合金凝固过程枝晶生长的界面前沿跟踪法模拟

刘波祖 ，衣冠玉 ，赵忠魁

(1.山东建筑大学材料科学与工程学院，山东 济南 250001；2.山东省科学院新材料研究所，山东省汽车轻量化镁合金材料工程技术研究中心，山东 济南 250014)



【新材料】

合金凝固过程枝晶生长的界面前沿跟踪法模拟

刘波祖1，衣冠玉2*，赵忠魁1

(1.山东建筑大学材料科学与工程学院，山东 济南 250001；2.山东省科学院新材料研究所，山东省汽车轻量化镁合金材料工程技术研究中心，山东 济南 250014)

摘要：为预测铝合金铸件凝固时的微观组织演化，本文采用当量法对KGT模型进行扩展，建立了适应多元合金的界面前沿跟踪模型。应用该模型对Al-6Si-4Cu合金凝固过程的微观组织的演化过程进行了模拟。实验结果表明，所建立的模型能够再现凝固过程中自由枝晶生长形态、液相中的溶质分布以及多晶生长时枝晶的竞争生长过程。该模型可以实时地跟踪凝固界面前沿的位置，节省计算时间，提高效率。

关键词：界面跟踪模型；枝晶生长；多元合金

随着宇宙航空航天技术的迅猛发展，铝合金作为低密度、高强度的金属材料备受关注与青睐。微观组织形态是影响铝合金铸件性能的重要因素之一，也是凝固成型后评价其铸件质量的一个重要指标[1]。早期对微观组织演变的研究多采用实验和解析方法，但是这两种方法很难直观描述多元合金的枝晶形貌特征。随着计算机技术和数值计算方法的进步，数值模拟技术得到了快速的发展。由于数值模拟技术具有不受实验条件制约、成本低等优点，能够定量研究凝固过程的微观组织形貌，因此凝固组织模拟模型的作用越来越重要[2-7]。

进入二十一世纪，国内外数值模拟技术的发展非常迅速，建立了数种的微观组织模拟模型，成为预测合金凝固过程枝晶形貌和微观偏析的重要工具。目前，最常用的微观组织数值模拟方法主要有相场法(phase field, PF)[8-13]、元胞自动机法(cellular automaton, CA)[14-15]和界面前沿跟踪法(front-tracking，FT)[16-17]等。

相场法虽然能够获得与实验结果相近的枝晶形貌，但是其假定固/液界面有一定的厚度，缺乏清晰的物理基础。元胞自动机法中，网格的尺寸及形状容易影响模拟结果，模拟凝固过程的偏析存在较大误差。界面前沿跟踪方法能够解决相场法和元胞自动机法引起的问题，可以跟踪固/液界面的边界条件，通过将固/液中的热、质传输方程和边界条件相耦合，建立一个控制方程组，可以模拟枝晶尖端的稳态生长，同时具有较高的计算效率。

本文采用当量法[18]，将已有的二元合金的界面前沿跟踪模型扩展到了多元体系，建立了多元合金枝晶生长的界面前沿跟踪模拟方程，该研究对理解凝固过程和组织控制有较高的理论指导作用。

1控制方程

在金属的凝固过程中，伴随着传热和传质的现象。国内外许多研究者对传热和传质的过程进行了大量的研究，发现此过程的改变会影响晶粒的形核和生长以及凝固后的微观组织。因此，只有正确和深入地研究凝固过程中的传输现象，建立传热和传质方程以及凝固理论模型，才能正确地模拟微观组织的形成过程。

1.1宏观传热的计算

宏观温度场的模拟在凝固过程中非常重要，是微观形核、生长模拟的基础，也是能否正确模拟微观组织的前提。在铸件凝固过程中，如果不考虑对流现象，其凝固过程可以看成不稳定的导热过程。金属凝固过程是相变的过程，在此过程中会放出凝固潜热，而这种潜热反过来又会对合金凝固时的温度场产生影响。结晶潜热的释放是金属凝固过程区别于一般导热过程的显著特点。宏观和微观的模拟不是完全独立的，因此必须加以综合考虑、分析。

凝固过程中，如果仅考虑二维传热的话，其二维温度场控制方程为：

(1)

