判断说理题：形外正多边形

卜文静

伴随着新课标全面进入课堂，应运而生了一些形式新颖、富有趣味的考题.纵观近几年的中考试题，一类有关形外正多边形的题目，像一道靓丽的风景线映入眼帘，令人赏心悦目.

一、 形外正三角形

例1 如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD相交于点E，连接BC.

（1） 求∠AEB的大小；

（2） △OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点O旋转一定角度得到图2（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小.

【分析】本题主要考查等边三角形的性质，如等边三角形的每一个内角是60°，每一个外角是120°，各边相等等.在求角的度数时，往往是根据三角形全等，将相等的角进行转化，然后利用三角形的内角和或外角与内角的关系进行求解.

【略解】（1） 如图1，因为△OCD、△OAB都是等边三角形，所以OC=OD，∠COA=∠DOB=120°，OA=OB，

∴△COA≌△DOB，∴∠1=∠2.

而∠BFE=∠AFO，故∠AEB=∠AOB=60°.

（2） 解题过程与（1）类似，∠AEB =60°.

例2 如图3，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ. 以下五个结论：

①AD=BE；② PQ∥AE；③AP=BQ；

④ DE=DP；⑤∠AOB=60°.

恒成立的结论有________.（把你认为正确的序号都填上）

【略解】类似例1，可知△BCE≌△ACD，所以①AD=BE，⑤∠AOB=60°成立；且∠CAD=∠CBE，而∠ACB=∠BCQ，BC=AC，所以△ACP≌△BCQ，即③AP=BQ成立；同样，△DCP≌△ECQ，则CP=CQ，由于∠PCQ=60°，所以△PCQ是等边三角形，所以②PQ∥AE成立；④式不成立（DE≠QE=DP）.应填①②③⑤.

例3 如图4，△ABC和△DCE都是边长为2的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为_______.

【分析】△ABC和△DCE都是边长为2的等边三角形，所以BC=CD，∠DCE=∠E=60°，即∠DBE=30°，△BDE是直角三角形，cos30°=，因此BD=2.

二、 形外正方形

例5 如图5，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD=90°，且DC=2AB，分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是_______.

【分析】解决梯形问题常平移腰、平移对角线、延长两腰、作梯形的高将梯形转化为三角形或构造梯形的中位线，由于∠ADC+∠BCD=90°，所以可利用平移腰将梯形转化为三角形.

【略解】过B作BF∥AD交DC于点F，∠BFC=∠ADF，因为∠ADC+∠BCD=90°，所以∠FBC是直角；又AB∥CD，所以四边形ABFD是平行四边形，DC=2AB，故AB=DF=FC，AD=BF，由勾股定理，得BF 2+BC 2=FC2，即AD2+BC2=AB2，故S2=S1+S3.

例6 如图6，四边形ABCD、EFGH、NHMC都是正方形，边长分别为a、b、c，A、B、N、E、F五点在同一直线上，则c=_______.（用含有a、b的代数式表示）

【分析】由于四边形ABCD、EFGH、NHMC都是正方形，所以CN=NH，∠CBN=∠NEH=∠CNH=90°，∠CNB=∠NHE，所以△CBN≌△NEH，BN=HE=b，由勾股定理，得

例7 如图7，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE. 我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：

（1） ①猜想如图7中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；

②将图7中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图8、图9情形. 请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图8证明你的判断.

（2） 将原题中正方形改为矩形（如图10-12），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb（a≠b，k>0），第（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图11为例简要说明理由.

（3） 在第（2）题图11中，连接BG、DE，且a=3，b=2，k=，求BE2+DG2的值.

【分析】证明线段相等，角相等，两直线平行，两直线垂直等常考虑三角形全等.

【略解】（1） ①BG=DE，BG⊥DE.

②如图8，BG=DE，BG⊥DE仍然成立.易证△BCG≌△DCE，∴BG=DE，∠GBC=∠CDE，∠BHC=∠DHO，

∴∠DOH=∠BCD=90°，即BG⊥DE.

（2） 如图11，BG⊥DE成立，BG=DE不成立.

易证△BCG∽△DCE，