV}={PP-SV}

(7)

式中：{uSH}和{PSH}分别为SH波的出平面位移和力向量；{uP-SV}和{PP-SV}分别为P和SV组合波的平面内位移和力向量。

基岩处输入SH波，土层表面上下边界上的剪切力及位移关系：

(8)

(9)

式中：v1和τyz1分别为土层上表面的位移幅值和剪应力；v2和τyz2分别为土层下表面的位移幅值和剪应力；ASH和BSH分别为波沿z轴负向和正向传播的幅值。

引入新的荷载变量Q1=-τyz1和Q2=τyz2，整理式(9)得到土层的动力平衡方程为：

(10)

由于基岩处仅会产生BSH的幅值，ASH=0，Q0=-τyz1，整理式(7)可得基岩处的动力平衡方程：

iktRG*Rv0=Q0

(11)

将各土层和基岩的方程组组合，可以得到

(12)

(13)

基岩处输入P与SV组合波，其多土层传递的动力平衡方程可以表示为：

(14)

(15)

参考SH波的计算方法，可以分别求得地表地震动u1、w1与基岩地震动u0、w0的比值，即P与SV组合波的传递函数：

(16)

(17)

各土层的动力刚度矩阵与其密度、剪切模量、泊松比、阻尼比以及土层的厚度有关。由于不同高程处的场点对应的地质条件不同，土层的种类与厚度各不相同，导致传递函数有所差异，从而反映了地形条件对地震波的影响。

地表处的自谱及互谱函数可以表示为：

(18)

Sjn(iω)=Hj(iω)Hn(iω)Sj′n′(iω)

(19)

式中：Hj(iω)和Hn(iω)分别表示地表处点i和j的场地频响函数，Sg(ω)为基岩自谱函数，Sjn(iω)为基岩互谱函数，可以通过基岩相干函数与基岩自谱函数求得，即

Sj′n′(iω)=Sg(ω))γj′n′(dj′n′,iω)

(20)

式中：γj′n′(iω)为基岩相干函数，与基岩上点j′和n′之间的距离有关。

4多维多点地震动生成方法

基于上文中的基岩功率谱与相干函数，采用三角级数法[21]对多点地震动进行模拟。假定基岩处的功率谱密度函数相同，地表n个不同点的功率谱密度矩阵可以表示为：

式中：Sii(ω)和Sij(iω)(i,j=1,2,…,n)分别代表地表的自谱函数Sj(ω)和互谱函数Sjn(iω)。利用Cholesky分解，S(iω)分解为下三角矩阵和上三角矩阵的形式，即：

S(iω)=H(ω)HT*(ω)

(22)

式中：T代表转置；*代表复共轭。H(ω)的各个元素可以写成如下的形式：

(23)

(24)

则n个不同地点的地震地面运动可以由下式得到：

j=1,2,…n；N→∞

(25)

(26)

采用上述方法就得到了一组满足给定的功率谱密度函数、相干函数和考虑局部场地条件的非平稳多点地震动加速度时程曲线。多维地震动模拟采用Penzien[22]提出的主轴模型，假设最大主轴方向与地震波传播方向重合。多维多点地震动的模拟需要将单维多点地震动矩阵扩充至多维多点，即

(i=1,…,n)

(27)

式中：n为地面支点数；Sii(ω)为地震动随机场中第i点的单点多维平稳地震模型的谱矩阵；Sij(ω)，(i,j=1,…,k;i≠j)为地震动随机场中第i点和第j点的多维互谱密度矩阵。

5算例分析

选取非同类多土层复杂场地进行研究，已知A、B和C三点分别位于场地的不同高程处，点A、B、C处土质情况如图3所示。AB间水平距离为200 m，BC间水平距离为200 m，A′A的距离是60 m，B′B的距离是20 m，C′C的距离是80 m。震中距为150 km，对地表点A、B、C的地震动加速度时程曲线进行模拟。

图3　复杂地形场地上模拟点示意图Fig.3 Schematic diagram of simulated points in a complicated terrain site

表1给出了不同类型场地条件的密度、剪切模量、泊松比和阻尼比的参数值。选取图1给出的50年超越概率2%所对应的基岩加速度反应谱作为目标谱，图2给出了基岩加速度反应谱相应的功率谱。相干函数选取式(5)给出的基岩相干函数模型，假设为走滑断层情形。假设基岩上A′、B′、C′三点地震动功率谱密度相同，选取视波速为1 000 m/s，采用上节的多维多点地震动模拟方法，运用MATLAB编程生成不同场点处的多维多点地震动加速度时程曲线。

表1　局部场地条件参数

限于篇幅，图4仅给出了A场点处不同分量的放大函数，图5是基岩点A′的模拟功率谱与目标谱对比曲线。基岩点A′、B′、C′的加速度时程曲线如图6所示，图7～图9分别给出了地表点A、B、C的出平面水平分量，平面内水平分量与竖向分量的加速度时程曲线。图10为基岩点A′和B′间的相干函数与目标相干函数比较，图11给出了地表处A点在出平面水平方向上模拟功率谱与目标功率谱对比图。

