基于施密特正交变换的快速盲频谱感知算法

包志强, 马　艳, 卢光跃

(西安邮电大学 通信与信息工程学院， 陕西 西安 710121)

基于施密特正交变换的快速盲频谱感知算法

包志强, 马艳, 卢光跃

(西安邮电大学 通信与信息工程学院， 陕西 西安 710121)

摘要:为了解决噪声不确定环境下的盲频谱感知问题，提出一种基于接收信号格拉姆-施密特正交变换的快速盲频谱感知算法(Blind sensing method based on the Gram-Schmidt Orthogonalization, BS-GSO)。先通过多天线接收获得的采样矩阵来构造统计协方差矩阵，利用似然比准则和施密特正交变换构造检验统计量并获得判决表达式，再应用中心极限定理和泰勒展开式推导出非渐进的判决门限。蒙特卡洛实验仿真结果表明，BS-GSO算法有效、稳健，且计算复杂度较低。

关键词:认知无线电；盲频谱感知；格拉姆-施密特正交变换

无线通信中的认知无线电(Cognitiveradio,CR)[1]已经成为提高频谱利用率的一种新兴技术。在CR网络中，次级用户(secondaryusers,SUs)不断感知频谱环境，在目标频带中可靠地检测出微弱的主用户信号，并调整传输参数(例如发射功率，调制和编码方案，载波频率等)伺机使用可用的频谱资源。非盲频谱感知方法一般要求知道噪声功率，主用户(PrimaryUser,PU)信号波形或者特征等知识。通常的频谱感知方法需要预先设定一个门限，门限的选取会影响算法的有效性和稳健性。

实际系统很难预先获得关于信号或噪声的知识，学者们提出了基于接收信号协方差矩阵特征值分解(Eigen-ValueDecomposition,EVD)[2]的盲频谱感知方法，例如：最大最小特征值算法(maximumminimumeigen-value,MME)[3]，最大特征值之迹法(maximumeigen-valuetrace,MET)[4]，信息论法[5]，最大最小特征值差分法(differenceofmaximumminimumeigen-value,DMM)[6]等。当检测信号高度相关时，这类算法可以在盲检测条件下达到较好的检测性能。但是，基于EVD的算法却有两个缺点：这类算法应用随机矩阵理论(randommatrixtheory,RMT)[7]来近似统计量的实际累积分布函数(cumulativedistributionfunction,CDF)，使得判决门限为渐进表达式，当样本数较少时，算法的性能会受到一定的影响；这类算法需要进行特征分解，具有较大的计算复杂度。

为了解决这些问题，学者们又提出了基于协方差矩阵的盲频谱感知算法。其中，协方差绝对值法(covarianceabsolutevalue,CAV)[8]只采用协方差矩阵元素建立检验统计量。它虽然降低了计算复杂度但其判决门限仍然为为渐进表达式，与基于EVD的算法具有相同的问题；而对于协方差Clolesky分解法(Cloleskydecompositionofcovariance,CDC)[9]虽然给出了准确的非渐进判决门限，但是它需要进行样本协方差矩阵的Clolesky因式分解，增加了计算复杂度。

文献[10]是利用多级维纳分解得到特征值的估计，然后基于所估计的特征值建立检验统计量，在一定程度上降低了运算的复杂度，但是判决门限仍是渐进的。文献[11]提出过一种基于线性空间频谱(spatialspectrum,SS)的频谱感知算法，通过分析接收信号的空间频谱，将峰值与平均振幅的比值(peaktoaverageamplituderatio,PAAR)作为检验统计量来进行频谱感知，检验门限仅仅通过统计的方法来得到。仿真和分析的结果均显示，以上两种算法都具有良好的感知性能并且可以有效的克服噪声不确定性的影响。

本文拟提出一种基于格拉姆-施密特正交变换的快速盲频谱感知算法，在认知用户接收端采用多天线接收的，利用中心极限定理和泰勒展开式来推导得到一个非渐进的判决门限，并使用仿真实验来验证算法是有效的和稳健的。

1信号模型

多天线技术因其能够提高系统性能而广泛应用于无线通信。本文也采用多天线来感知PU信号。

假设在CR接收端采用M维均匀线阵来采样接收信号，阵列输出为

X(k)=[x1(k),x2(k),…,xM(k)]T=

A(θ)S(k)+N(k)=

其中,p表示PU信号数量，A(θ)是方向向量矩阵且

A(θ)=[a(θ1),a(θ2),…,a(θp)],

矩阵内的元素可展开为

式中θl表示PU信号的方向，d表示阵列间距，λ表示信号波长。信号向量

S(k)=[s1(k),s2(k),…,sp(k)]T,

噪声向量

N(k)=n1(k),n2(k),…,nM(k)]T。

N表示快拍点数。

假设检验问题可以表示为

(1)

