有图有真相

金杨建



有图有真相

金杨建

一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）是我们初中阶段学习的第一个函数.从函数表达式y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）的角度看，这是一个二元一次方程，可以从解方程（组）的角度研究相关问题.但一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图像又是一条经过、（0，b）两点的直线，因此，我们可以借助它的图像，直观、形象地解决许多问题.

A. 1＜a＜2B. -2＜a＜0

C. -3≤a≤-2 D. -10＜a＜-4

图1

图2

解法一：本题可以从“交点在第四象限”这个条件入手.求出直线与直线y=a的交点坐标，根据这个点在第四象限，得出不等式组进一步得到答案a＜-3，所以，符合条件的选项是D.

解法二：直线y=a是一条平行于x轴的直线，不妨画出这条直线（如图2），显然，只有当直线y=a与y轴的交点Q在点B下方时，符合题意.此时B点坐标为（0，-3），Q点坐标为（0，a），所以a＜-3，进一步得到符合条件的选项是D.

【点评】解法一是代数方法，需要正确解方程组和解不等式组.而解法二是数形结合法，利用图形的特征，快速得到答案.你认为哪种方法简单呢？

下面，我们不妨对这道中考题进行改编，看看你能不能快速、准确地得到答案.

变式一直线l：y=-2x+4与直线x=a（a为常数）的交点在第一象限，则a的取值范围是_______________.

提示：画出直线l：y=-2x+4的图像（如图3，示意图即可），与y轴交点A的坐标为（0，4），与x轴交点B的坐标为（2，0）.直线x=a的图像是一条平行于y轴的直线，当这两条直线的交点在第一象限时，即交点在A、B两点之间.所以，0＜a＜2.

图3

图4

有没有发现变式一特别简单？似乎数形结合的方法没有太明显的优势.不要急，好戏在后头！

变式二直线y=-2x+4与直线y=3x+ b（b为常数）的交点在第一象限，则b的取值范围是_____________.

提示：画出直线y=-2x+4的图像（如图4，示意图即可），与y轴交点A的坐标为（0，4），与x轴交点B的坐标为（2，0）.直线y=3x+b的图像是一条从左往右向上的直线，随着b的变化，直线的位置发生变化，但这些直线都互相平行.设直线y=3x+ b与y轴的交点为P（0，b），与x轴的交点为.当P在A点下方，Q在B点左侧时，符合题意.此时所以-6＜ b＜4.

当然，本题也可以直接求出直线l：y= -2x+4与直线y=3x+b的交点（解方程组），然后根据交点在第一象限，求出b的范围（解不等式组）.这种方法计算量有点大哦.而且因为含有字母b，在解方程组时容易出错.

于是，数形结合方法的优点就显现出来了：一、直观——方便思考；二、简洁——计算量少.下面还有两个变式，你看看用哪种方法解答比较方便呢？

变式三直线y=2x+4与直线y=-x+b （b为常数）的交点不可能在哪个象限（）.

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

变式四直线l：y=-2x+4与直线y= kx-2（k为常数）的交点在第一象限，则k的取值范围是________________.

你不妨和小伙伴们做个比赛，看看他们是如何解答变式三和变式四的，比比谁的速度快，谁的方法好.

（作者单位：江苏省无锡市天一实验学校）