复合式双稳能量采集系统动力学及相干共振

李海涛， 秦卫阳， 邓王蒸， 蓝春波， 田瑞兰

(1.西北工业大学 工程力学系, 西安　710072; 2.石家庄铁道大学 数理系，石家庄　050043)



复合式双稳能量采集系统动力学及相干共振

李海涛1， 秦卫阳1， 邓王蒸1， 蓝春波1， 田瑞兰2

(1.西北工业大学 工程力学系, 西安710072; 2.石家庄铁道大学 数理系，石家庄050043)

摘要：提高能量采集系统的采集效率是一个课题难题。提出了含有压电及电磁效应的复合式能量采集系统，研究了其非线性动力学特性以及相干共振现象。首先建立了压电与电磁耦合的复合式能量采集系统模型，推导了其耦合方程。采用Runge-Kutta和Euler-Maruyama方法分析了压电式、电磁式以及复合式结构分别在确定性及随机激励作用下的动力学行为，并进行了实验验证。结果表明，同时考虑压电与电磁耦合的能量采集系统不仅在低频的大幅激励下具有高效的能量采集效果，而且在宽频随机激励下相干共振时的电压输出更高。此研究结果可应用于提高振动能量采集效率，优化电压输出。

关键词：随机激励;能量采集系统;相干共振

近年来，随着无线微型传感器对于自供能的发展要求，常规的供电装置已经不适应技术革新，能量采集系统引起了研究者的极大的关注[1]。由于日常生活中存在大量可以利用的环境激励，如何将环境激励转化为可以利用的电能并减小对类似电池这种外电源的依赖成为重要的研究课题。

早期的振动能量采集系统的研究主要基于线性振动理论。线性能量采集系统只在激励频率等于固有频率的共振情形下具有良好的能量采集效果，不适用于宽频的环境激励。出于拓宽可应用工作频带的考虑，能量采集装置设计当中越来越关注非线性因素[2]。

双稳态能量采集系统利用结构特有的非线性力，在宽频激励下获得结构大变形，提高能量采集效率[3]。Masana等[4-5]研究了轴向载荷作用下屈曲梁压电能量采集系统。当轴向载荷达到临界载荷时候，屈曲压电梁会呈现双稳态势能。通过与线性以及单稳态同类装置比较，系统在低频和大幅激励情况下采集效果更好。Erturk等[6]根据Duffing方程和基尔霍夫定律建立了磁吸力作用下的非线性双稳态悬臂梁能量采集系统模型，研究了压电能量采集系统的非线性运动特性。郭抗抗等[7]利用多尺度法分析了压电能量采集系统的主共振响应，发现当激励发生变化时系统出现多解和跳跃等非线性现象。Fan等[8]建立了二维的磁斥力压电双梁能量采集系统模型，发现磁斥力耦合拓宽了能量采集系统的工作频带。Firstwell等[9]提出了带有端部质量块的竖直悬臂梁压电能量采集模型。该模型中质量块的重力作为轴向载荷导致竖直悬臂梁呈现双稳态，实验表明当端部质量达到临界载荷时候，系统具有较好的能量采集效果。

近几年，对于随机激励作用下的能量采集系统的研究越来越受到重视。Ferrari等[10]建立了Duffing型双稳态悬臂梁能量采集系统, 采用Matlab工具箱计算了高斯白噪声激励下的随机位移响应，发现除了固有频率处双稳态系统的采集效果都优于线性能量采集系统。Cottone等[11]提出了一种电磁式受压梁能量采集系统，通过与单稳态装置比较，发现双稳态系统在特定的加速度激励下更适合宽频的环境激励。对于弱周期力和噪声协同作用下的非线性系统, 当噪声强度增大到一定程度时候，呈现信噪比达到峰值的现象，即随机共振。利用随机共振原理，可以将周期激励与随机激励下的系统能量集中输出[12-14]，从而提高能量采集效率。Hu等[15]发现在不含有周期激励的自治系统中，随着噪声强度的增加依然会激发高的信噪比，并将其称为相干共振。Litak等[16]根据相干共振原理和统计学方法，发现双稳态悬臂梁能量采集系统在Gauss白噪声激励下的功率输出可以大幅增加。

