数学解题的认识与实践（中）

罗增儒



数学解题的认识与实践（中）

罗增儒

2.数学解题过程的操作

什么是解题过程？解题过程不仅包括书写表达，还包括从拿到题目到完全解出的所有环节或每一个步骤。通过回顾自己的实际操作（看题、想题、答题、回题）可以看到，解题通常有四个基本的阶段：理解题意、思路探求、书写表达、回顾反思。我们对这个看题、想题、答题、回题的感性过程并不陌生，问题在于能不能上升到理性的高度。比如：

我们都知道解题的首要前提是审题，但审题“审什么、怎么审”，能够说清楚、讲明白、做到位吗？

我们都知道解题的思维核心是思路探求，但思路探求“探什么、怎么探”，能够说清楚、讲明白、做到位吗？

我们都知道解题的最终呈现是书写，但书写“写什么、怎么写”，能够说清楚、讲明白、做到位吗？

我们都知道学会解题的好途径是反思，但反思“思什么、怎么思”，能够说清楚、讲明白、做到位吗？

2-1理解题意

（1）理解题意的基本含义

理解题意也叫做审题，主要是弄清题目已经告诉了你什么，又需要你去做什么，从题目本身获取怎样解这道题的逻辑起点、推理目标以及沟通起点与目标之间联系的更多信息。

题目本身是解决这道题的钥匙。只不过其中的积极提示往往是通过语言文字、公式符号以及它们之间的联系间接地告诉我们。所以，审题一定要逐字逐句看清楚，力求从语法结构、逻辑关系、数学含义、答题形式、数据要求等方面真正看懂题意。

成在审题，败在审题。弄清题意等于解决了问题的一半。解题中出现的会而不对、对而不全的情况，究其原因，多在于未审清或审不清题意。审题要抓好“审什么”的三个要点和“怎么审”的四个步骤。

（2）审题审什么。

抓好审题“审什么”的三个要点。

①弄清题目的条件是什么，一共有几个，其数学含义如何。

条件包括明显写出的和隐蔽地给予的，弄清条件就是要把它们都尽量找出来；更重要的是弄清条件的数学含义，即看清楚条件所表达的到底是哪些数学概念、哪些数学关系。有时，还要排除无关信息与干扰信息。

题目的条件告诉我们从何处下手、预示“可知”并启发解题手段，弄清了条件就等于弄清了行动的起点，也准备好了行进中的加油站。

②弄清题目的结论是什么，一共有几个，其数学含义如何。

题目的结论有的是明显给出的，如求证题，关键是要弄清结论到底与哪些数学关系、哪些数学概念有关；有的是要我们去寻找的，如求解题、探索题等。这时的弄清结论，就是要弄清求解的探索性质或探索范围，它们与哪些数学关系、哪些数学概念有关，以明确推理或演算的方向。

题目的结论告诉我们向何方前进、预告“需知”并引导解题方向。弄清了结论就等于弄清了行动的目标，也随身带上了纠正偏差的“指南针”。

③弄清题目的条件和结论有哪些数学联系，是一种什么样的结构。

在弄清条件的数学含义、结论的数学含义的基础上，继续弄清条件知识与结论知识之间存在哪些初步的数学联系，这些初步联系就表现为题目的结构（题型）。

为了更接近问题的深层结构，审题不仅开始于解题工作的第一步，还贯穿于探求的过程与结果的反思，应该是一个循环往复、不断深化的过程。

题目的条件和结论是怎样解这道题的两个信息源，审题的实质是从题目本身去获取从何处下手、向何方前进的信息与启示。

（3）审题怎么审。

抓好审题“怎么审”的四个步骤。

①读题——弄清字面含义。

首先要逐字逐句逐段地读懂题目说了什么，按每分钟阅读300～400个印刷符号的速度计算，通常读完一道题用不了1分钟，但未必读懂了。因而，还应该从语法结构、逻辑关系上作出分析，真正弄清哪些是条件，哪些是结论，各有几个，这是读题最实质性的工作。

其次要从题型特点、答题形式、数据要求上明确题目的技术性细节。比如在考试中，有的题目要求保留几位小数等。如果不按这些要求来，解答就会被认为不完整（存在扣分的危险），即使有的同学并非不会做。

②理解——弄清数学含义。

看懂题目的字面含义还不能算真正审清题意，它只是为实质性的数学理解扫清了语言障碍，关键是要能进行文字语言、符号语言、形象语言、表格语言之间的转化，从题目的叙述中获取数学符号信息，从题目的图形中获取数学形象信息，弄清题目的数学含义。这当中，我们常常要回到定义，激活相关的数学知识，还要辅以图形或记号，使条件和结论都数学化，并被我们所理解。比如：

题目的条件（或结论）说了抛物线，抛物线能加吗？能减吗？能乘吗？能除吗？能运算吗？能推理吗？有困难！所以，立即想抛物线的定义，想抛物线的表达式（符号语言）和图像（形象语言），初中的表达式是y=ax2+bx+c（a≠0），图像是一条类似抛体运动路径的曲线。一旦写出抛物线的表达式y=ax2+bx+c（a≠0）就等于设出了5个字母和它们之间的等量关系，有助于运算或推理的展开。

题目出现了正方形ABCD，但正方形能加吗？能减吗？好运算、易推理吗？应该把正方形的定义和相关性质都写出来。如∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAC= 90°，AB=BC=CD=DA等，这有助于运算或推理的展开。

题目的条件（或结论）说了“二次方程有实根”，它的数学含义是什么？可以是等式，存在x0使ax02+bx0+c=0，也可以是不等式b2-4ac≥0，还可以从知识链上展开：

