如何破解原创题，命题专家来揭秘

刘东升

由于近年来参与各级命题（中考、县区期末）工作，构思了很多原创考题，有机会在这里与大家一起分享，并讲解命题的心路历程，揭秘破题关键，也是很有意义的一件事.首先要指出的是，所谓原创题，并不是“天外飞来”，它一定有原型或影子，而这些原型往往就来自教材或同学们熟悉的经典习题，只是经过改编、包装甚至伪装，掩盖了问题的本来面目，这里破解的关键就需要同学们拥有孙悟空的“火眼金睛”.下面举例说明：

原创题1 已知a+=，求的值.

命题揭秘：这是一道例题改编，先熟悉这两种变形a+2=a2+2+，a-2=a2-2+.由a+=，可得a2+2+=11，a2+=9，进一步a2-2+=9-2，配方得a - 2=7，所以a-=±，即下面我们再把字母a换成m，然后再将条件适当变形，得出如下变式题：

变式题 设m>1，m2+1=4m，求的值.

【讲解】由m2+1=4m变形得（m+1）2=6m，（m-1）2=2m，于是=3，由m>1，所以.

原创题2 关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0的两个不相等的实数根都在0和1之间（不包括0和1），则k的取值范围是（ ）.

A. k>1 B. k<

C. 1

命题揭秘：首先由Δ=9-4k>0，得k<，且k≠0；接着从函数角度思考一元二次方程的两个实数根：抛物线y=kx2-3x+1图像如图1，于是从“形”的角度发现当x=1时，函数值一定为正数，即k-3+1>0，于是可以确定k的另一范围，从而最终获解.类似的，我们也可提供如下一道看似代数式求值问题，但本质上却需要通过二次函数图像“以形助数”思考.

变式题 已知实数m，n满足m-n2=1，则代数式m2+2n2+4m-1的最小值等于_______.

【讲解】待分析的代数式有两个变量，由已知条件变形m=n2+1，代入m2+2n2+4m-1中，消去m，可得（n2+1）2+2n2+4（n2+1）-1，整理，得（n2+4）2-12，令y=（n2+4）2-12，接下来就是分析函数y的最小值问题.如果简单地认为最小值是-12，则是缺少对自变量取值范围的常识理解.

因为对于n2+4来说，可以看成抛物线（如图2），根据非负数性质容易发现n2+4不小于4，故当n2+4=4时，如图3，抛物线y=（n2+4）2-12有最小值4.即原式最小值为4.

原创题3 已知：如图4，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F，OD到点E，使OF=2OA，OE=2OD，连接EF.将△FOE绕点O逆时针旋转α角得到△F′OE′（如图5）.

（1） 探究AE′与BF ′的数量关系，并给予证明；

（2） 当α=30°时，求证：△AOE′为直角三角形.

命题揭秘：这是我参与命题的一道中考试题，难点是第（2）问，不少考生都没有规范证明，出现很多想当然的错漏，需要排除干扰，把目光聚焦在△AOE′中，条件只有一个∠AOE′=60°，OE′=2OA，这时如果想到倍长OA（或取OE′的中点），构造等边三角形就能获得重要进展了.事实上，命题构思中，我们还有如下的两个拓展，这里不妨链接如下，供大家思考：

拓展思考1：当α为多少度时，AE′有最大（小）值？

拓展思考2：在图4中，连接AE，将线段AE绕点O旋转一周，若正方形的边长为2，则线段AE扫过的面积是多少？

【思路解析】拓展1中当点A，E′，O在同一直线上时取得最大（小）值，即当点E′落在OA延长线上时，AE′有最小值；当点E′落在AO的延长线上时，AE′取得最大值.而拓展2，有一个易错点就是以O为圆心，OA，OE为半径的同心圆之间的圆环，而这是个典型错误，较小的圆应该是过O作OH⊥AE于H，则OH是小圆的半径.

原创题4 如图6，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（0，2），取一点M（m，0），连接AM，作线段AM的垂直平分线l1，过点M作x轴的垂线l2，记l1，l2的交点为P.

（1） 当m=3时，在图中补全图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（2） 小敏多次取不同数值m，得出相应的点P，并把这些点用平滑的曲线连接起来，发现：这些点P竟然在一条曲线L上！

①设点P的坐标为（x，y），试猜想并说明曲线L是哪种曲线；

②设曲线L的最低点为Q，直线l1上有一动点N，连接QN.当△APM为等边三角形，且QN取得最小值时，求线段QN所对应的函数关系式.

规范解答：（因为这是一道中考原创模考题，下面先给出解答，然后再解说命题揭秘）

（1） 考查尺规基本作图，属于送分题.

（2） ①猜想：曲线L是抛物线.

理由如下：

如图7，连接AP，作PB⊥y轴于B，由l1垂直平分AM得PA=PM=y.

在Rt△ABP中，BP=OM=x，BA=PM-OA=y-2，根据勾股定理得（y-2）2+x2=y2，整理得y=x2+1.

即曲线L是二次函数y=x2+1的图像，即为抛物线.

②如图8，当△APM为等边三角形时，∠AMP=60°，

在Rt△AOM中，∠AMO=30°，∴AM=4，OM=2，

所以PM=AM=4，即P点坐标为（2，4）.

根据轴对称性质，易知P′点坐标为（-2，4）.

设直线l1交y轴于C点，可得点C坐标（0，-2），由点C，P可确定直线l1的解析式为y=x-2或y=-x-2.

易得曲线L的最低点为Q，坐标为（0，1），

如图8，当QN取得最小值时，作QN⊥l1于N点，此时点N的坐标为

命题揭秘：从上面的解答来看，这道考题的前两问并不复杂，主要难点在最后一问.概括来说，需要突破以下几个关键点：

第一，△APM为等边三角形能带来哪些特殊信息？

经过深入思考，等边三角形这个强化条件能带来点P在抛物线上的两处特定位置，这两个位置恰好关于y轴对称，即P点坐标为（2，4）或（-2，4）.此外，还能发现此时Rt△AOM也是特殊的三角形（含30°的直角三角形），明确其特殊性是后续解题的关键.

第二，当QN取得最小值时，点Q、N位置如何？

明确函数图像为抛物线之后，其最低点Q就是抛物线的顶点，而点N的位置如何呢？根据点到直线上各点距离的最小值是“垂线段”，所以作QN⊥l1于N点得到垂线段QN. 接着要思考的就是点N的坐标，从而明确线段QN所对应的函数解析式.这里要注意的还要考虑该函数解析式的自变量取值范围.