图4　A场地处不同分量放大函数Fig.4 Transfer function of different component at point A

图5　基岩A′处功率谱与目标谱对比曲线Fig.5 Comparison between simulated and target power spectra at point A′ on base rock

图6　基岩处加速度时程曲线Fig.6 Simulated acceleration time histories on base rock

图7　地表处加速度时程曲线(出平面水平分量)Fig.7 Simulated acceleration time histories on ground surface(the horizontal out-of-plane component)

图8　地表处加速度时程曲线(平面内水平分量)Fig.8 Simulated acceleration time histories on ground surface(the horizontal in-plane component)

图9　地表处加速度时程曲线(平面内竖向分量)Fig.9 Simulated acceleration time histories on ground surface(the vertical in-plane component)

图10　基岩A′和B′间相干函数与目标相干函数的比较Fig.10 Comparisonbetween the model coherency loss and the simulated coherency loss of point A′ and B′ on base rock

从图5中可以看出，除个别点误差较大外，基岩处地震动的模拟功率谱与目标功率谱吻合较好。从图7～9可以看出，不同地表点的加速度幅值与相应基岩处

的差别较大，这表明场地放大效应改变了输入地震波的频率和幅值；不同地表点的加速度幅值差异较大，这是由于土层厚度和类型以及地表高程不同所致；还可以看出平面水平分量，平面内水平分量与竖向分量的加速度幅值变化不同，这是由于不同方向上放大函数不同所致。图10表明模拟地震动的相干函数与目标相干函数符合较好。图11表明地表处地震动的模拟功率谱与目标功率谱吻合良好。通过以上分析可得，本文复杂地形场地上多维多点地震动的模拟方法符合实际情况，可用于多维多点地震动输入的研究。图12给出了基岩A′和B′间与地表A和B间的相干函数对比，从图中可以看出，地表的相干函数与基岩上的存在着一些差异，基岩的相干性要略强于地表处的，这是由于地震波在不同地形中传播所致。

图11　地表A点出平面水平分量模拟功率谱与目标功率谱密度的比较Fig.11 Comparison between the model power spectral density and the simulated power spectral density of the horizontal out-of-plane component at point A

(a) 平面内水平分量(b) 平面内竖向分量(c) 出平面水平分量图12 基岩A'和B'间与地表A和B间的相干函数对比Fig.12ComparisonbetweenthecoherencylossofpointA'andB'onbaserockandpointAandBongroundsurface

6结论

本文根据基岩加速度反应谱得到相应的加速度功率谱，介绍了多土层多维地震动的生成方法，基于基岩功率谱和相干函数，给出了复杂地形场地上多维多点地震动的模拟方法。通过研究可以得到以下结论：

(1) 选取临沂地区作为研究对象，生成了基岩加速度反应谱，并将基岩处的反应谱与功率谱进行转化，为地震动的模拟提供基础。

(2) 通过基岩处输入地震动计算不同深度不同土层的反应，研究场地条件对地震波传播的影响。基于基岩与土层的刚度矩阵，对地震波三个方向的传递函数进行分析，研究了地震波在非同类多土层场地上的传播理论。

(3) 通过对基岩与地表各点加速度时程的比较，可以看出地震波的频率和幅值发生了明显变化，场地的放大效应不容忽视。地表处不同地震动分量所引起的加速度时程也不相同，这是由于地震波在三个方向上的放大函数不同所致。

(4) 通过对比基岩功率谱、基岩相干函数以及地表功率谱的吻合程度，验证了该模拟方法的精确性，可用于复杂地形场地上大跨度空间结构的多维多点地震激励分析。

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基金项目：国家自然科学基金项目(51208285);中国博士后科学基金项目(2012M521338)

收稿日期：2015-05-03修改稿收到日期：2015-08-07

中图分类号:TU435; P315.9

文献标志码：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.14.032

Simulation on multi-support and multi-dimensional ground motions in complicated terrain area

TIAN Li, GAI Xia

(School of Civil Engineering, Shandong University, Jinan 250061, China)

Abstract:The simulation on multi-support and multi-dimensional ground motions in a complicated terrain area was studied. The power spectrum on base rock was obtained by transferring the acceleration response spectra. The wave propagation theory was introduced to deal with the multi-dimensional ground motions with multiple soil layers and the selection of coherence function on base rock was presented. Based on the power spectrum and the coherence function on base rock, a simulation method for multi-support and multi-dimensional ground motions in the complicated terrain area was proposed. According to the analysis of a case study, the time history curves and power spectra at three different points in the complicated terrain area with multiple soil layers were generated. The amplification functions of different components of seismic wave were provided as well. By inspecting the coincidence degree between power spectra and coherence function, the accuracy of the results was verified. The results could be applied to the seismic analysis of large span structures in complicated terrain areas.

Key words:multi-support and multi-dimensional ground motion; theory of wave propagation; response spectrum on base rock; coherence function on base rock; complicated terrain area

第一作者 田利 男，博士，副教授，1982年生

E-mail：tianli@sdu.edu.cn