数学慢教育“全”“程”思维范式：内涵、价值及其阐释

孙朝仁　朱桂凤

【摘 要】 数学慢教育全程思维范式，以问题加工为载体，具有完备性和过程性特征.进一步研究可知，全程思维价值不止于突出思维的过程性和完备性特征，更在于突出经验的概括性和批判性.在此基础上，提出数学慢教育全程思维范式的三种形态，即陈述化前概念认知形态、程序化主概念认知形态和迁移化后概念认知形态，三种认知形态与知识加工的三个阶段密切相关.

【关键词】 初中数学；慢教育；全程思维范式

数学慢教育[1]作为系统思维范式，包括整体思维范式、曲线思维范式和全程思维范式.前两种思维范式，已于近期行文并刊发[2][3].“全程思维”因慢教育实施秩序的内在需要，滞后于前两种思维进行研究，本文呈现其研究成果.

本研究是以信息加工为立论基础，以全程思维的内涵建设、理论框架、分析实施为维度要素，进行实证研究，显化慢教育思维范式的思想力和示范力. 1 数学慢教育全程思维的内涵与价值

1.1 “全”“程”思维的内涵

在这里，“全”取“完备”之意；“程”取“过程”所指，是事物变化、发展经过的集中指向.从信息加工的角度来看[4]，思维是对感知记忆的信息进行加工而得出新信息的过程.数学慢教育环境下，全程思维是通过信息加工，让学生在经历表象、概念的基础上进行分析与综合、判断与推理、应用与迁移等认识活动的全过程.

一方面，全程思维具有“完备性”特征，包括前概念系统、主概念系统和后概念系统等系统产生式；另一方面，全程思维具有“过程性”特征，包括陈述化加工——概念的前概念行为，反映概念理解的工具性特征；程序化加工——概念的主概念行为，反映概念理解的概念性特征；迁移化加工——概念的后概念行为，反映概念理解的关系性特征，终于概念本质属性的把握.

整体思维范式，以统整教材为中介，突出思维的系统性特征；曲线思维范式，以方案比较为平台，突出思维的批判性特征；全程思维范式，则以问题加工为载体，突出思维的关系性特征.而就概念的概念理解来说，只有从工具性理解到达关系性理解，学生才能把握数学对象的本质[5].为此，在数学慢教育视野下，全程思维的启动，具有独特的元认知监控与调节价值.

1.2 “全”“程”思维的价值

数学慢教育课堂背景下，全程思维价值不止于突出思维的过程性和完备性特征，更在于突出经验的概括性和批判性特征.而这些思维特征正是元认知思维的起始状态，标志着创造意识的开始.全程思维起于系统思维的完备形态，终于经验关系的重组形态，终归于学习对象的元认知产生式形成（反问监控与逆向调节）.全程思维的实施作用，简概如下：

其一，元认知监控行为，顺应了认知迁移的概括性关系特征.

“反问”监控是慢教育元认知监控的主流行为，是对“正在做什么”“为什么这样做”“后续还应做什么”等思维关系特征的外在刻画.“反问”和“理答”是学生元认知思维的心理表现，需要监控和概括.学生自觉回答“什么”的思维过程就是概括顺应性迁移的过程，反映认知迁移的概括性关系特征.

事实上，顺应性迁移[6]是将原有认知经验应用于新情境中时，需要调整原有的经验或对新旧经验加以概括，形成一种包含新旧经验的更高一级的认知结构，以适应外界的变化.比如，我们在学习“图形的位似”时，就是通过概括“图形的相似”经验，进而实现进行顺应性迁移.因为相似仅从“形”的层面揭示图形变换的特征，而位似则从“形状”与“位置”两个维度来揭示图形变化的特征，因此“位似图形”就是包含新旧经验的更高级概念.

其二，元认知调节行为，遵循了经验改造的批判性特征.

逆向调节是元认知调节的关键环节，是以“逆向思维”形式呈现的，是对“正反例证”的内部逻辑关系的批判与权衡.回问调节“为什么是这样”“而不是那样”“还有更适合的途径吗”的过程就是重组性迁移的过程，包括方法的选择、思想的统整、经验的调节等正向迁移的关系特征，揭示元认知调节的实体价值.

从经验加工学角度来说，重组性迁移[7]指重新组合原有认知系统中某些构成要素或成分，调整各成分间的关系或建立新的联系，从而应用于新情境.比如，中国传统数学教育中的变式教学，其中隐性变式（譬如，变化参数、微妙的省去某些条件、变化背景等）目标，就是通过重组性迁移来实现的.在重组过程中，基本经验成分（心理原型）不变，但各成分间的结合关系发生了变化（譬如，条件和结论交换类变式等），即进行了改造或重新组合.当然改造和重组加工过程，必然有批判思维的参与，才有变式背景下的调节性迁移. 2 数学慢教育全程思维的范式与阐释

慢教育背景下，全程思维起于数学理解，终于概念关系的把握.数学理解[8]是对知识的正确、完整、合理的表征.它决定知识获得质量的可靠性、可用性和灵活性，这些关乎质量的质量因素高度影响思维范式的运行.数学慢教育全程思维范式涵盖陈述化前概念认知形态、程序化主概念认知形态和迁移化后概念认知形态.三种认知形态与知识加工的三个阶段密切相关.下面从实证层面，对全程思维范式的组成成分进行阐释.