其中，H0代表PU信号不存在，H1代表PU信号存在。

输出协方差矩阵为

RXX=E[X(k)XH(k)]=

A(θ)RSSAH(θ)+RNN。

式中

RSS=E[S(k)SH(k)],

RNN=E[N(k)NH(k)],

2BS-GSO算法

在单变量统计分析中，假设随机变量是相互独立的且方差相同。BS-GSO算法则将协方差矩阵RXX作为样本检验矩阵，需要使用多元统计分析方法，则式(1)可重写为

式中，Σ可表示为

无主用户存在时，对于协方差矩阵Σ存在两种假设。假设H1：接收信号X中的元素相互独立，即Σ为对角矩阵；假设H2：接收信号X中的元素相互独立且方差相同，即Σ为对角元素相同的对角矩阵。实际对于Σ的标准假设H应为假设H1和假设H2的组合。

在假设H0下,向量x1(k),x2(k),…,xM(k)的分布是相互独立的，即X的概率密度函数由x1(k),x2(k),…,xM(k)的概率密度函数联合构成，为

(2)

而对于Σ，当x1(k),x2(k),…,xM(k)是独立变量时，则有

Σij=0 (i≠j)。

反之，如果Σij=0(i≠j)成立,则式(2)成立。因此，假设H0相当于假设H1：Σij=0(i≠j)。换言之，假设H1可以重改成Σ1的形式：

给定X的N个样本观测值，似然比准则为[12]

式中，L(μ,Σ)为

并且当Σij=0(i≠j)时，L(μ,Σ0)=L(μ,Σ)。由文献[12]的引理3.2.2推出，似然函数的最大值为

其中

显然可得

因此，似然比准则为

根据假设H1的似然比准则分析，很容易得到假设H2的似然比准则为

式中Σ2是对角矩阵且对角元素相等。

根据文献[12]的引理10.3.1, 对于假设H的似然比准则为

为表述方便，令

(3)

λ≤λ(p) ⟺ T≤T(p)。

仅仅采用了正交化的样本向量，可以避免协方差矩阵及其行列式的计算，算法的计算复杂度会明显降低。

M维样本向量[x1(k),x2(k),…,xM(k)]通过施密特正交化变为M维正交向量[v1(k),v2(k),…,vM(k)]，对样本向量做正交化处理是为了去除样本向量的相干性。当PU存在并且所有的SUs已经接收到了PU信号，则SUs的样本向量是相关的；否则，SUs的样本向量是相互独立的。

令v1=x1，则第i个正交向量可以表示成

(4)

通过施密特正交变换可得到协方差矩阵的行列式

协方差矩阵的迹为

其中 ‖·‖是向量的二范数。应用这两个参量，式(3)的检验统计量可以表示为

(5)

其中γ是算法的判决门限。

在信号与噪声都存在的情况下(H1), 假设只有一个主用户信号(p=1)并且次级用户接收到的信号含有加性高斯白噪声。根据信号模型可以得到

并且

因此Tg可重写为

从Tg的表达式可见,BS-GSO算法的主要思想是找到SUs的接收信号之间的相关性。当主用户信号不存在时，BS-GSO算法的检验统计量的值接近于0；当主用户信号存在时，BS-GSO算法的检验统计量的值为正数,其值的变化取决于信噪比。

3理论分析和门限设定

BS-GSO算法只采用接收信号的样本向量来推导设计检验统计量，并不需要任何信号和噪声功率的信息。在SNR较低的情况下，BS-GSO算法的感知性能比较容易受判决门限的影响。在完全盲感知的条件下，无法由检测概率(Pd)来设置判决门限。因此，通常通过虚警概率(Pfα)来设置判决门限。为了推导判决门限,必须首先知道H0情况下检验统计量的分布情况。

根据引理1，给定

(6)

式(6)中，若干卡方分布连乘的分布很难确定，但利用逻辑运算和中心极限定理，可以得到检验统计量Tg近似服从M维的高斯分布。则有

lnui的分布可以通过在x=μ=E[x]处的二阶泰勒展开式得到。令h(x)=lnx，则有

h(x)=lnμ +h′(μ)(x-μ)+

(7)

则lnx的均值和方差分别为

E[lnx]=E[h(x)]≈

(8)

D[lnx]≈E[lnμ +h′(μ)(x-μ)+

[h′(μ)]2E[(x-μ)2]+

h′(μ)h″(μ)E[(x-μ)3]+

(9)

E[ui]=N-i+1,

D[ui]=2(N-i+1),

(E[ui]+2(k-2))×…×E[ui]。

(10)

将式(10)代入式(9)，可以得到lnui的均值和方差。因此检验统计量Tg的均值和方差可以确定为

E[Tg]≈MlnN -

式中β是修正因子，统计实验中通常将β值选定为2。β参量为定值，它与采样点数、信道、噪声功率和SNR无关。

根据以上分析，可以通过预先设定的虚警概率推导出BS-GSO算法的判决门限

Pfα=Pr(Tg>γ)=Q(γ),

γ=Q-1(Pfα)。

(11)

其中

(12)

