一类拟变分不等式问题解的存在性与算法

孙　杰

(南京财经大学 应用数学学院, 南京 江苏　210023)

一类拟变分不等式问题解的存在性与算法

孙杰

(南京财经大学 应用数学学院, 南京 江苏210023)

摘要:在Hilbert空间中利用投影引理得到一类拟变分不等式问题与不动点问题的等价关系,利用该等价关系证明了一定条件下拟变分不等式问题解的存在性,给出解的算法,并对其收敛性进行分析．

关键词:拟变分不等式; 解的存在性; 算法

0引言

设H是实希尔伯特空间,其内积和范数分别用〈·,·〉,‖·‖表示．经典拟变分不等式问题QVIP(T,K)为:找一点u∈H,使得〈T(u),v-u〉≥0,∀v∈K(u),其中T:H→H是一映射,K:H→2H是集值映射,且对∀u∈H,K(u)是闭凸集．拟变分不等式问题QVIP(T,K)最早是由Benousan和Lions[1]提出并研究的．

本文考虑的拟变分不等式问题为:找一点u∈H,使得g(u)∈K(u),且

〈T(u),v-g(u)〉≥0,∀v∈K(u)

(1)

其中T,g:H→H是连续映射,K:H→2H是集值映射,且对任意的u∈H,K(u)是闭凸集．上述拟变分不等式问题记为QVIP(T,g,K)．这类拟变分不等式问题是学者DidierAussel在2013年提出并研究,可以看作经典拟变分不等式的一个推广，后来许多作者对该问题进行了深入的研究．DidierAussel[2]在Rn空间中假设QVIP(T,g,K)有解的情况下给出了解的误差界,但并未涉及解的存在性与算法研究．郭小亚,张从军[3]在Rn空间中讨论了QVIP(T,g,K)解的存在性与算法,并将其运用到交通问题中．Noor[4]在Hilbert空间中讨论了一类广义拟变分不等式问题与不动点问题的等价性并在一定条件下讨论了解的存在性和算法．受文[3]和[4]的启发,本文在Hilbert空间利用投影引理得到QVIP(T,g,K)与不动点问题的等价关系,利用等价关系证得在一定条件下QVIP(T,g,K)的解的存在性,给出解的算法,并对其收敛性进行分析,推广了文[3]的相关结论.

1预备知识

定义1[4]映射T:H→H是Lipschitz连续的当且仅当存在一个常数β>0,使得

‖T(u)-T(v)‖≤β‖u-v‖,∀u,v∈H.

定义2[4]映射T:H→H是α-强单调的当且仅当存在一个常数α>0使得〈T(u)-T(v),u-v〉≥α‖u-v‖2,∀u,v∈H.

定义3[4]映射T在H上关于g是η-强单调的当且仅当存在一个常数η>0,使得〈T(u)-T(v),g(u)-g(v)〉≥η‖u-v‖2,∀u,v∈H.

引理1[4]设K(u)是H中的一个闭凸集,对于给定z∈H,u∈K(u),不等式〈u-z,v-u〉≥0,∀v∈K(u)成立当且仅当u=PK(u)z.

注1这里的投影算子PK(u)是非扩张的,即‖PK(u)x-PK(u)y‖≤‖x-y‖,∀x,y∈H.

假设1[4]对于任意给定的u,v,w∈H,投影算子PK(u)满足‖PK(u)w-PK(v)w‖≤γ‖u-v‖,这里的γ>0是一个正常数.

2主要结果及证明

以下首先将利用引理1证明QVIP(T,g,K)与不动点问题的等价性,并证明在一定条件下QVIP(T,g,K)解的存在性.

定理1u∈H,g(u)∈K(u)是QVIP(T,g,K)的解当且仅当u∈H,g(u)∈K(u)是映射F(u)=u-g(u)+PK(u)[g(u)-ρT(u)]的不动点.这里的PK(u)是一个投影算子,ρ>0是一个正常数.

证令u∈H,g(u)∈K(u)是QVIP(T,g,K)的解,有

〈g(u)-(g(u)-ρT(u)),v-g(u)〉≥0,∀v∈K(u).

利用引理1这个不等式等价于u∈H,g(u)∈K(u)使得

g(u)=PK(u)[g(u)-ρT(u)]

(2)

定义F(u)=u-g(u)+PK(u)[g(u)-ρT(u)],故u∈H,g(u)∈K(u)是QVIP(T,g,K)的解当且仅当u∈H,g(u)∈K(u)是F(u)的不动点.故定理1成立.

