分式方程解的非一般情况浅析

李志朝

纵观近十年河南中招数学试卷，对分式方程的考查趋于淡化，这部分的考查多集中在分式的化简求值。那么，教学中学生对于一般的解分式方程还基本可以，而对于分式方程解的非一般情况，部分学生会表现出力不从心。下面，笔者就这部分内容作简单的解析，与大家共享，不当之处，还请批评指正。

解分式方程的基本思想是化分式方程为整式方程，解整式方程，验根，得出结论：未知数的值是方程的根或增根。

例1：解分式方程=2。

解：方程两边同乘以（x-2），得：2-x=2x-4。

化简，解得：x=2。

检验：当x=2时，（x-2）=0，∴x=2是原方程的增解。

【小结】增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，本题左右同乘以（x-2），即同乘了0，与等式基本性质不符，所以产生了增根。因此，解分式方程必须检验。

例2：a为何值时，关于x的方程会产生增根。

解：方程两边同乘以（x2-4），得：2（x+2）+ax=3（x-2）。

化简，整理得：x=。

令=2，得a=-4。令=-2，得a=6。

∴当a=-4或a=6时此方程有增根，也称当a=-4或a=6时此方程无解。

【小结】涉及分式方程的增根问题的解题步骤通常为：①去分母，化分式方程为整式方程；②解整式方程；将增根代入方程解的表达式中，求出方程中字母系数的值。

例3：a为何值时，关于x的方程+=无解。

解：方程两边同乘以（x2-4），得：2（x+2）+ax=3（x-2）。

化简，整理得：x=。

当x-1=0，a=1时，无意义，即x的值不存在，亦即方程无解。

令=2，得x=-4。令=-2，得a=6。

∴当a=-4或a=6时此方程有增根，也称当a=-4或a=6时此方程无解。

综上：当a=1或a=-4或a=6时，此方程无解。

【小结】分式方程无解，包括两种情况：①方程解的表达式中，分母为零（或合并同类项后，未知数系数为零）；②此方程存在增根，解法同例2。