“鸡兔同笼”问题与数学模型

周志　胡重光



“鸡兔同笼”问题与数学模型

周志胡重光

“鸡兔同笼”问题是中国古代著名趣题。这个问题最早见于成书约在1500年前的《孙子算经》：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”［1］意思是：有若干只鸡兔关在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚。问笼中各有几只鸡和兔？

由于它奇特有趣，我国的小学数学教材历来都在“典型应用题”中教学这个问题。现在的人教版新课标小学数学实验教科书则把它作为“数学广角”的一个内容。但是，有人认为，“鸡兔同笼”问题纯属虚构，没有应用性，解答该问题的假设法也没有普遍意义，因此属于过时的落后的数学问题，没有什么价值。

这些观点正确吗？本文将做一点深入的探讨。

一、“鸡兔同笼”问题的解法

首先我们以下面的题目为例探讨“鸡兔同笼”问题的解法。

例1一些鸡和一些兔子关在同一只笼子里。从上面数有20个头，从下面数有52条腿。问鸡兔各有几只？

1.假设法

这是最常用的解法，众所周知，毋庸赘述。

2.减腿法

这个方法被认为是最简单的，书上没有给它命名，为了方便，本文给它取了这个名字。

解法：让每只鸡和兔都抬起两条腿，这样笼子里的腿就减少了40条，而剩下的12条腿全是兔子的，并且每只兔子只有2条腿。所以兔子是6只。

用第一种解法，教学实践证明，小学高年级学生也有相当一部分难以理解。而第二种方法的最大问题是：你是怎么想到它的？

如果“鸡兔同笼”问题只有这两种解法，它的价值确实要大打折扣。但事实并非如此。

3.画图法

画图分析：画20个小圈代表20个头。先在每个头上都画2条腿，共得40条腿。还差12条腿，再在一些头上又添2条腿，添了6个头后，恰好添够12条腿，并且总共凑足52条腿（如图）。

从图中可以看出，4条腿的有6只，2条腿的有14只。因此，笼中共有6只兔子，14只鸡。

这种解法具体形象，具有可操作性，符合儿童的认知规律，小学低年级学生也能理解。并且解答的过程就是假设法的形象化，因此能为学习假设法打下基础。

4.列表法

仍以例1为例，教师列出下表。

鸡　0 1 2 兔20 19 18 腿80 78 76

这个表只填出头3列，后面的让学生接着填。下面的表是按照最慢的步调填的，实际上学生填几个数后一般就会跳跃着填，通过多次尝试就会发现规律，进而改进方法，速度就会快很多。因此教学时要给充分的时间让学生自主探索。

鸡　0　 1　 2　 3　 4　 5　 6　 8　 9 10 11 12 13 14兔　20 19 18 17 16 15 14 12 11 10 9　 8　 7　 6腿　80 78 76 74 72 70 68 64 62 60 58 56 54 52

用列表的方法解，一是儿童容易理解，二是能看出鸡兔腿数的变化过程。这种方法不但能为儿童理解假设法打下基础，而且渗透了函数的思想，对发展儿童的数学思维大有好处。

这两种解法大大提高了“鸡兔同笼”问题的数学教育功能，使“鸡兔同笼”问题成为小学数学的良好教学内容。

二、“鸡兔同笼”问题的变式

“鸡兔同笼”问题还有大量的变式，例如：

1.鸡兔同笼，共有15只头，鸡腿比兔腿多12条。求鸡兔各几只？

这些变式表明，“鸡兔同笼”问题的内容是相当丰富的。

例2蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现在有这三种小虫共18只，它们共有118条腿和20对翅膀，问每种小虫各有几只？

