函数与方程复合问题的探究

王新兵

数学样例是数学问题及其解答的组合体，或者是一个数学概念、公式或原理的一个具体“实体”对象，一般而言，它可以解释一个数学概念，例说一个原理或例示一个公式及其应用，当然也可以说明一类数学问题的解法，在数学学习中起到样板和示范的作用[1].样例学习的优越性之一表现在样例提供了与学习有关的关键成分.函数与方程复合问题最近几年在考题中频频出现，教学时往往有“不爽”之感，一是所给函数一般较复杂，二是与方程复合后涉及函数零点个数，参数范围等等，给本来就感到“难”的问题又蒙上一层“阴影”.这种问题具有高度的系统性和结构化，从认知学习的客观规律上，需要对其内容进行拆分[2].数学教学中的样例学习是通过设计有效样例，让学生通过学习样例提高他们对数学问题的解决能力.具体包括两方面：其一是让学生从样例中习得隐含的规律、原理，进而将规则、原理用到相似的具体题目中；其二是让学生读懂样例的解题过程，通过模仿样例例题解题方法去解决练习题，进而掌握该类问题的解决方法[3].下面给出两类样例问题，通过分析其隐含规律，帮助学生通过模仿其解题过程，最终达到掌握的目的.1有关函数与方程复合后的根的问题.

例1已知函数y=f（x）和函数y=g（x）的图象（图1）：

问：（1）方程f[g（x）]=0不同实数解的个数是多少？

（2）方程g[f（x）]=0不同实数解的个数是多少？

这是函数与方程复合的问题，应先对复合后方程的“内层”进行换元.然后结合y=f（t）和t=g（x）的曲线，便可使问题解决.

对于问题（1），令t=g（x），则f（t）=0零点情况如下：

由y=f（t）的图象知：零点分别有三个值t1，t2，t3，其中t1∈（-2，-1），t2=0，t3∈（1，2）.

这时再看t=g（x），画横线y=t知（图2）：

当t∈（-2，-1）时，对应2个x的值；

当t=0时，对应2个x的值；

当t∈（1，2）时，对应2个x的值；

综合以上知：方程f[g（x）]=0有6个零点.

对于问题（2），令t=f（x），则g（t）=0零点情况如下：

由y=g（t）图象知，t有两个值，分别分布在t∈（-2，-1），t∈（0，1），这时再看t=f（x），画横线y=t知（图3）：

当t∈（-2，-1）时，对应1个x值；

当t∈（0，1）时，对应3个x值；

综上知g[f（x）]=0零点个数为4个.

还可继续问f[f（x）]=0和g[g（x）]=0的情形如何？

这个问题的解决，为我们解决函数与方程复合问题打开了一扇窗，使我们对这一类问题的数学思维豁然开朗.返朴归真，寻求数学的本源，弄清数学问题所蕴含的思想和观念，才能达到举一反三的目的.再请看下面问题.

例2若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1，则关于x的方程

3[f（x）]2+2af（x）+b=0的不同实根的个数是（）.

A.3B.4C.5D.6

本问题是一个三次函数与一元二次方程复合后判断根的个数问题.先令t=f（x），则

3t2+2at+b=0，画出t=f（x）的草图（图4）.

因为f′（x）=3x2+2ax+b，依题意知x1，x2为f′（x）=0的两个不同的实根，即为方程3t2+2at+b=0的两个解.令t=x1或t=x2不妨设x1

所以原方程有3个解，故选A.2有关含参的函数与方程复合的参数条件问题.

例3设定义域为R的函数f（x）=lgx-1，x≠1，

0，x=1，则关于x的方程

f2（x）+bf（x）+c=0有7个不同实数解的充要条件是（）.

A.b<0且c>0B.b>0且c<0C.b<0且c=0D.b≥0且c=0

本问题是分段函数与一元二次方程复合后判断解的个数问题.

先令t=f（x），则t2+bt+c=0.

作t=f（x）的图象，然后画横线y=t（图5），寻求满足条件的点的位置及t的范围.