目前，振动能量转化为电能的机制主要为三种：静电式，电磁式以及压电式。三者之中，压电式具有结构简单、无电磁干扰的特点，而电磁式具有体积小，感测频率高的优势[17-18]，当前对两者进行综合研究尚不多见。为了促进能量采集效率的提高，本文针对综合了压电和电磁效应的复合式能量采集系统在确定激励和随机激励下的动力学行为进行了研究。首先建立了考虑压电和电磁的能量采集系统的数学模型，根据平衡点的稳定性分析了静态分岔的特性。通过Euler-Maruyama等数值方法给出了不同能量采集机理对确定性激励和随机激励下系统响应的影响。最后针对原始模型实验验证了相干共振现象和复合式能量采集系统的优越性。

1复合式能量采集系统

1.1模型描述

复合式能量采集装置如图1(a)所示，由压电片，轴向受载的欧拉梁，永磁铁以及线圈构成。压电式能量采集机理是通过压电片从受压梁的变形中采集能量产生电压，而电磁式则通过梁跨中的磁铁的位移产生变化的磁场，从而在线圈中产生电流来采集能量。轴向受压的屈曲梁在一阶振动模态近似的情况下，简化为一对受压的斜支撑弹簧振子模型(图1(b))。 Cao等[19-20]研究了不考虑压电和电磁效应的斜弹簧振子的混沌、余维2分岔等非线性动力学行为。

图1　模型示意图Fig.1 Schematic figure of mode

本文建立动力学模型需要考虑三方面的因素：压电梁的力学特性、压电耦合以及电磁耦合。根据牛顿定律和基尔霍夫定律，复合式能量采集系统的集总参数模型的控制方程为：

(1)

式中:m为压电振子的等效质量，X为质量块的相对位移，k为等效刚度，c为阻尼系数，L0为弹簧原长，l为振子质心到支点的水平距离，u为外界的振动源位移，Θ1为压电耦合系数，C表示等效电容，V表示电压，Θ2为电磁耦合系数，L*表示等效电感，I为电流,R1为压电电路的电阻，R2为电磁电路的电阻。式(1)中的第一式左边第四项和第五项分别表示压电和电磁的耦合作用。

(2)

其中

1.2平衡点静态分岔分析

通过考察式(2)对应的自治系统的平衡点及其稳定性, 分析复合式能量采集系统的静态分岔特性。将x1=x,x2=x′,x3=v,x4=i,式(2)所对应的自治系统写成一阶微分方程的形式：

(3)

平衡点(0,0,0,0)所对应的雅克比矩阵为

(4)

它的特征方程det(J1-λI)=0表示成:

(5)

当α>1时，由于θ1,θ2,η1,η2,β1,β2,ξ为正，根据Routh-Hurwitz判据可得，平衡点(0,0,0,0)是渐进稳定的；而α=1时，特征方程出现零根，平衡点(0,0,0,0)是分岔点；当0<α<1时，特征方程必有正实根，故推出平衡点(0,0,0,0)不稳定。

(6)

它的特征方程det(J2-λI)=0表示成:

λ4+λ3(η1+η2+2ξ)+λ2(1-α2+η1η2+β1θ1+

β2θ2+2η1ξ+2η2ξ)+λ((η1+η2)(1-α2)+

β1η2θ1+β2η1θ2+2η1η2ξ)+(1-α2)η1η2=0

(7)

通过上面分析可知，0<α<1时，式(2)有两个稳定的平衡点和一个不稳定的平衡点，α=1为系统的分岔点，α≥1时，式(2)只有一个稳定的平衡点。因此在α=1处，能量采集系统发生亚临界叉形分岔(如图2(a) 所示)。

图2　静态分叉和势能函数Fig.2 Static bifurcation and potential function

2数值模拟

2.1确定性激励

(8)

图3(a)为系统取无量纲参数α=0.75,ξ=0.05,θ1=0.05,θ2=0.05,η1=0.01,β1=0.1,η2=0.008,β2=0.05,ω=1.05.时候，位移响应x关于激励幅值a的分岔图。a从0.1到1.5之间变化时，系统将会发生倍周期分岔以及混沌。随着激励幅值a的逐渐增大，混沌窗口和周期窗口交替出现，但是当激励幅值增大到一定程度时候，系统最终变化为大幅周期-1运动。

图3　随激励振幅变化时的输出响应变化Fig.3 Response versus variation of a

为了进一步说明激励幅值对系统动力学行为的影响。图4(a)～图4(b)为a分别取0.15和0.16时系统的相平面图、Poincaré截面图。当激励幅值较低的时候，系统围绕一个平衡点做小幅单阱周期-1运动(图4(a)); 而a增大为0.16时，系统将获得足够的能量越过势垒，演变成围绕两个稳定平衡点的大幅双阱周期-3运动(图4(b))。

