圆形磁场周期性过定点问题的拓展探究

郑行军

摘 要：磁场的周期性过定点问题在题干设置时常常会综合带电粒子运动的周期性问题和隐含性问题，学生在处理这类问题时往往感觉思路模糊，无法解题。由于实现周期性过定点的粒子的运动轨迹具有一定的对称性，故从轨迹的角度出发归纳可能构建的题型，并结合物理规律和数学方法，实现对该题型的处理，希望能为学生提供解决此类问题的有效思路。

关键词：圆形磁场；对称性；磁场边界；圆心；对角

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2016）5-0015-4

圆形磁场的周期性过定点问题（即粒子在边界为圆形的磁场中做周期性运动后会经过某一特定位置的问题）是高中磁场类题目中的一个难点，这类题目要求学生根据题目的限制性条件画出粒子在磁场可能的运动轨迹，找出其几何关系。在题目分析过程中常常会涉及带电粒子运动的对称性和周期性，解题时需要将物理规律和数学方法相结合，归纳出圆周运动的半径、时间的通式，考查考生运用数学工具的能力和综合分析的能力[1]。本文从近几年的命题趋势中就其可能构建的题型进行归纳和整理，寻找其题目特征并提供相应的解题策略。

1 沿径向入射或出射型的模型解读

假设圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，区域半径为R，如图1所示。现有一电荷量为q，质量为m的正电荷从a点沿圆形区域的半径入射，经偏转后运动至b点，圆O实线部分为粒子的运动轨迹，由轨迹特点分析得到其出射方向也必沿半径方向[2]。

若粒子经过圆形区域内多次偏转后回至a点，则角度关系必满足nα=2kπ（k=1，2，3…）（n为粒子在磁场中偏转的次数，k为粒子在圆形区域内转过的圈数）。由几何关系知：θ+α=π，由于径向入射（出射）α<π[3]，故需满足n>2k。联立qvB=mr，t=T或t=T，即可求得粒子实现周期性过定点的时间的可能取值；连接OO1，联立qvB=m和tan=，即可求得轨迹半径的可能取值。

例1 如图3所示，3个同心圆是磁场的理想边界，圆1半径R1=R，圆2半径R2=3R，圆3半径R3（R3>R2）大小未定。圆1内部区域的磁感应强度为B，圆1与圆2之间的环形区域是无场区，圆2与圆3之间的环形区域的磁感应强度也为B，两个区域的磁场方向均垂直于纸面向里。t=0时一个质量为m，带电量为+q（q>0）的离子（不计重力），从圆1上的A点沿半径方向以速度v=飞进圆1内部磁场。问：

（1）若离子飞不出环形磁场圆3的边界，则圆3的半径R3至少为多大？

（2）在满足了（1）小题的条件后，离子自A点射出后会在两个磁场不断地飞进飞出，从t=0开始到离子第二次回到A点，离子运动的总时间为多少？

（3）在同样满足了（1）小题的条件后，若环形磁场方向为垂直于纸面向外，其他条件不变，从t=0开始到离子第一次回到A点，离子运动的路径总长为多少？

2 偏离径向入射或出射型模型解读

假设圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，区域半径为R，如图6所示。现有一电荷量为q，质量为m的正电荷从a点射入磁场，入射方向与半径夹角为β，经偏转后运动至b点，圆O实线部分为粒子的运动轨迹。

例2 如图7所示，半径为R的绝缘圆筒中有沿轴线方向的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，匀强磁场的磁感应强度为B，筒形场区的边界由弹性材料构成。一个质量为m、电荷量为q的正离子（不计重力）以某一速度从筒壁上的小孔M进入筒中，速度方向与半径成β=30 °夹角，并垂直于磁场方向。离子和筒壁的碰撞无能量和电荷量的损失。若选择合适的进入速度，离子可以从M孔射出。问：

（1）如果离子与筒壁发生两次碰撞后从M孔射出，离子的速率是多大？从进入圆筒到返回M孔经历的时间是多少？

（2）如果离子与筒壁发生n次碰撞在圆筒中转过一圈后从M孔射出，离子的速率又是多大？

（2）设碰撞n次后返回M孔时，如图9所示，每相邻两次碰撞点对应的场区的对角为α，则必须满足（n+1）α=2π。

由上述例题分析可知，磁场的周期性过定点问题中的粒子运动的轨迹往往具有一定的对称性，故在设置限制性条件时具有以下隐含性特点：①若粒子沿圆形磁场的半径方向入射或出射，则粒子每次到达磁场边界时速度方向也必沿半径方向；若粒子偏离半径方向以一定的角度（偏射角）入射或出射，则粒子每次到达磁场边界时速度方向与半径的夹角必相同，皆等于初始位置的偏射角。②粒子在实现周期性过定点时，轨迹的圆心角与对角、偏射角之间存在一定的隐含关系。故如果从对称性的角度[4]和角关联角度分析和解决此类问题，找出粒子在磁场中可能的运动轨迹，并结合周期性规律和数学方法归纳出半径、时间的通式，则此类问题都可以迎刃而解。

参考文献：

[1]王雷.带电粒子在磁场中运动的边界问题[J].物理教学探讨，2008，26（11）：3—4.

[2]范福生.带电粒子穿越有圆形边界匀强磁场的“对称性”分析[J].中学物理教学参考，2013，39（6）：41—42.

[3]杨玉良. 例析一类物理问题几何关系的简便求法[J].物理教学探讨，2015，33（9）：48—50.

[4]朱欣.带电粒子在电磁场中运动的对称美赏析[J].中学物理教学参考，2003，29（8）：38—41.