2.1 陈述化加工启动前概念关系系统

数学科学不允许有前概念，但数学教育可以有前概念.在这里，慢教育认知环境下，我们把前概念行为看作先行组织行为的一个例子.这样，陈述化加工的具体材料就是前概念的背景知识，陈述化知识产生的过程就是前概念生长的过程.为此，陈述化加工阶段是慢教育全程思维的起始阶段，也是前概念系统形成阶段.

在知识加工的陈述化阶段，慢教育全程思维通过类比、举例、归纳、猜想、比较等认知加工过程，将大量不连续的、孤立的事实性知识组织成概念、原理、模型等概念性知识.这些概念性知识带有概念理解的初始状态特征，是一种主概念的先行组织行为.比如，恰当的情境就是前概念意识的外在表现.当然，从客观上来看，知识加工方式[9]分为理解性加工和支持性加工.从理解性加工方式来说，陈述化加工启动了概念的前概念系统.

数学慢教育全程思维在陈述化加工阶段，是靠“问题组块”的运行引动前概念系统的.具体加工步骤如下：一是创设系统情境，激活前概念意识；二是加工先行组织材料，引动前概念行为；三是分析解释并符号化表征前概念属性（模型），形成前概念产生式系统.

比如，慢教育研究组在探索“一元二次方程”概念时，设计两个维度的问题组块：

其一是，用类比的方法基于数学内部关系创设一元二次方程的前概念情境.即什么是一元一次方程？请写出1个一元一次方程；你能类比一元一次方程概念，给出一元二次方程概念吗？请写出3个不同形式的一元二次方程，并尝试符号化表达.

其二是，用还原概念的方法设计丰富的实际问题情境，启动一元二次方程的前概念系统.即让学生通过对“正方形桌面问题”“花圃围栏问题”“图书册数增长率问题”“梯子靠墙问题”及其系列变式问题的解决，建立一元二次方程模型.再让学生尝试用规范的数学语言进行表征，并符号化、一般化，终于一元二次方程概念的形成（ax2+bx+c=0，a、b、c为常数，且a≠0）.

从知识加工学来说，加工数学内部关系材料，前概念系统简单明了，但抽象思维水平高，需要类比、比较以及特殊到一般等数学方法的支持，方能获得高质量的陈述性前概念.因此，第一个情境适合学优生认知加工.

而加工实际背景材料，前概念思维过程带有“全程倾向”，即“实际问题→建构模型→拓展应用与解释”.思维加工水平起点低，适合“大众思维”，但是抽象、表征、符号化以及辨析、举例、类化，需要元认知监控与调节，方能突破前概念的思维定势，落实知识加工质量的“可靠性”.综上可知，“唯情境生活论”的知识加工思想“走偏”，需要根据学生的“数学事实”来确定情境创设走向；无论加工的材料是数学内部的、还是外部的世界，都需要让学生自主加工前概念模型，才能提升前概念生成的质量，终于概念的前概念关系形成.

2.2 程序化加工定位主概念关系系统

心理学研究表明，数学学习中获得程序性知识的质量，是通过运用概念和规则的精准度来反映的.程序性知识[10]包括技能、算法和技术等，这个阶段的认知加工过程包括应用（执行和实施）、分析（区别、组织和归因）与评价（检查和评判）.数学慢教育重视程序性知识的获得过程，强调通过程序性加工，人人获得相应水平的程序性知识（差异教学论）.也就是说，给学生充分的领悟分析、简单应用和适时评价的机会，使其获得应会能会的程序性知识，体现不同的人在数学上获得不同层面发展的教育理念.

事实上，在我们获得陈述性前概念后，需要进行程序性加工，在获得一定程序性心智技能前提下，前概念行为才自然转化为主概念行为（譬如，一元二次方程的解法步骤等）.慢教育数学课堂，通常是通过变式练习加工，促进程序性问题解决产生式形成.这一阶段，除了要重视练习的适度性、变式性和针对性以及层次性特征外，还需要巧妙的渗透方法程序性知识，才能提高个体生产的程序性知识的质量（能够用适当的方法解一元二次方程）.常用的方法程序性知识[11]有分析与综合、比较与分类、抽象与概括、归纳与演绎、系统化与具体化、抽象、模型化、及其验证.