其中， ρ为材料的密度； Cp为定压比热容；λ为导热系数；ΔH为潜热；fs为固相分数。

1.2多组元溶质扩散的计算

合金凝固过程中，随着晶粒的形核和生长，当溶质在固相中的溶解度小于在液相的溶解度时，一方面固相中多余的溶质被排放出来富集在凝固界面前沿的液相中，使得界面前沿存在溶质梯度, 从而推动溶质扩散的进行；另一方面从不同成分的液相析出的固相也具有不同的成分，使凝固体系中固/液界面各处溶质浓度不均匀，因此需要对每种元素分别进行溶质扩散方程的求解，建立的溶质扩散控制方程为：

(2)

其中，CL,i为组元i在液相或固相中的溶质成分；DL,i为组元i在液相中的扩散系数；ki为组元i的溶质平衡分配系数。

1.3固相分数增量的计算

金属凝固是晶粒不断形核和长大的过程，晶粒在长大的过程中固/液界面曲率不断发生变化，影响界面溶质扩散。假定凝固过程中，固/液界面的固、液相成分保持平衡， 固/液界面满足热力学平衡，综合考虑溶质成分和曲率过冷的影响，界面平衡液相溶质浓度的控制方程可以表示为：

(3)

其中界面张力的各向异性和界面曲率的控制方程为：

(4)

f(θ,θ0)=1-δcos[4(θ-θ0)],

(5)

其中，a为元胞尺寸；fs(i)为邻居元胞的固相分数；N为邻居元胞的数量取24；δ为界面能各向异性系数。

当界面上平衡液相溶质成分大于液相溶质成分时，固/液界面开始往液相推进，两者的差值是凝固的驱动力，在一个时间步长内元胞的固相分数增加量的控制方程为：

(6)

其中，Δfs为一个时间步长内一个界面网格固相分数的增加量。

在KGT模型中，主要是针对二元合金，当对多元合金进行计算时，使用当量法对其进行扩展，建立适合多元合金的改进模型。当多元合金为Al-xSi-yCu，可以对Al-xSi和Al-yCu进行计算，每一个二元合金的液相线斜率和溶质平衡分配系数由相图得出，也可以由实验测得。控制方程为：

C0=∑Ci,

(7)

(8)

(9)

其中，Ci为多元合金时某一组元的初始溶质分数；mi为液相线斜率；ki为溶质平衡分配系数。

2数值求解流程

使用有限差分法将控制方程进行离散化处理，把控制方程在时间和空间上差分化，对计算域中的每个元胞进行计算。在计算工作完成后，对数据进行处理，使用MATLAB将数据进行图像显示，进行分析和讨论。

(1)将计算区域划分M×N的网格，随机选择一个或若干个元胞作为形核中心，形核中心捕获周围的液相元胞，使其成为界面元胞；

(2)设定初始条件及边界条件，并设定一定的冷却速率；

(3)通过公式(1)进行温度场计算；

(4)通过公式(2)进行溶质场计算，并通过公式(3)、(4)、(5)计算平衡液相溶质浓度；

(5)通过公式(6)计算分数增量，当元胞的固相变为1时，将此元胞标记为固相；若小于1，则重复步骤(1)～(4)，直至元胞凝固。

3模拟结果

应用所建立的界面前沿跟踪模型，对 Al-6Si-4Cu合金凝固过程进行了模拟计算。该模型主要用来模拟形核后晶粒的长大过程。模拟时选用的网格为500×500，网格尺寸为1 μm，通过对单晶生长和多晶生长的模拟，研究枝晶生长的过程。模拟时所用的热物性参数如表1所示。

表1　Al-6Si-4Cu合金热物理参数

晶粒生长受很多因素的共同影响，实际生产过程中对晶粒生长的影响更是复杂。该模型可以单独地改变某一因素，研究其对枝晶生长的影响。如图1所示，参数过冷度为3 K，冷却速率为15 K/s，凝固时间为1.23 s时的模拟结果。