预算方面：现有的科研经费预算管理研究是针对传统管理模式，而针对科研经费管理系统的预算研究还很少。根据《意见》内容，科研经费管理系统的预算管理模块未来应以实现以下功能为研究方向：首先，把传统的十余项科研预算明细项目对应到会计核算科目，并且将个别预算项目（差旅费、会议费、国际合作交流费）设为一个预算控制项，内部可以互相调拨，项目经费支出时仅受总额控制。其次，在预算编制界面，提供预算编制的详细指引，指导科研人员合理编制项目预算。再次，在科研预算管理模块增加预算调整功能，项目负责人在系统里申请预算调整，科研管理部门电子审批后，反馈到财务的预算执行系统，减少纸质文件传输的时间成本和人工成本。

由于外部激励已经为系统提供了足够的能量，当继续增大激励幅值a时，系统宏观上将保持围绕两个稳定平衡点的大幅度双阱运动。图4(c)～图4(d)为随着a的增加，非线性系统在x1-x2相平面上呈现出混沌运动、双阱倍周期运动交替状态。

(a)a=0.15周期-1运动(b)a=0.16周期-3运动

(c)a=0.35混沌运动(d)λ=0.66周期-5运动图4 不同激励幅值情况的相平面图以及Poincaré截面图Fig.4PhaseportraitandPoincarésectionatdifferentexcitationamplitude

2.2随机激励

如果假设外部激励y″为零均值宽带平稳Gauss白噪声过程F(τ)，满足如下关系式：

F(τ)=0

〈F(τ)F(τ+Δτ)〉=2Dδ(Δτ)

(9)

式中：D为Gauss白噪声的强度，δ为单位脉冲函数，Δτ是时移。

图5显示了系统参数选取α=0.75,ξ=0.05,η1=0.01,β1=0.1,η2=0.008,β2=0.05,时，利用Euler-Maruyama方法得到的压电耦合系数q1、电磁耦合系数q2以及随机噪声强度对系统响应的影响。图5(a)、5(c)是信噪比曲面(σx/σF,σF，σx分别为激励和响应的标准差[16])，其中峰值所对应的噪声强度就是发生相干共振的临界值。图中看出，随着耦合系数q1、q2逐渐增加，发生相干共振的临界噪声强度先逐渐减少然后再逐渐增加。由此得到在一定条件下，同时考虑压电耦合和电磁耦合的复合式能量采集系统比只考虑压电或电磁耦合的能量采集系统更加容易出现明显的相干共振现象。图 5(b)、5 (d)表明，由于相干共振的作用，复合式能量采集系统在临界噪声强度处的输出电压均方值要比压电式和电磁式的高，从而输出功率也较大。

(a)压电耦合系数q1对信噪比以及电压均方值的影响(b)压电耦合系数q1对信噪比以及电压均方值的影响

(c)电磁耦合系数q2对信噪比以及电压均方值的影响(d)电磁耦合系数q2对信噪比以及电压均方值的影响图5 机电耦合对响应输出的影响Fig.5Theinfluenceofelectromechanicalcouplingonoutputresponce

图6为噪声强度为D=0.03,q1=0.05,q2=0.05时，不同能量采集机理作用情形时候的相平面图以及时间历程图。在只考虑电磁耦合情形下，系统始终围绕一个平衡点做单阱运动(图6 (a))；而在只考虑压电耦合情形下，可以看到短暂的双阱运动(图6 (b))；但是在同时考虑压电和电磁作用机理时，系统频繁出现适合能量采集的大幅双阱振动现象(图6 (c))。双稳态系统在相干共振发生时，穿越势垒的大幅位移响应被称为相干跳跃[21]。如图6(d)所示，宽频激励下的复合式能量采集系统更容易产生平衡点之间的相干跳跃, 因而采集效率也比压电式或电磁式的能量采集效率高。

(a) 电磁式(b) 压电式

(c) 复合式(d) 时间历程图图6 D=0.03时,考虑不同机理时相平面图Fig.6PhaseportraitandtimehistoriesconsideringthedifferentmechanismforD=0.03

3实验验证

为了验证复合式能量采集系统相干共振时能量采集效率，本节对复合式能量采集系统原始模型在随机激励下开展了实验研究，图7为实验装置，系统参数见表1。该实验装置主要由实验夹具，永磁铁，空心线圈，振动台，受压梁，应变片，压电薄膜(PVDF)，振动控制器以及动态应变仪(DH5922)组成。