分析和解答：这道题条件比较复杂，为了便于分析，先将条件列表整理如下：

虫蜘蛛蜻蜓蝉腿（条）　翅（对）8 6 6 0 2 1

从表中可以看到，蝉和蜻蜓都是6条腿，因此可以把它们统一起来，都当作“六足虫”，而不考虑翅膀这个条件。这样问题就简化为：

八足虫和六足虫共18只，共有腿118条，两种虫各有几只？

这是典型的“鸡兔同笼”问题，用假设法容易求得，八足虫（蜘蛛）有5只，六足虫（蜻蜓和蝉）有13只。

下面再求蜻蜓和蝉各有几只。这时问题又转化为：

“二翅虫”和“一翅虫”共13只，共有翅膀20对，两种虫各有几只？

这又是简单的“鸡兔同笼”问题，再次使用假设法得蜻蜓（二翅虫）有7只，蝉（一翅虫）有6只。

三、“鸡兔同笼”问题的推广

以上关于“鸡兔同笼”问题的变式虽然揭示了许多新的数量关系，但这些问题仍然是虚构的，不具有应用性。然而“鸡兔同笼”问题还可以推广。下面举几个例子。

例3学校买大小椅子共20把，共用960元。大椅子每把60元，小椅子每把40元。大小椅子各买了多少把？

这道题虽然没有鸡、兔，但数量关系与“鸡兔同笼”问题完全相同，可以用假设法来解。

例4上山、下山共走19千米，共用5小时。上山的速度是每小时3千米，下山的速度是每小时5千米。上山、下山各走了几小时？

这道题也是“鸡兔同笼”问题，可以用假设法解：假设全是上山路或全是下山路。

例5一项工程，甲队独做需6小时完成，乙队独做需10小时完成。现在甲队做若干小时后，因另有任务由乙队接着做，合起来共用了7小时做完。问甲队做了几小时？

这道题也可以转化为“鸡兔同笼”问题。把这项工程平分为30份，那么甲队每小时做5份，乙队每小时做3份，合起来共用了7小时做完，求甲队做了几小时。“翻译”成“鸡兔同笼”问题就是：甲、乙两种动物共有30条腿、7个头。甲动物有5条腿，乙动物有3条腿。问甲动物有几只？

以上3例都没有鸡、兔，但数量关系与“鸡兔同笼”问题相同，并且都是生活、生产中广泛存在的问题。由此看来，“鸡兔同笼”问题虽然是虚构的，但其数量关系却是现实的，并非没有应用性。

不仅如此，有的问题尽管与“鸡兔同笼”问题的数量关系不同，但也可以用假设法解。

比实际多卖出：240-188=52（千克）。

例7甲、乙、丙三种笔记本的定价分别为每本2元、3元和7元，三种笔记本共买了47本，共用了212元。其中乙种笔记本购买的本数是甲种笔记本的2倍。三种笔记本各买了多少本？

分析和解答：假设三种笔记本的定价都是7元，那么47本共需：7×47=329（元）。

比实际情况多用了：329-212=117（元）。

拿出3本7元的，换入2本3元的、1本2元的（因为乙种笔记本是甲种笔记本的2倍），可以减少：7×3-（3×2+2）=13（元）。

要减少117元需要换：117÷13=9（次）。

因此，丙种笔记本有：47-3×9=20（本），乙种笔记本有：9×2=18（本），甲种笔记本有：9×1=9（本）。

这两个例子表明，假设法不仅是一种解题方法，更是一种思维策略，即首先将复杂的问题简化，然后作调整。它不仅能用于“鸡兔同笼”问题，还能用于许多其他实际问题。

四、“鸡兔同笼”问题的意义

由以上的介绍和分析可以看到，“鸡兔同笼”问题有以下意义。

1.数学教育意义

“鸡兔同笼”问题的多种解法分别适用于小学各年级的儿童，具有趣味性、可操作性和思考性，能培养儿童的数学兴趣，发展儿童的数学思维。

2.思维策略意义

解答“鸡兔同笼”问题的假设法是一种思维策略，其基本思想是“以退为进”，符合华罗庚所说的：善于“退”，足够地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍！因而具有重要的思维价值和广泛的现实意义。

3.数学思想意义

中国古代数学最讲究实用，出现“鸡兔同笼”这种纯属虚构的问题，初看起来似乎颇有些奇怪。然而从上面的例子可以看出，古人虚构这个问题的目的是为了给出一个数量关系的模型，凡是能够套上这个模型的问题，都可以用假设法来解。也就是说，“鸡兔同笼”问题体现了数学模型的思想。这一点在现代数学中具有重要意义。

20世纪中叶，随着现代数学的发展和电子计算机的诞生，建立数学模型日渐成为数学的主要目标之一。1998年，时任世界数学联盟主席的D.Mudford在论述现代数学的发展趋势时说：“创建好的模型正如证明深刻的定理一样有意义。我想，承认这一点，数学将会从中受益。”［2］

在发达国家，数学模型的思想方法已进入中小学数学教学。美国的小学数学教材编入了大量的关于数学模式和模型的教学内容。从以上的介绍和分析可以看到，“鸡兔同笼”问题作为一种数学模型，具有生动有趣、易于理解和接受的特点，可以说是我国数学教育得天独厚的资源。类似的还有盈亏术、百鸡术、求一术等。恰当地利用这类古代的问题，可以为数学模型的教学独辟一条具有民族特色的蹊径。

我国著名数学家吴文俊先生指出，中国古代数学的特点是：从实际问题出发，经过分析提高，再抽象出一般的原理、原则和方法，最终达到解决一大类问题的目的。①“鸡兔同笼”问题鲜明地体现了这一特点。吴文俊先生并认为，“将来的数学，应该是走中国古代数学的道路，而不是国际道路，这是一条总的趋势”。②

由此看来，研究中国古代数学的思想方法，特别是挖掘中国古代数学在数学教育方面的作用和意义，应该是我国数学和数学教育工作者责无旁贷的重要任务。

（作者单位：长沙市实验小学湖南第一师范学院）

参考文献

［1］李俨，钱宝琮。李俨钱宝琮科学史全集（第一卷）［M］。沈阳：辽宁教育出版社，1998。

［2］刘兼，孙晓天。数学课程标准解读［M］。北京：北京师范大学出版社，2002。

注释

①见《百度百科·吴文俊》。

②CCTV10大型人物访谈节目：《大师讲科普》——吴文俊，2008-01-28。