待定系数法在函数中的应用

徐志玲

若得知所求结果具有某种确定的形式，则可设定一些尚待确定的系数（或参数），再根据已知条件，选用恰当的方法，来确定这些系数，这种解决问题的方法叫做待定系数法. 待定系数法是数学中的基本方法之一，它渗透于初中数学教材的各个部分.

应用待定系数法解题通常有三种方法：比较系数法、特殊值法和消除待定系数法，其中以特殊值法应用最为广泛，下面以两道考题为例，辅导讲解.

例1 （2015·南京）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等. 如图1中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1（单位：元）、销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系.

（1） 请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义.

（2） 求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式.

（3） 当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？

【思路突破】（1） 点D表示成本与售价相等；

（2） 将点A、点B的坐标代入一次函数表达式；

（3） 求出获利的函数表达式，根据一次函数性质求解.

解：（1） 点D的横坐标、纵坐标的实际意义为：当产量为130 kg时，该产品每千克生产成本与销售价格相等，都为42元.

（2） 设线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式为y1=k1x+b1，

∵AB过点A（0，60）和B（90，42），

∴b1=60，90k1+b1=42.解得k1=-0.2，b1=60.

∴y1与x之间的函数表达式为y1=-0.2x+60（0≤x≤90）.

（3） 利用待定系数法可得y2与x之间的函数表达式为y2=-0.6x+120（0≤x≤130）.

设该产品产量为x时，获得的利润为W，W=x（y2-y1），注意x要分类讨论：

①当0≤x≤90时，

W=x（y2-y1）=x（-0.6x+120+0.2x-60）

=-0.4（x-75）2+2 250，

∴当x=75时，W值最大，最大值为2 250；

②当90≤x≤130时，

W=x（y2-y1）=x（-0.6x+120-42）

=-0.6（x-65）2+2 535，

∴当x=90时，W值最大，最大值为2 160.

因此当该产品产量为75kg时，获得的利润最大，最大利润为2 250元.

【解后反思】用待定系数法求一次函数解析式是中考考查重点，也是本题的解题关键，特别是第三问，要想求得最大利润必须要先求出CD段的函数解析式，然后根据利润=产量×（销售价-生产成本）得出利润的函数表达式，根据二次函数性质求出其最值.

例2 （2015·无锡）一次函数y=x的图像如图2所示，它与二次函数y=ax2-4ax+c的图像交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），与这个二次函数图像的对称轴交于点C.

（1） 求点C的坐标.

（2） 设二次函数图像的顶点为D.

①若点D与点C关于x轴对称，且△ACD的面积等于3，求此二次函数的关系式；

②若CD=AC，且△ACD的面积等于10，求此二次函数的关系式.

【思路突破】（1） 由二次函数的解析式，可求其对称轴为x=2，将x=2代入一次函数便可求点C的坐标.

（2） 由点D与点C关于x轴对称，可求点D的坐标及CD的长度；由△ACD的面积，可求A点的坐标从而求出函数解析式.

解：（1） ∵y=ax2-4ax+c=a（x-2）2-4a+c，

∴二次函数图像的对称轴为直线x=2，

当x=2时，y=x=，故点C2，.

（2） ①如图3，∵点D与点C关于x轴对称，且C2，，所以D2，-，CD=3，设Am，m，由S△ACD=3得：×3×（2-m）=3，

解得m=0，∴A（0，0）.

由顶点D2，-，可设二次函数的表达式为y=a（x-2）2-，过点A（0，0），

∴a=，∴y=（x-2）2-=x2-x.

②如图4，设Am，m（m<2），过点A作AE⊥CD于E，则AE=2-m，CE=-m，

AC==（2-m），

∵CD=AC，S△ACD=10，得×（2-m）·（2-m）=10，

解得：m=-2或m=6（舍去），

∴m=-2，∴A（-2，-），CD=5.

当a>0时，则点D在点C下方，

∴D2，-，

由A-2，-、D2，-，

得：y=x2-x-3；

当a<0时，则点D在点C上方，如图5，

∴D2，，

由A-2，-，

D2，，

得：y=-x2+2x+.

【解后反思】二次函数解析式有三种表达形式，即一般式、顶点式和交点式，先选定一种表达形式，再找到函数图像所经过的点的坐标，然后代入求出解析式.