若方程f2（x）+bf（x）+c=0有7个不同实数解，从图象上看方程t2+bt+c=0必须有两个不同解，又从画横线y=t知t的位置有两个，一个t1>0，一个t2=0，即一个正根，一个零根，因此，b<0且c=0，故选C.

例4已知函数f（x）=-x2-2x，g（x）=x+14x，x>0，

x+1，x≤0，若方程g[f（x）]-a=0不同解的个数为4，则实数a的取值范围为.

见到方程g[f（x）]-a=0，转化为g[f（x）]=a，即y=g[f（x）]和y=a的图象的交点个数为4.

令t=f（x），g（t）=a.先观察“内层”函数t=f（x）图象，结合图象画横线可知（图6），一个t对应x值的个数，欲达到4个零点，每个t对应2个x值，则需t有两个解，同时知t<1即可.再观察y=g（t）图象（图7），从图象知当1≤a<54时，y=g（t）与y=a恰有两个交点，即t有两个值.

综上分析，实数a的取值范围为[1，54）

例5设定义域为R的函数f（x）=lgx，x>0

-x2-2x，x≤0，若关于x的函数

y=2f2（x）+2bf（x）+1有8个不同的零点，则b的取值范围为（）.

A.-322

本问题是分段函数与一元二次方程复合后，由零点个数求参数范围的问题.

令t=f（x），则y=2t2+2bt+1，作t=f（x）的图象（图8），画横线知：每一个t对应4个x，且t∈（0，1），这样y=2t2+2bt+1有两个不同的零点t1，t2，且t1，t2∈（0，1）.

由一元二次方程根的分布满足Δ=4b2-8>0，

0<-b2<1，

g（1）>0，-32

例6函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象关于x=-b2a对称，据此可以推测对任意的非零实数a，b，c，m，n，p关于x的方程m[f（x）]2+nf（x）+p=0的解集不可能是（）.

A.{1，2}B.{1，4}C.{1，2，3，4}D.{1，4，16，64}

本问题是一个一元二次方程和另一个一元二次方程复合后根的问题.令t=f（x），则mt2+nt+p=0，画t=f（x）的草图，考虑mt2+nt+p=0有两解的情况，可设t=M，或t=N，利用函数与方程思想.把方程问题转化为求函数t=f（x）与直线y=M或y=N交点问题（图9）.

设x1，x2，x3，x4分别为t=f（x）与两直线交点的横坐标，不妨设x1

在数学课堂教学中，样例的学习通常以逐步呈现解答步骤的形式向学习者提供解决问题的方法或规则[4].从以上样例求解可以看出，这类问题是函数（曲线）与方程的复合问题，无论是判断根的个数，还是由根的个数判断参数范围，都是先用换元法将函数替换掉，画出这个“新”函数的图象，然后在曲线上画与x轴平行的直线，分析交点情况，确定方程的根或所求参数的取值范围.这类问题综合性较强，将数形结合、化归等数学思想体现的“淋漓尽致”.数学知识的掌握是一个积累的过程，这个积累反映了数学思维的成果[5～7]，只要我们抓住了问题的本质，问题的解决也就和谐、自然了.

参考文献

[1]马俊青.数学样例学习与学生数学知识形成关系的研究[J].数学教育学报，2009，18（4）：68-70

[2]李大永，章红.基于整体把握的运算主线下的“分数指数幂”教学[J].数学教育学报，2016，25（1）：61-66

[3]甘卫群，刘万伦.样例的概念属性呈现方式对初一学生分式概念学习的影响[J].数学教育学报，2015，24（6）：68-72

[4]赵弘.国外的样例研究对数学例题教学的启示[J].吉林师范大学学报（自然科学版），2007，（2）：70-72

[5]韩云桥.论数学学习的经验性思维[J].数学教育学报，2015，24（5）：51-54

[6]梁栋，朱鸿玲.数学概念二次教学的实践与思考[J].数学教育学报，2015，24（2）：83-87

[7]郑毓信.数学与思维之深思[J].数学教育学报，2015，24（1）：1-5