计及应力刚化效应的空间大运动曲梁动力学建模与分析

张建书， 芮筱亭， 陈刚利

(南京理工大学 发射动力学研究所，南京　210094)



计及应力刚化效应的空间大运动曲梁动力学建模与分析

张建书， 芮筱亭， 陈刚利

(南京理工大学 发射动力学研究所，南京210094)

摘要：从连续介质力学非线性位移-应变关系出发，导出计入应力刚化效应的空间柔性梁变形能表达式。利用浮动框架有限元方法和哈密顿变分原理推导了满足小变形假设的空间曲梁的一般运动动力学方程，并利用模态缩减法对动力学方程进行了维数降阶。所推导的动力学方程可用于高速旋转一般运动空间柔性曲梁动力学问题的求解。通过数值仿真讨论了应力刚化效应对大范围运动小变形空间柔性曲梁动力学特性的影响，并与ADAMS软件和ABAQUS软件的仿真结果进行了对比，指出了ADAMS软件在高速旋转柔性多体系统数值计算方面的一些缺陷。所提出的计及应力刚化效应的空间曲梁动力学建模方法为高速旋转一般运动柔性多体系统动力学建模和分析提供了参考。

关键词：空间曲梁；浮动框架有限元方法；高速旋转；应力刚化

从描述柔性体的位移和变形的策略这一角度来看的话，可以将当前较为流行的柔性多体系统动力学方法分为两大类：相对节点坐标描述方法和绝对节点坐标描述方法[1-2]。相对节点坐标法用描述柔性构件大范围运动浮动框架的刚体坐标与描述柔性体相对于浮动框架的位置坐标和变形坐标来描述柔性体在全局惯性系中的运动。该方法较为直观并有诸多降阶方法[3-5]，对大运动小变形柔性多体系统尤为适合。绝对节点坐标法中单元节点坐标定义在全局坐标系下，并采用斜率矢量代替传统有限元方法中的节点转角坐标。绝对节点坐标方法构建的动力学模型与传统浮动坐标法相比更能精确地描述大运动大变形柔性多体系统。但是用绝对节点坐标方法构建的动力学模型尚无有效的降阶方法，所以用该方法建立的动力学模型中往往存在刚性问题。Hussein等[6]提出了一种稀疏矩阵隐式积分方法来求解用绝对节点坐标方法建立的刚性代数-微分方程。

利用浮动坐标方法对满足小变形假设的大运动柔性多体系统进行动力学计算时，如果忽略柔性梁纵向变形与横向变形的耦合作用，由于离心惯性力的作用，使得柔性体元件的等效刚度随着浮动框架转速提高而降低[7-10]，尤其对于高速旋转柔性多体系统，会严重制约动力学仿真精度，甚至导致计算失败。不计入柔性梁纵向变形与横向变形耦合作用的计算结果与实验结果是相背的[11]。

洪嘉振等[12]在前期研究的基础上提出了上述问题的一种解决方法：通过引入横向变形引起的纵向缩短效应这一几何非线性因素导出大运动柔性梁的一次耦合模型。蔡国平等[13]研究了柔性梁的一次耦合模型的模态降阶方法，并与有限元方法的结果进行了对比。章定国等[14]研究了做空间任意运动柔性梁的动力学方程，同时考虑了横向弯曲对纵向变形的影响。刘铸永等[15]在柔性梁一次耦合模型的基础上指出：忽略耦合变形对质量分布的影响而只保留耦合变形对弹性力的影响对数值仿真精度影响不大，从而简化了柔性梁一次耦合模型动力学方程的推导。和兴锁等[16]比较了零次模型、一次耦合模型及精确模型的差异，探讨各种模型的适用性。由于在一次耦合模型中，需要通过沿着梁的轴线方向对整个柔性梁进行积分以获取横向弯曲变形引起的梁的轴向缩短效应，所以将该方法推广到具有一般初始构形的曲梁结构具有一定的难度。

赵飞云等[17]根据非线性连续介质力学理论，从非线性位移-应变关系出发，通过对纵向和横向变形节点坐标进行坐标分离，解出与纵向变形相关的准静态方程，得到准静态时的纵向应力表达式，从而获得附加刚度项。仿真结果与一次耦合模型吻合较好。该方法避免了一次耦合模型建模方法中关于浮动坐标系方向连续积分的因素，但是对纵向和横向变形采用了独立的模态阵型，所以需要对该方法进行改进才能将它推广应用到具有一般初始构形的曲梁结构。

Hansbo等[18-19]讨论了曲梁的动力学建模方法，但均未计入应力刚化效应对曲梁动力学的影响，因此不适用于高速大运动曲梁的动力学仿真。徐圣等[20]基于几何精确建模方法建立了大变形细长空间梁的几何非线性有限元动力学模型，并对空间直梁动力学仿真结果进行了试验验证。计入应力刚化效应的大运动曲梁的动力学模型在文献中尚很少见。

