立体几何中的探索开放型的解法

◇　山东　王世双(特级教师)



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立体几何中的探索开放型的解法

◇山东王世双(特级教师)

所谓探索开放型题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的．开放型问题在立体几何的试题中常见的形式有以下几种.

1结论探索型

给出条件,没有给出明确结论(或者结论不唯一)的问题,需要解题者探索出结论,并加以证明.

图1

(1) 证明:PB⊥面DEF. 试判断四面体DBEF是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由;

因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DE⊥PC.而PC∩BC=C,所以DE⊥平面PBC. 而PB⊂平面PBC,所以PB⊥DE.

又PB⊥EF,DE∩EF=E,所以PB⊥平面DEF.由DE⊥平面PBC,PB⊥平面DEF,可知四面体BDEF的4个面都是直角三角形,即四面体BDEF是一个鳖臑,其4个面的直角分别为∠DEB、∠DEF、∠EFB、∠DFB.

图2

(2) 如图2所示,在面PBC内,延长BC与FE交于点G,则DG是平面DEF与平面ABCD的交线. 由(1)知,PB⊥平面DEF,所以PB⊥DG.

又因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥DG. 而PD∩PB=P,所以DG⊥平面PBD.故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角.

图3

解法2坐标法.

又已知EF⊥PB,而DE∩EF=E,所以PB⊥平面DEF.

2条件探究型

给出结论,没有给出条件的问题,要解题者分析出应具备的条件,并加以证明.

图4

3“是否存在”型

此种题型的解法常常从最简单、最特殊的情况出发．有时也可借助直觉观察或判断,推测出命题的结论,必要时给出严格证明;有时需逆向思维寻找思路．

图5

(1) 证明:PF⊥FD;

(2) 判断并说明PA上是否存在点G,使得EG∥平面PFD;

(3) 若PB与平面ABCD所成的角为45°,求二面角A-PD-F的余弦值.

图6

又PA⊥平面ABCD,所以DF⊥PA.又PA∩AF=A,所以DF⊥平面PAF,又PF⊂平面PAF，所以DF⊥PF.

图7

(3) 因为PA⊥平面ABCD,所以∠PBA是PB与平面ABCD所成的角,即∠PBA=45°，故PA=AB=1.如图7所示，取AD的中点M,则FM⊥AD,FM⊥平面PAD,在平面PAD中,过M作MN⊥PD于N,连接FN,则PD⊥平面FMN,则∠MNF即为二面角A-PD-F的平面角.

探索型问题取材广泛,形式活泼,涵盖知识面广,解题方法灵活,需要同学们在观察、猜想、推理、论证、总结、归纳、实践、创新等方面多加强练习,从而提升数学能力．

(作者单位：山东省淄博第五中学)