一次函数图像正确解读

茅莉萍



一次函数图像正确解读

茅莉萍

我们在学习函数图像时总会遇到各种各样的困难，导致在解题时发生很多错误，下面我们就一起探讨一下如何攻克在学习一次函数图像时遇到的困难.

1.图文灵活互译优化解题过程

案例1某公司专销产品A，第一批产品上市40天内全部售完.该公司对第一批产品上市后市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示：其中，图1中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系，图2中的折线表示的是每件产品的销售利润与上市时间的关系.

（1）试写出第一批产品的市场日销售量y与上市时间t的关系式.

（2）第一批产品上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大日销售利润是多少万元？

图1

图2

综合分析大家的解题过程，发现有以下两种解法：方法一是根据图像1分别求出日销售量y与上市时间t的函数关系式（均为分段函数），再根据销售利润=日销售量×每件销售利润，求出销售利润y与上市时间t的函数关系式（三段的分段函数），最后分别求出每段的最大值，经过比较得到最值.方法二是将图1的图像语言翻译成文字语言可知，第30天市场的日销售量达到最大为60万件，再将图2翻译成文字语言可知，第20天到40天之间每件产品的日销售利润达到最大，均是60元/件，所以第30天这家公司市场的日销售利润最大，最大利润为3 600万元.比较两种做法，方法一将数学图像语言转换为函数文字语言，通过分类讨论将函数分段，思路严谨，说理有据，但思维量大，过分追求数学的形式化；方法二将数学图像语言转换为文字语言，说理符合实际生活，解法小巧灵活，显然优于方法一.

从这个问题的解决过程来看，在解读一次函数图表信息时，应尽量将问题中的图表语言、符号语言和文字语言及时进行灵活的转换.通常情况下，应着力把图像语言转化成文字语言，成为一个“纯”文字问题，再转换成符号语言进行简化，最后思考解决问题的路径，方能优化解题过程.

2.开阔解题思路避免思维定势

案例2已知甲、乙两车分别从相距300 km的A、B两地同时出发相向而行，甲到B地后立即返回，下图是它们离各自出发地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图像.

图3

（1）求甲车离出发地的距离y与行驶时间x之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；

（2）当它们行驶到与各自出发地的距离相等时用了4.5小时，求乙车离出发地的距离y与行驶时间x之间的函数关系，并写出x的范围；

（3）在（2）的条件下，求在它们行驶过程中相遇的时间.

通过对大家解题情况进行调查，发现理解题意时思维定势产生的负效应是解错本题的主要原因.因为通常情况下，行程类的函数图像题，纵轴（y轴）往往用来表示物体行驶的距离，但在本题中y轴的实际意义为“它们离各自出发地的距离”，而不是通常我们所认为的两车行驶的距离，学生在解读信息时思维定势在常规的理解上，从而导致错解.

从这个问题的解决过程来看，在理解题意、寻找信息时，同学们应充分分析已知条件，特别是解读含有实际意义的一次函数图像时，要看清横轴与纵轴所表示的实际意义，避免思维定势负效应给解读图形信息产生的负面影响.

3.发掘隐含信息释放图像内涵

案例3如图4是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）.现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y（厘米）与注水时间x（分钟）之间的关系如图5所示.根据图像提供的信息，解答下列问题：

图4

（1）图5中折线ABC表示______槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段DE表示______槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空选填“甲”或“乙”），点B的纵坐标表示的实际意义是______.

（2）注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相同？

（3）若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积；

（4）若乙槽中铁块的体积为112立方厘米，求甲槽底面积（壁厚不计）.（直接写出结果）

图5

解决该问题的关键在于，观察乙槽的特征，水面上升的速度先快后慢，图像的“转折点”对应容器的“水面刚好漫过铁块”这个时刻，由此确定图像与器具的对应关系，对于（3）、（4），根据注水时间与注水速度求解，所以说解决该题的关键是能挖掘隐含信息.

函数图像以其直观、形象的特征囊括了众多显现的与隐含的信息，解决问题的过程就是释放图像内涵、信息转换的过程.

（作者单位：江苏省无锡市侨谊实验中学）