表1　复合式能量采集系统参数

图7　能量采集系统实验装置Fig. 7 The energy harvesters for comparison

整个实验测试系统框架如图8所示，实验中，振动控制器可以产生不同强度且带宽为15～100 Hz的随机激励，该激励信号经过功率放大器及振动台作用到能量采集装置上，能量采集装置在压电效应和电磁效应下产生电能，产生的电压经过引线和数据采集器进行采集，并在计算机中进行分析。

图8　能量采集实验测试系统Fig.8 Energy harvesting experimental test syste

响应的标准差和开路输出电压有效值同随机噪声标准差之间的关系如图9所示。 由图9(a) 所示，随着激励的标准差的增加，压电式和复合式能量采集系统响应的标准差基本上是递增的，且复合式能量采集系统的标准差幅值较大，这一结果证明了引入电磁采集机理能够使原有的压电式能量采集系系统出现明显的相干共振现象。由图9(b) 可知，随着激励的标准差的增加，复合式能量采集系统获得的输出电压有效值明显高于单纯考虑压电时的情况。这一结果证明了引入电磁采集机理能够提高原有的压电式能量采集系统的采集效率。图10和图 11为随机激励标准差为σF=0.005和σF=0.03时的系统的动态响应和输出电压变化。由图10可以看出，当激励标准差为σF=0.005时，受压梁只围绕某个平衡位置运动，此时复合式能量采集系统出现高峰值压电的次数较少。图11表明当激励强度增大到σF=0.03时，系统出现了大幅频繁双阱跳跃，成为主要的运动状态，此时复合式能量采集系统出现高峰值压电的次数较多。这一结果验证了相干共振能够有效的提高能量采集系统的采集效率。

(a)　应变标准差

(b)　电压有效值(VRMS)图9　系统的响应随激励的标准差的变化Fig.9 The change law between the excitation standard deviation and the system’s response

图10　激励σF=0.005时复合能量采集系统的应变Fig.10 The system’s dynamic strains and open circuit voltage with excitation standard deviation σF=0.005.

图11　激励σF=0.03时复合能量采集系统的应变Fig.11 The system’s dynamic strains and open circuit voltage with excitation standard deviation σF=0.03

4结论

为了提高能量采集系统的采集效率和功率输出，本文提出了同时考虑压电效应和电磁效应的复合式能量采集系统，研究了其在确定性激励和随机激励下的动力学行为。得到了以下结论：

(1) 压电和电磁耦合的复合式能量采集系统在简谐激励下呈现出分岔和混沌等复杂的非线性动力学行为。低频大幅激励作用下的大幅的周期运动，相对于其它情形的动力学行为能量采集效率更高。

(2) 复合式能量采集系统在随机激励下会出现相干共振。发生相干共振的临界噪声强度随压电耦合系数q1、电磁耦合系数q2变化。复合式比只考虑压电或电磁的能量采集系统更容易出现明显的相干共振现象并产生高峰值输出电压。

(3) 实验结果表明在宽频的随机激励下, 复合式能量采集装置随着激励强度的增加会出现相干共振现象, 其能量采集效率会超过只考虑压电或电磁效应的装置。

参 考 文 献

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基金项目：国家自然科学基金(11172234;11372196);河北省杰出青年培育项目(A2015210097)

收稿日期：2015-03-12修改稿收到日期：2015-07-28

通信作者秦卫阳 男，教授， 1967年生

中图分类号:O322；TN384

文献标志码：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.14.019

Dynamics and coherence resonance of a hybrid energy harvesting system

LI Hai-tao1, QIN Wei-yang1, DENG Wang-zheng1, LAN Chun-bo1, TIAN Rui-lan2

(1 Department of Engineering Mechanics, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China；2. Department of Mathematics and Physics,Shijiazhuang Tiedao University, Shijiazhuang 050043, China)

Abstract:Improving the energy harvesting efficiency is currently of topical interest. A novel hybrid energy harvester integrated with piezoelectric and electromagnetic effects was presented. The corresponding governing equations were derived and its nonlinear dynamics and coherence resonance were investigated. The dynamical behaviors of the hybrid energy harvester were explored by using the Runge-Kutta and Euler-Maruyama methods when it is subjected to deterministic and stochastic excitations. The experimental results show that the hybrid energy harvesting system, which combines the mechanisms of piezoelectric and electromagnetic effects, has a better scavenging performance when it reaches the state of coherence resonance. In addition, the results reveal that it is possible to improve the energy harvesting efficiency and output voltage by optimizing the structure’s parameters.

Key words:random excitation; energy harvesting system; coherence resonance

第一作者 李海涛 男，博士生，1985年4月生

E-mail:qinweiyang@aliyun.com