四元数矩阵的二次数值域

郭艺婉，翟发辉

(青岛科技大学数学系，山东 青岛 266061)



四元数矩阵的二次数值域

郭艺婉，翟发辉＊

(青岛科技大学数学系，山东 青岛 266061)

摘要：本文引入四元数矩阵的二次数值域的定义，并且讨论了四元数矩阵二次数值域的一些性质。在一定条件下，证明了四元数矩阵的左特征值集合是该四元数矩阵二次数值值域的子集。这些结果有助于四元数矩阵左特征值及相关问题的研究。

关键词：四元数矩阵；左特征值；二次数值域

1引言

自1844年Hamilton[1]发现了四元数，四元数的性质及应用的研究一直是数学、物理学等学科活跃的研究课题之一。四元数在经典力学、几何光学、复分析、拓扑学控制系统、图的计算以及基于四元数分析的量子力学的应用都成为这些学科主要研究分支之一。关于四元数和四元数矩阵更多结果及应用见参考文献[2]和[3]。

与实数域和复数域不同，四元数因子环的乘法运算不具有交换性，从而导致了定义在四元数上的线性代数理论与复数域上线性代数理论有许多差别。例如，不同于复数域矩阵特征值的定义和性质，四元数矩阵的特征值分左特征值和右特征值[4-5]，存在具有无限多个左特征值的有限阶四元数矩阵，四元数矩阵的左特征值不是相似不变的[4]等等。特别，在四元数的研究中，代数基本定理对四阶及四阶以上的四元数矩阵左特征值是否有效的问题仍是公开的具有挑战性的研究课题之一[4]。关于四元数矩阵与复矩阵有关结果的差异及四元数矩阵更多开放问题见文献[2]和[6]。

2001年，Langer[7]等给出了复数域分块矩阵二次数值域的定义并讨论了复的分块算子矩阵二次数值域的性质。由文献[7]，我们知道复的分块算子矩阵的特征值含于该分块算子矩阵的二次数值域，通过讨论复的分块算子矩阵二次数值域的性质来研究该分块算子谱的性质是比较有效的方法之一。 因此复数域上分块矩阵二次数值域为讨论复的分块算子矩阵谱的局部性质的研究提供了重要研究工具之一。

考虑到四元数的非交换性、四元数矩阵与复矩阵特征之间的差异一级3×3以上四元数矩阵左特征值和右特征值研究的困难和复杂性[4]，如何利用2×2阶四元数矩阵左特征值和右特征值的研究成果讨论高阶四元数矩阵的左特征值和右特征值的局部性质就变得非常有意义了。本文通过四元数矩阵的左特征值与其复伴随矩阵之间的关系，引入四元数矩阵的二次数值域的定义，将研究高阶四元数矩阵的左特征值的问题转化为讨论四元数矩阵的二次数值域的问题，从而通过讨论四元数矩阵的二次数值域局部性质达到对四元数左特征值的刻画，同时也讨论了四元数矩阵二次数值域的一些性质，这些结果有助于四元数矩阵特征值和与其相关的其他问题的研究。

2预备知识

这一节给出本文用到的一些记号，定义。

这里i,j,k满足 i2=j2=k2=ijk=-1。显然，四元数是非交换的。

如果a=a1+a2i+a3j+a4k∈, 称为a的共轭，即由文献[2]知a=|a|2。如果a∈, 则。设n,n及n分别表示，及上的n维列向量，如果n，则x与y的内积定义为

由定义2.1知四元数矩阵左特征值的定义与一般复矩阵特征值定义相同，但是由于四元数的非交换性，四元数矩阵左特征值与一般复矩阵特征值有着本质区别，例如，文献[2]和[6]指出四元数矩阵的左谱不是相似不变的，且存在四元数矩阵的左谱是一个无限集。

(2.1)

(2.2)

有了上面预备知识，在第三节，我们将引入四元数矩阵的二次数值域，并讨论其与左特征值的关系。

3四元数矩阵的二次数值域

(3.1)

