以题代点谈动态立体几何的解答

◇　浙江　谢晨时



通法研究

以题代点谈动态立体几何的解答

◇浙江谢晨时

近年高考命题对立体几何知识的考查逐渐摆脱传统、死板的考查形式与方法,每年的试卷上都会出现有特色的立体几何试题,推出了一系列既能考查考生空间想象能力,又能考查创新意识的题目,让人耳目一新.如“动态”立体几何问题的考查使立体几何命题绽放出新的活力.

图1

A存在点E,使A1C1∥平面BED1F;

B存在点E,使B1D⊥平面BED1F;

C对于任意的点E, 平面A1C1D⊥平面BED1F;

D对于任意的点E,四棱锥B1-BED1F的体积均不变

分析本题虽为一道选择题,但集线面平行、线面垂直、面面垂直、空间几何体体积问题于一身,能有效考查同学们灵活运用所学知识解决问题的能力．题目中还渗透了一些“动态”的点、线、面元素,给静态的立体几何题赋予了活力,使题意更加新颖、解法更加灵活、思维更加广阔.也正因为某些点、线、面位置的不确定,成为考生进行常规思考、转化的障碍.但又因为其是可变的、开放的,更有助于同学们空间想象能力及综合能力的培养.只有多方着力、寻求转化,才能探索出解决动态立体几何的基本策略.

1把握平行原理，探索线面平行

对于选项A．空间平行关系包括线线平行、线面平行及面面平行．欲使A1C1∥平面BED1F,只需在面BED1F内找到一条直线与A1C1平行即可,易得知若点E为CC1的中点,则A1C1∥EF.故选项A正确．

2先设后验，探索线面垂直

对于选项B.如图2所示,连接B1D、A1D．设B1D⊥平面BED1F,则B1D⊥D1F．

图2

易知A1D为B1D在面ADD1A1内的射影,由射影定理知A1D⊥D1F，显然不成立.故选项B错误．

3动中寻定，探索面面垂直

图3

对于选项C.欲证面面垂直,只需在其中一个面内找到一条线与另外一个面垂直即可．如图3所示，注意到面BED1F虽然为动面,但其中包含确定的因素,即BD1为面内固定的线,而AD1为BD1在面ADD1A1内的射影,且AD1⊥A1D,由三垂线定理可知BD1⊥A1D．同理BD1⊥A1C1,所以BD1⊥面A1DC1,所以面BED1F⊥面A1DC1．故选项C正确．

4转化视角，探究几何体的体积

图4

对于选项D.如图4所示,连接BD1,则四棱锥B1-BED1F的体积VB1-BED1F=VE-BB1D1+VF-BB1D1.面BD1B1为定面,点E到面BB1D1的距离为三棱锥E-BB1D1的高,而点E在线CC1上,CC1∥面BB1D1,故CC1到面BB1D1的距离为定值,所以三棱锥E-BB1D1的体积为定值．同理三棱锥F-BB1D1的体积为定值．所以四棱锥B1-BED1F的体积为定值．故选项D正确．

5拓展延伸，实现问题推陈出新

本题可以拓展出新的问题:

拓展1四边形BED1F将正方体分割为体积相等的2部分．

拓展2求四边形BED1F面积的最小值．

图5

罗增儒教授曾说:“以能力立意命题,利于题型设计,易形成综合自然、新颖脱俗的试题.” 本题构思精巧、立意深远,能较好地考查考生的空间想象能力,有利于甄别考生的思维层次,突出了理性思维的能力考查.通过对题目的拓展,增加了问题的考查功能．

(作者单位：浙江省宁海县正学中学)