是正态高斯分布的右尾概率，其参数为μ=E[Tg]和σ2=D[Tg]。

由式(7),式(8),式(11)和式(12)可见，判决门限与噪声功率和信号的信息无关，因此，BS-GSO算法属于盲频谱感知算法并且对于噪声不确定性而言是稳健的。

BS-GSO算法的计算复杂度主要取决于施密特正交变换的计算，相当于计算N2M(M+1)/2点协方差矩阵。CDC方法需要计算M3/3点Clolesky分解和N2M(M+1)/2点协方差矩阵。然而，基于EVD的算法却需要进行4M3点的运算(仅计算特征值)。例如，给定M=8，与CAV和BS-GSO算法相比，基于EVD的算法需要2048点额外的计算复杂度，CDC算法需要512/3点额外的计算复杂度。因此，BS-GSO算法的计算复杂度明显较低。表1给出了这些算法对应的计算复杂度。

表1　计算复杂度的对比

4仿真结果

BS-GSO算法的性能仿真图通过基于QPSK信号的100 000次蒙特卡洛模拟实验得到。仿真采用均匀线阵，间距为半波长。仿真中，SNR定义为

(a) N=40，M=8

(b) N=1 024，M=16

图2为BS-GSO算法，CAV算法,CDC算法和MME算法的性能对比图。实验设定Pfα=10-2。图2(a)选取N=1 000, M=16，图2(b)选取N=40, M=16，图2(c)选取N=40, M=8。

图2中实线代表检测概率，虚线代表虚警概率。图2(a)和图2(b)反映的是在样本数不同时算法的性能对比情况。显然，样本数较多时，在低信噪比下，BS-GSO,CDC和MME算法的性能较好且MME算法的检测性能最好。但是，MME算法由于其判决门限对于样本点数和维数是渐进的，因此在样本数较小时，其检测性能会降低。由于判决门限不精确，CAV算法的性能是最差的。综合样本数较大和样本数较小的两种情况，BS-GSO算法的性能比CDC算法稍好。

CAV算法的实际Pfα太小,没有在图2中显示出来。在虚警概率方面，MME算法的实际Pfα会随快拍数和阵列数改变，而BS-GSO算法和CDC算法的实际Pfα在不同参数下几乎不变。BS-GSO算法的实际Pfα比预定的Pfα略大，但是阶数仍为10-2。通过以上分析可知，BS-GSO算法和CDC算法的判决门限是稳健的且检测结果是有效的。

(a) Pfα=10-2, N=1 000, M=16

(b) Pfα=10-2, N=40, M=16

(c) Pfα=10-2, N=40, M=8

为了评估BS-GSO算法的稳健性，图3给出了不同噪声不确定性参数下的检测概率，其中a分别取0dB和2dB。假设估计噪声功率在一段时间间隔[σ2/A,Aσ2]内是均匀分布的，即噪声不确定性为α=10log10AdB。仿真设定

Pfα=10-2, N=40，M=8。

图3　噪声不确定条件下BS-GSO检测性能的稳健性

从图3可见，BS-GSO算法的Pd不受噪声不确定性的影响。由此可知，BS-GSO算法对于噪声不确定性是稳健的。

5结语

在认知用户接收端采用多天线接收的方式下，基于接收信号格拉姆-施密特正交变换的快速盲频谱感知算法(BS-GSO)通过施密特正交化以及似然比检验给出了检验统计量的判决表达式，并根据中心极限定理和泰勒展开式得到了非渐进的判决门限。通过理论分析和仿真实验充分证明了BS-GSO算法在噪声不确定感知条件下具有稳健性和有效性。

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[责任编辑:陈文学]

FastandblindspectrumsensingmethodbasedonGram-Schmidtorthogonalization

BAOZhiqiang,MAYan,LUGuangyue

(SchoolofCommunicationandInformationEngineering,Xi’anUniversityofPostsandTelecommunications,Xi’an710121,China)

Abstract:In order to solve the problem of blind spectrum sensing under noise uncertainty environment, a fast and blind sensing method based on the Gram-Schmidt orthogonalization (BS-GSO) of the received signals is proposed. Firstly, get the sample matrix from the multiple antennas at the receiver, and construct the statistical covariance matrix. Secondly, on the basis of likelihood ratio criterion and Schmidt orthogonalization, try to construct test statistics and obtain non-asymptotic expression. Thirdly, derive the decision threshold according to the central-limit theorem and Taylor expansion. The results of a Monte Carlo simulation experiment show that, the proposed method is of effectiveness, robustness, and low computational complexity.

Keywords:cognitive radio, blind spectrum sensing, Gram-Schmidt orthogonalization

doi:10.13682/j.issn.2095-6533.2016.02.004

收稿日期：2016-01-13

基金项目：国家自然科学基金资助项目(61271276)；陕西省自然科学基金资助项目(2012JQ8011)

作者简介：包志强(1978-)，男，博士，副教授，从数字信号处理，阵列信号处理研究。E-mail：baozhiqiang@xupt.edu.cn 马艳(1990-),女，硕士研究生，研究方向为信息处理技术及应用。E-mail:785657854@qq.com

中图分类号：TN92

文献标识码：A

文章编号：2095-6533(2016)02-0020-07