定理2T:H→H关于g是η-强单调的且是β-lipschitz连续的,g:H→H是σ-强单调的且是δ-lipschitz连续,若假设1成立并且存在一个常数ρ>0使得

(3)

证若u是QVIP(T,g,K)的解,根据引理1得g(u)=PK(u)[g(u)-ρT(u)],定义映射F(u)=u-g(u)+PK(u)[g(u)-ρT(u)].根据定理1,证明QVIP(T,g,K)的解的存在性,只需要证明F(u)是一个压缩映射.∀u1,u2∈H,u1≠u2,有

‖F(u1)-F(u2)‖≤‖u1-u2-(g(u1)-g(u2))‖+

‖PK(u1)[g(u1)-ρT(u1)]-PK(u2)[g(u2)-ρT(u2)]‖≤

‖u1-u2-(g(u1)-g(u2))‖+

‖PK(u1)[g(u1)-ρT(u1)]-PK(u2)[g(u1)-ρT(u1)]‖+

‖PK(u2)[g(u1)-ρT(u1)]-PK(u2)[g(u2)-ρT(u2)]‖.

根据假设1得到

‖PK(u1)[g(u1)-ρT(u1)]-PK(u2)[g(u1)-ρT(u1)]‖≤γ‖u1-u2‖.

由投影算子Pk(u)非扩张得

‖PK(u2)[g(u1)-ρT(u1)]-PK(u2)[g(u2)-ρT(u2)]‖≤

‖g(u1)-g(u2)-ρ(T(u1)-T(u2))‖.

由T在H上关于g是η-强单调的且是β-lipschitz连续的,g是δ-lipschitz连续的,得到

‖g(u1)-g(u2)-ρ(T(u1)-T(u2))‖2≤‖g(u1)-g(u2)‖2+

ρ2‖T(u1)-T(u2)‖2-2ρ〈T(u1)-T(u2),g(u1)-g(u2)〉≤

δ2‖u1-u2‖2+ρ2β2‖u1-u2‖2-2ρη‖u1-u2‖2=(δ2+ρ2β2-2ρη)‖u1-u2‖2.

同理可得

‖u1-u2-(g(u1)-g(u2))‖2≤(1-2σ+δ2)‖u1-u2‖2.

故

注2该拟变分不等式问题解的存在性定理对文献[3]中解的存在性定理进行了空间上的推广,并削弱了相关证明条件.

以下部分给出求解QVIP(T,g,K)的投影迭代算法,并对其收敛性进行分析．

1) 若u∈H,g(u)∈K(u)是QVIP(T,g,K)的解,由引理1有

g(u)=PK(u)[g(u)-ρT(u)].

因此可得

算法1 对于给定的u0∈H,有如下迭代式计算un+1

un+1=(1-αn)un+αn{un-g(un)+PK(un)[g(un)-ρT(un)]},n=0,1,…

(4)

注3若g=I,算法1退化为经典拟变分不等式问题解的投影迭代算法.(收敛性证明见文[5])

un+1=(1-αn)un+αnPK(un)[un-ρT(un)],n=0,1,…

2) 若g可逆的,则由g(u)=PK(u)[g(u)-ρT(u)]得u=g-1PK(u)[g(u)-ρT(u)].

算法2 对于给定的u0∈H,有如下迭代式计算un+1,

un+1=g-1PK(un)[g(un)-ρT(un)],n=0,1,…

下面给出算法1和算法2在给定条件下的收敛型证明

证由定理2知,QVIP(T,g,K)存在唯一解.令u∈K(u)是QVIP(T,g,K)的解,由引理1得

u=(1-αn)u+αn{u-g(u)+PK(u)[g(u)-ρT(u)]},n=0,1,…

(5)

这里0≤αn≤1是一个常数.

由式(4)和(5)有

‖un+1-u‖≤(1-αn)‖un-u‖+αn‖un-u-(g(un)-g(u))‖+

αn‖PK(un)[g(un)-ρT(un)]-PK(u)[g(u)-ρT(u)]‖≤

(1-αn)‖un-u‖+αn‖un-u-(g(un)-g(u))‖+

αn‖PK(un)[g(un)-ρT(un)]-PK(un)[g(u)-ρT(u)]‖+

αn‖PK(un)[g(u)-ρT(u)]-PK(u)[g(u)-ρT(u)]‖.

