关于一道函数题的初步探讨

◇　山东　艺璇　北京　童嘉森(特级教师)



童嘉森数学之窗

关于一道函数题的初步探讨

◇山东艺璇1北京童嘉森2(特级教师)

当采集一个信号后，通过控制系统直接数字频率合成，输出与该频率相关的信号，然而输入和输出信号间的相位差是可控的.从声场的线性叠加原理可知，频率相同、同向传播的两列声波会在空间中产生相加或者相消的干涉现象，干涉后的波峰波谷，完全取决于两列声波的相位和幅值的关系[11-12].

解答完该题后,不妨研究一下这个函数.由于f(x)是非减函数,并且具有题设的3条性质,在此我们尝试对函数f(x)的性质作进一步探讨.

1函数f(x)的对称性

2函数f(x)部分特殊点的通项公式

……

同时还有:

……

同时,能够得出

按照这个思路继续推算下去,我们发现:

……

3函数f(x)的不连续性及大致图象

根据函数f(x)部分特殊点的通项公式以及计算过程可以看出,任意一个位于区间[0,1]上的有理数都可由性质②、③和非减函数的特性求出对应的函数值. 而对于无理数来说,虽然部分无理数能通过比较相邻2个有理数的大小,来求出对应的函数值,但存在部分无理数,无法根据题设性质求得函数值．因此,函数f(x)是不连续的. 对于这一结论,我们可以通过反证法证明.

假设对于任意无理数x0∈[0,1],都能由题设条件求得唯一确定的函数值f(x0)与之对应．因为无理数无法借助性质②、③求值,那么必然存在与x0接近的2个有理数x1、x2(x1< x0

但是我们为了能够初步了解函数f(x)的上述性质,不妨作出其大致的图象(图1)．

图1

(作者单位