……

③表征——识别题目类型。

信息在大脑的呈现叫做表征。弄清条件、弄清结论的同时，条件与结论之间的关系会在头脑中呈现，这种呈现不仅会激活相关的数学知识，也会调动相应的解题经验。对于大量的常规题来说，条件与结论之间的关系结构是记忆储存中现成的——每人的头脑里都或多或少、或优或劣地储存有基本模式与经典题型。题意弄清楚了，题型就得以识别，提取该题型的相应方法即可解决（叫做模式识别）。即使是新的陌生情景，我们也有了解决它的逻辑起点与推理目标，继而可以用差异分析、以退求进、区分情况、层次解决、正难则反、数形结合等措施进入下一阶段——思路探求。

④深化——接近深层结构。

简单题一旦弄清了题意，题型就得以识别，思路随之打通，但有时认识是浅层的。对于变通过的、形似而质异的或综合性较强的题目，则还要不停顿地弄清问题。因而，弄清题意的工作在识别题目类型之后还结束不了，主要表现在两个方面：其一是在思路探求中，还有一个继续弄清题意的过程，否则会使思路受阻、思维走偏；其二是在思路已打通、解法初步得出时，仍有一个回顾反思、再认识的过程，即更本质地弄清问题，努力接近问题的深层结构。

经验表明，凡是题目未明显写出的，一定是隐蔽地给予的。只有细致地审题，才能从题目本身获得尽可能多的信息，这一步不要怕慢。注意：这些要点，叙述时是分解动作，真正解题时是连续进行、一气呵成的。请思考下面题目中条件是什么，结论是什么。

例1已知mn≠0，n2+4m＞0，又a≠b且

试求过点A（a，a2），B（b，b2）的一次函数解析式（用含m，n的式子表示）。

讲解：条件是什么？结论是什么？

理解1：给出关于四个字母m，n，a，b的五个条件（三个不等关系、两个同形等式），mn≠0，n2+4m＞0，a≠b，ma2+na-1=0，mb2+nb-1=0。

结论是求过两点A（a，a2），B（b，b2）的一次函数解析式（用含m，n的式子表示），或者说是求y=kx+h中的两个字母k，h。

理解2：关于四个字母m，n，a，b的三个条件：

条件1：给出四个字母m，n，a，b。

条件2：字母m，n满足两个关系mn≠0，n2+4m＞0。

条件3：字母a，b满足三个关系：a≠b，a，b是二次方程mx2+nx-1=0的两个实根，组成两个点A（a，a2），B（b，b2）。

结论是求过两点A（a，a2），B（b，b2）的一次函数解析式（用含m，n的式子表示），或者说是求y=kx+h中的两个字母k，h。

对于题目的多个条件，先用哪个后用哪个，哪个条件与哪个条件相配合等需作通盘考虑。一个比较麻烦的想法是从已知两等式中解出a，b，再由A，B的坐标求一次函数解析式y=kx+h。另一种较为自然的解法是用待定系数法求k，h。

解法1：由①、②可解得

由于a≠b，所以A，B的坐标恰好为一个取正（负）号、另一个取负（正）号：

反思1：这个解法的运算能力值得敬佩，但十分麻烦，需要简化。首先，分别求出A，B的坐标a1，2，b1，2又讨论合并，有思维回路；其次，求出A，B的坐标又在解方程中消去也是一个思维回路，应该考虑这些回路是必要的还是多余的；再次，理解求k，h的方程，其实是，由相减，可得，从而h=a2-ka=a2-（a+b）a=-ab。

抓住这个实质步骤，立即可以将k，h表示为a，b之和、之积，然后将a，b之和、之积用含有m，n的代数式表示。由两数之和与两数之积很容易想到韦达定理。

解法2：设过A，B的一次函数解析式为y=kx+h，由于A，B在抛物线y=x2上，消去y，得a，b是二次方程

的两个实根，由根与系数的关系，有

但由已知两等式知，a，b是二次方程

的两个实根，又有

反思2：在解法2中，③式与⑤式都是以a，b为根的一元二次方程，④式与⑥式都有两根之和、两根之积（a+b，ab），我们有理由怀疑这里面有重复。重新理解条件与结论，a，b是二次方程③x2-kx-h=0的根表明

作为目标，需要确定k，h。而条件有①、②式成立，将其与⑦、⑧式比较，从中可以看到，二次项的系数不相同，消除差异，有0，（a≠b）。

解法3：由①，②有

由a≠b表明，两点A（a，a2），B（b，b2）均在直线上，由两点确定一条直线知，这就是过点A，B的一次函数解析式。

评析：这个解法变解法1的运算为推理，把k，h作为整体而同时确定，把解法2中③式与⑤式的重复、④式与⑥式的重复都消除了。关键在于，运用函数与方程的思想揭示了题目的本质：已知A，B两点均在直线my+nx-1=0（mn≠0）上，变形，这就是过A，B两点的一次函数解析式。这样一来，题目几乎不用做就有答案（只要明白一次函数的图像是直线）。这就是对题意的更接近深层结构的理解：

理解3：两个字母a，b满足两个条件：

条件1：字母a，b（a≠b）组成两个点A（a，a2），B（b，b2）。

条件2：这两个点A（a，a2），B（b，b2）在直线my+ nx-1=0上（满足两个同形等式ma2+na-1=0，mb2+ nb-1=0），其中mn≠0（有了a≠b，n2+4m＞0成为多余的）。

结论是求过两点A（a，a2），B（b，b2）的一次函数解析式（用含m，n的式子表示）。

（待续）