图1　枝晶组织形态溶质分布图 Fig.1　Distribution of solute Cu and Si in dendrite structure

图2所示为沿枝晶臂方向溶质在固/液相中的分布情况。

图2　枝晶组织溶质分布 Fig.2　Solute distribution in tip and arm of dendritic structure

由于溶质平衡分配系数小于1，即固相中的溶解度小于液相，凝固时，固相中的溶质向液相析出，溶质在枝晶前沿位置产生了富集，如图2所示。由于溶质传输的作用，导致固/液界面前沿熔体凝固时溶质成分不同，这样在不同液相熔体中析出的固相成分也不相同。同时，从模拟结果可以看出凝固的固相中溶质成分也不相同，在最先凝固的枝晶中心位置溶质成分最低，从枝晶中心向外固相中的溶质成分逐渐变大。

图3所示为冷却速率为5、10、15 K/s的枝晶臂尖端溶质分布图。从图中可以得出，冷却速率越大，枝晶尖端溶质梯度越大。

图3　不同冷却速度下枝晶尖端溶质分布情况Fig.3　Cu and Si solute distribution of dendrite tip for different cooling rates

图4和图5所示为多晶粒不同时刻在冷却速率为10 K/s时的模拟结果。计算区域为500×500的网格，将8个晶核随机地分布在计算区域内，并随机地给予每个晶核一个择优生长方向，假设计算域内温度均匀，以10 K/s的冷却速率下降。

图4　不同时刻枝晶生长过程的溶质元素Si的分布情况Fig.4　Distribution of solute Si in dendritic growth process at different time

图5　不同时刻枝晶生长过程的溶质元素Cu的分布情况Fig.5　Distribution of solute Cu in dendritic growth process at different time

图6　不同时刻溶质元素微观偏析曲线Fig.6　Cu and Si micro segregation curves at different time

由图4和图5可以看出，枝晶在多晶粒共同生长时，再现了晶粒生长的竞争。在晶粒刚开始生长时，由于距离相对较远，晶粒之间影响较小，在生长初期所有晶核都均匀沿着各自的择优生长方向生长。随着枝晶的不断长大，当枝晶臂靠的较近时，枝晶会停止生长或发生弯曲，凝固完成后，枝晶之间彼此接触形成了晶界。由于在模拟时选择了固定的扩散系数，导致溶质组元Si和Cu有相同溶质扩散的分布情况，在以后的研究中会考虑其相互的影响。

图6所示为对溶质组元Si和Cu做定量的分析，在图4和图5中x=250位置处，取不同时刻的溶质成分分布图。

从图中可以看出随着凝固的进行，界面处的溶质梯度越来越大，当两个枝晶臂接近时，溶质梯度在该处最大。本文通过对多晶生长的模拟，研究微观组织的演化规律，可以更好地对材料的性能进行分析，提前预测材料的各项参数，为实际生产提供理论依据。

4结论

本文基于KGT模型，建立了多元合金界面前沿跟踪模型，模拟结果与KGT模型吻合，符合经典凝固理论的凝固现象。通过精确地跟踪固/液界面位置，模拟三元Al-Cu-Si合金凝固时微观组织及枝晶组织的生长及演化过程，得出如下结论。

(1)应用所建立的模型成功地对铝硅铜合金凝固进行了模拟计算，并使用可视化软件处理结果，再现了单晶和多晶微观组织的枝晶生长和溶质偏析现象。

(2)多晶模拟时，晶粒生长初期模拟结果与单晶模拟相同；随着凝固的进行，当枝晶臂靠的较近时，枝晶会停止生长或发生弯曲，再现了枝晶的竞争生长。

(3)由于凝固过程中溶质的再分配，使得溶质在枝晶前沿富集，降低了过冷度，减小了生长的速度，有缩颈现象的出现。

(4)该模型可以实时地跟踪凝固界面前沿的位置，节省计算时间，提高效率。

参考文献：

[1]李强, 李殿中, 钱百年. Al-7Si凝固过程组织演变的元胞自动机方法模拟[J]. 材料工程, 2004 (7): 35-39.

[2]GAUMANN M, TRIVEDI R , KURZ W. Nucleation ahead of the advancing interface in directional solidification [J]. Material Science and Engineering:A, 1997, 226/227/228: 763- 769.

[3]BOETTINGER W J, CORIELL S R, GREER A L, et al. Solidification microstructures: Recent developments, future directions [J]. Acta Mater, 2000, 48(1): 43- 70.