从定义3.1可以看出，四元数矩阵二次数值域实际上是两个变元二次方程的解。关于四元数矩阵二次数值域，我们有下面的性质。

证明(1)充分性是显然的。 下面证明必要性。

对任意x1∈n，||x1||=1，取x2=x1，则x=x1+x2j∈Σ1。因为{ 0 }，所以

A1=0，A2=0。

证明设A=A1+A2j，β=β1+β2j，因为α∈，则

αA+βIn=(αA1+β1)+(αA2+β2)j。

(3.2)

(3.3)

(3.4)

情形2如果α=0，由引理3.1 (2) 知结论成立。

证明设α1∈且存在x1∈n，‖x1‖=1使得〈A1x1,x1〉=α1。 对于向量x1，存在x2∈n且‖x2‖=1使得。取，则

设y2∈n，||y2||=1使得〈A2y2,y2〉=-β2。记，则

下面定理3.1是本文主要结果。该定理说明可以将高阶四元数矩阵左特征值问题转化为两元变量的二次复数域上方程解的问题，为利用MATLAB或者其他计算机语言编程估计四元数矩阵左特征值的范围给出了一种方法，进而也说明四元数矩阵的二次数值域具有一定的实际应用价值。

经简单计算可得

(3.4)

(3.5)

(3.6)

(3.7)

由于式(3.6)与(3.7)确定的方程组有非零解‖x1‖与‖x2‖，因此

(3.8)

(3.9)

因此λ1∈Δ1(x)。

4小结

本文引入了四元数矩阵的二次数值域的概念，讨论了四元数矩阵二次数值域是实数集时，该四元数矩阵的性质；也讨论了正交变换下四元数矩阵的二次数值域不变等一些其他性质，同时证明了四元数矩阵的左特征值集合是该四元数矩阵二次数值值域的子集。所得结果说明了22阶及以上的高阶四元数矩阵左特征值可以看作该矩阵的二次数值值域的局部化，从而有助于对四元数矩阵左特征值及其他相关问题的讨论。

参考文献：

[1]HAMILTON W R. Elements of quaternions [M]. London: Longman, 1889.

[2]ZHANG F. Quaternions and matrices of quaternions [J]. Linear Algebra Appl, 1997,251(2):21-57.

[3]ADLER S L. Quaternionic quantum mechanics and quantum Fields [M]. Oxford: Oxford University Press, 1995.

[4]HUANG L P ， SO W.On left eigenvalues of a quaternic matrix [J]. Linear Algebra Appl, 2001，323(1/213):105-116.

[5]LEO S D， SCOLARICI G. Right eigenvalue equation in quaternionic quantum Mechanics [J]. J Phys A,2000,33(13):2971-2995.

[6]RODMAN L. Topics in quaternion linear algebra [M]. Princeton: Princeton University Press, 2014.

[7]LANGER H, MARKUS A, MATSAEV V et al. A new concept for block operator matrices: The quadratic numerical range [J]. Linear Algebra Appl,2001,330(1/2/3):89-112.

DOI:10.3976/j.issn.1002-4026.2016.03.015

收稿日期：2015-08-07

基金项目：山东省中青年科学家科研奖励基金(BS2013SF014)

作者简介：郭艺婉(1989-), 硕士研究生,研究方向为泛涵分析。 *通信作者，翟发辉(1967-),男，硕士生导师，研究方向为泛函分析及其应用。Email:fahuiz@163.com

中图分类号：O151.2

文献标识码：A

文章编号：1002-4026(2016)03-0087-05

Quadratic numerical range of a quaternion matrix

GUO Yi-wan, ZHAI Fa-hui*

(Department of Mathematics, Qingdao University of Science and Technology, Qingdao 266061, China)

Abstract∶We present the definition of quadratic numerical range of a quaternion matrix, and discuss its properties. We further prove that the set of all left eigenvalues of such a matrix is its subset under certain restricted conditions. These results are benefit for the research on the left eigenvalues of a quaternion matrix and relative issues.

Key words∶quaternion matrix; left eigenvalues; quadratic numerical range