本文从连续介质力学非线性位移-应变关系出发，建立计入应力刚化效应的大运动空间曲梁的动力学模型。首先从弹性体非线性位移-应变关系出发，导出计入应力刚化效应的柔性梁变形能表达式。然后利用哈密顿变分原理和浮动框架有限元方法推导满足小变形假设的空间曲梁的一般运动动力学方程，并利用阵型叠加法对动力学方程进行维数降阶。在推导动力学方程的过程中计入柔性梁应力刚化效应对系统动力学的影响，以期所推导的动力学方程可用于高速旋转一般运动空间柔性曲梁动力学问题的求解。为高速旋转柔性多体系统动力学建模和分析提供参考。

1空间曲梁模型与坐标系定义

如图1所示的一个非惯性坐标系中的空间曲梁i为例，讨论计及应力刚化效应的大运动曲梁动力学建模方法及其模态缩减策略。

图1　曲梁模型与坐标系Fig.1 A spatial curved beam and the coordinate systems

2空间曲梁动力学方程

2.1单元位移列阵和形函数矩阵

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

在浮动坐标系中定义的单元位移列阵δij为：

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

因此块对角矩阵Aij满足：

(Aij)-1=AijT

(11)

根据式(8)和式(11)可得：

(12)

2.2曲梁变形势能

根据连续介质力学非线性位移-应变关系可得在单元坐标系中表示的空间运动柔性梁变形位移与中性轴轴向应变的关系为：

(13)

根据式(13)可以导出柔性梁i单元j的变形势能包括轴向变形能、横向变形能以及轴向和横向变形耦合作用产生的耦合变形能：

(14)

利用式(3)和式(4)，柔性梁i单元j的变形势能式(14)在整个单元内积分可得梁单元变形势能，即：

(15)

(16)

(17)

利用式(12)，柔性梁i单元j的变形势能表达式(15)可改写为：

(18)

(19)

对柔性梁i所有单元变形势能进行求和可得柔性梁i的变形势能为：

(20)

将曲梁i的整体节点位移列阵δi用模态叠加形式表示，记为：

(21)

式中：

(22)

(23)

将式(21)代入式(20)可得用空间柔性曲梁i广义坐标表示的变形势能表达式：

(24)

式中：

(25)

(26)

(27)

2.3曲梁动能

(28)

(29)

(30)

(31)

式中:H是浮动框架广义转角Θ的函数，并且与广义转角Θ对时间的导数无关。

选用欧拉四元素来表示浮动坐标系相对于全局惯性坐标系的方位，则Θ可记为：

Θ=[ε1ε2ε3ε4]T

(32)

式中:ε1，ε2，ε3，ε4表示四个欧拉参数。四个欧拉参数中只有三个是独立的，并满足如下约束方程：

(33)

用这四个欧拉参数表示的方向余弦矩阵A为：

A=

(34)

此时，H的表达式为：

(35)

(36)

对于满足小变形假设的柔性曲梁i，其节点k的节点坐标系(曲梁变形前节点坐标系与浮动坐标系平行)在全局惯性坐标系中的方向余弦矩阵可表示为：

(37)

根据角速度叠加定理可得该节点的节点坐标系相对于全局惯性坐标系的角速度矢量：

(38)

根据式(36)和(38)可得柔性梁i节点k的动能为：

(39)

将柔性梁i各节点的动能用柔性梁广义坐标表示，并对所有节点动能求和可得用广义坐标表示的柔性梁i的总动能表达式为：

(40)

式中：

(41)

柔性梁广义质量矩阵中各分块矩阵表达式分别为：

MRR=I1

(42)

(43)

MRF=AI3

(44)

(45)

MFF=I6

(46)

MΘΘ=

(47)

柔性梁广义质量矩阵中各分块矩阵表达式里面的九个不变量分别为：

(48)

(49)

(50)

(51)

(52)

(53)

(54)

(55)

(56)

2.4空间曲梁动力学方程

根据空间曲梁i变形势能表达式(24)，动能表达式(40)以及系统约束方程，利用约束系统哈密顿变分原理可导得曲梁i的动力学方程，即：

(57)

(58)

式中:ζ为模态阻尼比。

3曲梁系统动力学仿真与分析

利用本文推导的动力学方程对非惯性坐标系中的空间曲梁进行动力学分析。选取的动力学参数如下：等截面柔性梁体质量密度ρ=2.766 7×103kg/m3，弹性模量E=6.895×1010Pa，泊松比μ=0.33，剪切模量G=E/2(1+μ)，横截面面积A=7.3×10-5m2，截面惯性矩Iy=Iz=8.218×10-9m4，截面极惯性矩JP=Iy+Iz。空间曲梁在浮动框架中的初始构形为：