比如，慢教育研究组在探索“一元二次方程的解法”时，就是遵循程序性知识加工的规律，定位主概念系统的关系（直接开平方法、配方法、求根公式法和因式分解法之间的逻辑关系）.具体实施步骤如下：一是让学生任意写出1个简单的一元二次方程表达式；二是让学生在自修的基础上，自主探索这些方程的可能解法；三是让学生借助合作交流平台，概括质疑解法步骤以及根的状态；四是教师进行针对性理答并渗透方法程序性知识，主要是集中指向分析与比较、概括与归纳、模型化与解释等程序；最后是让学生在“正本清源”的元认知监控中，获得系统的适配的一元二次方程的解法.

如果说第一步是前概念加工转化为主概念加工的“立交桥”形态，那么第二、三步是程序性加工的主概念行为，也是主概念定位的关键阶段，而第四、五步则是主概念产生式系统高质量形成的重要标识.就理解性加工来说，第一步是目标加工的起始状态，第二、三步是过程性目标状态，第四、五步则是结果目标状态的产物，终于“大概念”关系的加工与理解.就支持性加工来说，第一步为程序性加工提供先行组织材料；第二、三步是程序性知识获得的关键思维事件（归纳、变式与优化）；第四、五步是在元认知监控下的逆向思维加工，终于落实全程思维范式的题旨（解法选择力），标志概念的主概念系统关系的建立（双向回流力）.

2.3 迁移化加工联结后概念关系系统

迁移在学习中普遍存在，是一种认知活动对另一种认知活动的客观影响，或者是习得的经验对完成其他活动的主观影响.数学解题学中的“会一题，通一类，连一片”就是迁移的典型正例.通过迁移，各种经验得以沟通，经验结构得以整合.就这一点来说，这也是《义务教育数学课程标准（2011年版）》为什么强调“教师教学应该以学生的认知发展水平和已有经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教”的心理依据.数学慢教育突出了学生已有经验对后续学习的迁移作用，尤其是慢课堂教学的后半段，重视知识的连续性教学，强调后概念的发生作用，终于迁移加工对后概念系统形成的联结作用.

实践证明，迁移化加工与后概念系统的联结作用显著相关.就这一观点来说，也是慢课堂教学为什么非常重视教学环节过渡、章节体系过渡的根本原因.一般方法意义，迁移加工是靠模型化加工、系统的问题解决加工和元认知加工来实现的.数学慢教育课堂环境下，迁移加工有三个层次：一是通过模型加工，获得解决变式问题的基本套路（经验结构）；二是通过问题解决加工，获得以概念关系为指向的新问题解决策略；三是通过元认知加工，获得以思想方法为线索的后概念体系的完备性.这些层次常因常态课堂的“赶进度”“抓容量”而消退，是慢教育课堂实现教学迁移的可靠方法.

比如，数学慢教育研究组在探索“一元二次方程”概念起始课教学时，就是从上述三个层次进行过渡性“结课”，提高认知迁移加工的质量.具体实施如下：其一是，让学生任意写出1个简单的一元二次方程，给这一方程模型赋予适当的问题背景并求解解释；其二是，让学生刻画课本提供的实际问题中的数量关系，结合算术平方根的意义，尝试寻求一元二次方程解法；其三是，让学生回归总结，在以前哪些知识学习中，用了类比化归以及由特殊到一般的思想方法.这里，“写方程→赋背景→寻求解释”的过程，属于模型加工化迁移过程，反映单元后概念体系联结关系；“刻画数量关系→探求解法”，属于问题解决加工化迁移，反映章节后概念体系联结关系；“概括思想方法→回归思想方法体系”本身就是由一般到特殊思想的具体化行为，属于元认知监控范畴，反映教科书后概念体系联结关系.无论是哪种性质的迁移加工，抑或是哪种后概念联结关系的生长，最终都为提高知识获得质量的灵活性目标服务，终于实施全程思维范式的实践创造价值.

另外，全程思维范式不止于思维学的教育作用，还在于方法学的统整价值.这里，源于“做”文题旨不同，暂时不予研究，后续单独研究.

参考文献

[1] 朱桂凤，孙朝仁.初中数学慢教育的理论与实践[M].南京：江苏人民出版社，2015：1

[2] 朱桂凤.整体思维：数学复习教学的有效路径[J].江苏教育（中学教学），2015（7）：36-37，76

[3] 朱桂凤，孙朝仁.数学慢教育的曲线思维及其教学价值[J].中学数学杂志，2015（12）：4-7

[4] 王光明.数学教育研究方法与论文写作[M].北京：北京师范大学出版社，2010：57

[5] 马复.试论数学理解的两种类型——从R.斯根普的工作谈起[J].数学教育学报，2001，10（3）：50-51

[6] [7] 教育部人事司制定.教育心理学考试大纲[M].北 京：北京师范大学出版社，2002：73，74

[8] 黄艳玲，喻平.对数学理解的再认识[J].数学教育学报，2002，11（3）：40

[9] [10][11] 黄梅，黄希庭.知识的加工阶段与教学条件 [J].教育研究，2015（7）：108-115