根据假设1得到

‖PK(un)[g(u)-ρT(u)]-PK(u)[g(u)-ρT(u)]‖≤γ‖un-u‖.

由投影算子Pk(u)非扩张得

‖PK(un)[g(un)-ρT(un)]-PK(un)[g(u)-ρT(u)]‖≤‖g(un)-g(u)-ρ(T(un)-T(u))‖.

由T在H上关于g是η-强单调的且是β-lipschitz连续的,g是δ-lipschitz连续的,得到

‖g(un)-g(u)-ρ(T(un)-T(u))‖2≤‖g(un)-g(u)‖2+

ρ2‖T(un)-T(u)‖2-2ρ〈T(un)-T(u),g(un)-g(u)〉≤

δ2‖un-u‖2+ρ2β2‖un-u‖2-2ρη‖un-u‖2=(δ2+ρ2β2-2ρη)‖un-u‖2.

同理可得

‖un-u-(g(un)-g(u))‖2≤(1-2σ+δ2)‖un-u‖2.

故

(1-αn)‖un-u‖+αnθ‖un-u‖.

由定理2知θ<1.因此

‖un+1-u‖≤(1-αn)‖un-u‖+αnθ‖un-u‖≤

证由定理2知,QVIP(T,g,K)存在唯一解.令u∈K(u)是QVIP(T,g,K)的解,由引理1得

u=g-1PK(u)[g(u)-ρT(u)],

因为g-1是m-lipschitz的,且投影算子是非扩张的,另外由假设1得到

‖un+1-u‖=‖g-1PK(un)[g(un)-ρT(un)]-g-1PK(u)[g(u)-ρT(u)]‖≤

m‖PK(un)[g(un)-ρT(un)]-PK(u)[g(u)-ρT(u)]‖≤

m‖PK(un)[g(un)-ρT(un)]-PK(u)[g(un)-ρT(un)]‖+

m‖PK(u)[g(un)-ρT(un)]-PK(u)[g(u)-ρT(u)]‖≤

mγ‖un-u‖+m‖g(un)-g(u)-ρ(T(un)-T(u))‖.

由T:H→H关于g是η-强单调的且是β-lipschitz连续的,且g是δ-lipschitz连续的,得到

‖g(un)-g(u)-ρ(T(un)-T(u))‖2≤‖g(un)-g(u)‖2+ρ2‖T(un)-T(u)‖2-

2ρ〈T(un)-T(u),g(un)-g(u)〉=(δ2+ρ2β2-2ρη)‖un-u‖2,

故

参考文献：

[1]Bensousan A, Lions J.Applications des inequations variationelles en controle stochastique[M].Paris:Dunod,1978.

[2]Aussel D,Gupta D, Mehra A.Gap funtions and error bounds for inverse quasi-variational inequalities problems[J].J Math Anal Appl,2013,407(2):734-748.

[3]Guo X Y, Zhang C J.Some reaearch on the quasi-variational inequality and its application in traffic[J].Math Appl,2015,28(4):743-752.

[4]Noor M A.On general quasi-variational inequalities[J].J King Saud University-Science,2012,24(1):81-88.

[5]Noor M A.Differentiable non-convex functions and general variational inequalities[J].Appl Math Comput,2008,199(2):623-630.

[责任编辑：李春红]

Some Research of the Existence of Solution and the Algorithm on a Class of Quasi-variational Inequality

SUN Jie

(School of Applied Mathmatics, Nanjing Unversity of Finance & Economics, Nanjing Jiangsu 210023, China)

Abstract:In this paper,we establish the equivalence between a class of the Quasi-variational inequality and the fixed-point problem by projection lemma in Hilbert space.Then we use the equivalence to prove the existence of solution on some conditions for the Quasi-variational inequality.we construct the algorithms for this Quasi-variational inequality,and give convergence analysis.

Key words:quasi-variational inequality; existence of solution; algorithms

收稿日期:2015-12-05

通讯作者:孙杰(1990-),男,江苏淮安人,硕士研究生,研究方向为非线性分析及其经济应用. E-mail: 394978554@qq.com

中图分类号:0178

文献标识码:A

文章编号:1671-6876(2016)02-0095-04