(59)

式中:R=25.25 m。式(59)描述的柔性梁中性轴在浮动框架中的初始构形如图2所示。

图2　空间曲梁中性轴在浮动框架中的初始构形Fig.2 The undeformed configuration of the neutral axis of the spatial curved beam

选取左端固定右端自由边界条件下的柔性曲梁前36阶模态阵型作为Φi。同时令各阶模态阻尼比均为ζ=0。

系统约束条件为曲梁最左端节点(一号节点)线位移为零、角位移随时间的变化给定，即：

C(qi,t)=

(60)

式中：

(61)

Adr=Ay(θdriven)

(62)

式中:Ay(θdriven)为绕y旋转θdriven角所得的方向余弦矩阵，θdriven为给定的角度驱动，其对时间的一阶导数为：

(63)

式中:Ω=10 rad/s，T=20 s。

系统约束方程式(60)对时间的二阶导数可表示为：

(64)

联立式(57)和式(64)得系统总体动力学方程：

(65)

利用本文推导的动力学方程分别考察计入应力刚化项和未计入应力刚化项对系统动力学的影响。同时利用ADAMS多体系统动力学软件和ABAQUS非线性有限软件对该动力学模型进行计算。在利用ADAMS多体系统动力学软件进行计算时选取的界面节点如图2所示。仿真结果如图3所示。

图3中计及刚化效应和未计及刚化效应在本文所述方法中指的是：是否考虑了根据柔性梁非线性位移-应变公式导出的柔性梁轴向变形和横向变形耦合作用产生的耦合变形能，即式(14)中的最后两项：

(66)

图3　柔性曲梁末端变形位移与变形速度Fig.3 The deformation and deformation velocity of the end of the curved beam

从图3所示的仿真结果不难发现，当柔性曲梁转速较低时，计入刚化项和未计入刚化项以及ADAMS软件的仿真结果基本一致；当柔性梁转速逐渐增高时，未计入刚化项的仿真结果逐渐偏离计入刚化项的仿真结果，最终发散，得出错误的结果，而ADAMS在运行到8.12 s时显示仿真失败。

4结论

本文从非线性位移-应变关系出发，导出计入应力刚化效应的空间柔性梁变形能表达式。利用浮动框架有限元法和哈密顿变分原理，导出了满足小变形假设的空间曲梁的质量矩阵和刚度矩阵及其一般运动动力学方程，并利用阵型叠加法对动力学方程进行了维数降阶。该方法进一步拓展了一次耦合模型的应用范围，避免了一次耦合模型建模方法中关于柔性梁轴线方向连续积分的因素，同时舍弃了独立的纵向和横向变形模态阵型，可应用到具有一般初始构形的曲梁结构。通过数值仿真讨论了应力刚化效应对系统动力学的影响，指出了ADAMS软件在处理应力刚化问题方面的不足。所建立的动力学方程和仿真结果为高速旋转柔性多体系统动力学建模和分析提供了参考。

参 考 文 献

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基金项目：国家自然科学基金(11102089);江苏省研究生培养创新计划基金(CXZZ12_0177)资助

收稿日期：2015-08-28修改稿收到日期：2016-01-13

通信作者芮筱亭 男，博士，教授，博士生导师，1956年8月生

中图分类号:O313.7

文献标志码：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.14.005

Dynamics modeling and analysis of a spatial curved beam with stress stiffening

ZHANG Jian-shu, RUI Xiao-ting, CHEN Gang-li

(Institute of Launch Dynamics, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, China)

Abstract:Based on the nonlinear relationship between deformation and strain of elastic flexible bodies, the expression of the potential energy of spatial flexible beams was derived, in which the effect of stress stiffening was accounted for. The dynamics equation of a spatial curved beam undergoing large displacement and small deformation was deduced using the finite element method of floating frame of reference (FEMFFR) and Hamiltonian variation principle. The order of the dynamic model was reduced by using the modal synthesis method. The stress stiffening effect of the curved beam on the system dynamics was accounted for in the deduction procedure, which makes it applicable to the dynamic simulation of multi-flexible-body system with high rotational speed. The effect of stress stiffening was numerically analyzed using the deduced dynamics equations. The simulation results were compared with those obtained by the software of ADAMS and ABAQUS, which shows some defects of the commercial dynamics softwares. The proposed modeling method for the dynamics of spatial curved beams with stress stiffening effect will lay a foundation for the dynamics modeling and analysis of high speed rotary multi-flexible-body systems under small deformation using FEMFFR.

Key words:spatial curved beam; finite element method of floating frame of reference; high rotational speed; stress stiffening

第一作者 张建书 男，博士生，1986年7月生