高中数学不等式恒成立问题的解题思路分析

吴永贵江苏盐城市大丰区南阳中学

高中数学不等式恒成立问题的解题思路分析

吴永贵
江苏盐城市大丰区南阳中学

在高中数学教学当中，不等式恒成立的问题是一个十分重要的题型，在很多知识板块当中，都包含了这一数学问题。例如函数、不等式、数列、三角、方程等，都能够体现出这一知识点。基于此，本文主要探讨了高中数学不等式的恒成立问题及其解题思路。

高中；不等式恒成立；解题思路

由于不等式恒成立的问题具有较高的思维层次、多样的表现形式、广泛的实际内容，因而在很多考试当中，都属于十分常见的题型。在不等式当中，包含了不等式、导数、图像、一次函数、二次函数等方面的知识，并且融合了化归、函数方程、数形结合、换元等数学思想。

一、不等式恒成立求实数取值范围的题型

在高中数学不等式恒成立问题的解题过程中，不等式恒成立求实数取值范围的题型是一种十分重点的题型，在解决此类提醒的过程中，配方法是一种较为实用的方法。基于对函数结构形式的掌握和理解，对未知数进行转换，使之成为完全平方式，然后根据偶次方非负数的特点，对函数最值进行求解。

例2：已知函数f（x）=（x2+2x+a）/x，不等式f（x）＞0在x∈[1，+∞）时恒成立，求实数a的取值范围。

在解决该题的过程中，x∈[1，+∞）是已知条件，因此，对于f（x）＞0的问题，可以转变为解决一元二次不等式，即x2+2x+a＞0即可。

解：由于不等式f（x）＞0成立的条件为x∈[1，+∞），也就是x2+ 2x+a＞0，因此，对式中的参数变量进行分离，可得出a＞－x2－2x=－（x+1）2+1。对于得到的函数g（x）=－（x+1）2+1，在x∈[1，+∞）的区间内，函数g（x）是减函数，并且其最大值为－3，因此，根据定理可知，a＞－3。

点评：在不等式恒成立求实数取值范围的题型的解题过程中，通过对函数结构的转化，将分数不等式恒大于0的问题，转变为分子不等式恒大于0的问题进行解决。对参数进行了分隔，再根据相应的定理，将不等式的问题转变为求函数最值的问题。最后，利用配方法，对函数的最大值进行了确定。

二、不等式恒成立求最值的题型

在解决高中数学不等式恒成立问题的过程当中，针对不等式恒成立求最值的题型，可以采用判别式法进行解决。此种方法主要是通过相互转换不等式、二次函数、一元二次方程之间的关系，进而解决该类型的题目。例如，可将一元二次不等式转换为一元二次方程或二次函数，然后通过函数一元二次方程判别式，或是函数图形，对最终答案进行解答。在不等式恒成立求最值的题型当中，如果采用判别式法进行解决，应当对未知数的二次函数式进行构造。假设在实数集R当中，一元二次不等式恒成立，因此，在解题当中对判别式法的应用就更为简单。

例1：已知函数f（x）=x2+bx+c，其中，b和c∈R，同时在x∈R的情况下，函数f（x）≥f’（x），证明如果满足x≥0的条件，f（x）≤（x+c）2。假设对于任意的b、c来说，不等式f（c）－f（b）≤M（c2－b2）恒成立，求M的最小值。

解：对于第一个问题，利用导数定理可知f’（x）=2x+b。由于f（x）≥f’（x），所以，x2+bx+c≥2x+b，即x2+（b-2）x+c-b≥0。如果△=（b-2）2-4（c-b）≤0成立，就可得出c≥b2/4+1，则c≥1。因此，c≥2√（b2/4+1）=丨b丨。因此，2c-b=（c-b）+（c-1）+1＞0。由此可知，如果x≥0，则（x+c）2-f（x）=（2c-b）x+c2-c≥0。因此，在x≥0的条件下，f（x）≤（x+c）2。

对于第二个问题，根据之前的计算，能够得出x≥丨b丨。对于这一问题，可以拆分为两个部分进行解答。首先令c＞丨b丨，则M≥[f（x）-f（b）]/（c2-b2）。=（c2-b2+bc-b2）/（c2-b2）=（c+2b）/（c+ b）。假设t=b/c，可知-1＜t＜1。因此，（c+2b）/（c+b）=2-1/（t+1）。因此得出的函数g（t）=2-1/（t+1），其值域为（-∞，3/2）。因此，当c＞丨b丨时，M的取值范围为[3/2，+∞）。然后令c=丨b丨，则根据上述计算可知c=2，b=±2。因此f（c）-f（b）=0或-8，同时c2-b2=0。因此，f（c）-f（b）≤c2-b2。综上所述，M的最小值为3/2。

点评：在解决不等式恒成立求最值的题型的过程中，根据一元二次不等式恒成立的条件，将不等式列出，未知数的二元次形式不等式恒成立。在此条件下，可以采用判别式法在对函数不等式进行求解。

结论

在不等式恒成立问题的解题过程中，很多高中教师都会教学生用分离参数的方法进行解题。这种方法虽然能够在很多题型中发挥作用，但是，在解决不同题型的过程中，不应全部使用此种方法，否则将会在一定程度上限制学生的解题思路。在实际解题当中，应当针对不同的题型，采取不同的解题思路和解题方法，从而更好的解决高中数学不等式恒成立的问题。

[1]郭喜红.高中数学不等式恒成立问题的解题思路研究[J].数理化解题研究(高中版),2013,12:22.

[2]曹志新.高中生解不等式困难点的研究[D].东北师范大学, 2012.