[4]JACOT A ， RAPPAZ M. A pseudo-front tracking technique for the modeling of solidification microstructures in multi-component alloys [J]. Acta Mater, 2002, 50(8): 1909- 1926.

[5]NASTAC L. Numerical modeling of solidification morphologies and segregation patterns in cast dendrites alloys [J]. Acta Mater, 1999, 47(17):4253- 4262.

[6]KIM Y T,GOLDENFELD N，DANTZIG J. Computation of dendrites microstructure using a level set method [J]. Physical Review E Statistical Physics Plasmas Fluids & Related Interdisciplinary Topics, 2000, 62(2PtB): 2471- 2474.

[7]BRENER E. Pattern formation in three-dimensional dendrites growth [J]. Physical A: Statistical Mechanics and its Applications, 1999, 263(1/2/3/4): 338- 344.

[8]李萍, 薛克敏, 吕炎, 等. Ti-15-3合金热反挤成形微观组织的模拟[J]. 机械工程学报, 2003, 39(1): 133-136.

[9]姚海宁. 金属材料微观组织结构演化的相场法研究[J]. 有色金属文摘, 2015，30(5):112-113.

[10]张晨辉, 杨斌鑫. 枝晶生长过程的相场法研究模拟[J]. 太原科技大学学报, 2015, 36(2): 160-164.

[11]段培培, 邢辉, 陈志, 等. 镁基合金自由枝晶生长的相场模拟研究[J]. 物理学报, 2015, 64(6): 101-109.

[12]朱兰芝, 杨文娟. 基于晶体相场模型二元合金凝固过程的晶粒形貌模拟[J]. 锻造技术, 2015, 36(2): 293-295.

[13]陈瑞, 许庆彦, 柳百成. Al-7Si-0.36Mg合金定向凝固一次枝晶臂间距实验和模拟[J]. 中国有色金属学报, 2015, 25(10): 2613-2622.

[14]石玉峰, 许庆彦, 柳百成. 基于改进的元胞自动机模型的三元合金枝晶生长的数值模拟[J]. 物理学报, 2012, 61(10): 455-461.

[15]余亮, 顾斌, 李绍铭, 等. 枝晶生长的元胞自动机模拟[J]. 安徽工业大学学报, 2002, 19(1): 10-12.

[16]YI G Y ， DONG H B. Front-tracking modelling of competitive crystal growth during alloy solidification[C]// 4th Chinese International Conference on Materials. Chongqing, China:CMRS,2007:101-107.

[17]JURIC D ， TRYGGVASON G. A front-tracking method for dendritic solidification[J]. Journal of Computational Physics, 1996, 123(1):127-148.

[18]陈光友. Al-Si合金凝固组织的数值模拟[D]. 武汉:武汉科技大学, 2009.

DOI:10.3976/j.issn.1002-4026.2016.03.006

收稿日期：2016-03-17

基金项目：山东省科技厅国际合作项目(2013GHZ30205)；山东省科学院科研计划项目(青年基金)(2013QN004)

作者简介：刘波祖(1990-)，男，硕士研究生，研究方向为材料计算。 *通信作者，衣冠玉(1978-)，男，副研究员，研究方向材料计算。Email:gyyi@sdas.org

中图分类号：TG292

文献标识码：A

文章编号：1002-4026(2016)03-0028-07

Front-tracking model of dendritic growth in multicomponent alloy solidification process

LIU Bo-zu1,YI Guan-yu2*,ZHAO Zhong-kui1

(1.School of Material Science and Engineering, Shandong Jianzhu University, Jinan 250001, China;2. Shandong Provincial Engineering Research Center for Lightweight Automobile Magnesium Alloy,Advanced Materials Research Institute, Shandong Academy of Sciences, Jinan 250014, China)

Abstract∶To predict microstructure evolution of Aluminum alloy castings in solidification process, we generalize KGT model with an equivalent method and construct a front-tracking model applicable to multicomponent alloy. We further apply the model to the simulation for the solidification process of Al-6Si-4Cu alloy. Simulation results show that the model can predict free dendritic growth, solute segregation in liquid phase and competitive growth process of dendrites in polycrystal growth. The model can therefore track real-time front position of solidification, save computation time and improve efficiency.

Key words∶front-tracking model; dendritic growth; ternary alloy