七下代数重点概念汇总

陈妹

一、 幂的运算

本章核心内容是幂的运算性质，运用幂的运算性质进行运算是一般到特殊的过程，学生要能正确进行计算，能“以理驭算”，为后续整式乘法的学习做铺垫.

【内容】对于任意底数a，b，当m，n为正整数时，有

am·an=am+n（同底数幂相乘，底数不变，指数相加）

（am）n=amn（幂的乘方，底数不变，指数相乘）

（ab）n=anan（积的乘方，把积的每一个因式乘方，再把所得的幂相乘）

am÷an=am-n（同底数幂相除，底数不变，指数相减）

a0=1（a≠0）（任何不等于0的数的0次幂等于1）

a-n=1/an（a≠0）（任何不等于0 的数的-n次幂等于这个数的n次幂的倒数）

【举例】教材第1节中，计算“地球与太阳之间的距离”；第2节中，解决“100个104相乘黑板上写不下”的问题；第3节中“我国人均水资源量”的问题，通过这些问题引导学生感受生活中处处有数学，帮助学生更好地感受数学的本质.

二、 整式乘法与因式分解

本章核心内容为整式乘法与因式分解，其中整式乘法中包含：单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的基本法则及完全平方公式和平方差公式的运用.

【内容】1. 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.如： ac5bc2=（a·b）·（c5·c2）=abc5+2

=abc7.

2. 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，书中用不同方法计算长（b+c+d）、宽a的长方形的面积得到a（b+c+d）=ab+ac+ad.

【说明】计算过程中要不重不漏，按照顺序，注意常数项、负号，理解单项式与多项式相乘的本质是乘法分配律.

3. 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相乘，例如：（a+b）（m+n）=am+an+

bm+bn.

4. 乘法公式：

（1） 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

字母表示：（a+b）（a-b）=a2-b2.

（2） 完全平方公式：两数和[或差]的平方，等于它们的平方和加[或减]它们积的2倍.

（a±b）2=a2±2ab+b2.

5. 因式分解：把一个多项式化成几个整式积的形式，也叫作把这个多项式分解因式.

【解读】

（1） 提公因式法. 关键：找出公因式.

公因式三部分：①系数（数字）——各项系数最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数.步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式.需注意，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项.

【说明】注意：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的.

（2） 公式法.①a2-b2=（a+b）（a-b），其中 a、b可以是数也可是式子；②a2±2ab+b2=（a±b）2.

因式分解三要素：（1） 分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式；（2） 因式分解必须是恒等变形；（3） 因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止.

三、 二元一次方程组

本章核心概念有：二元一次方程、二元一次方程组、二元一次方程组的解.概念简单，但方程是中学数学的一项重要内容，也是解决问题的重要工具，因此熟练掌握二元一次方程组尤为重要.

【内容】1. 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程.

【解读】既要看原始形式，又要看它的最终形式.

【举例】x+y-1=2x.

2. 含有两个未知数的两个一次方程所组成的方程组叫作二元一次方程组.

3. 二元一次方程组中两个方程的公共解叫作二元一次方程组的解.

4. （1） 代入消元法：把二元一次方程中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫作代入消元法，简称代入法.

（2） 加减消元法：当方程组中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法.

四、 一元一次不等式

本章核心概念有：不等式、不等式的解、不等式的解集、解不等式、不等式的性质，生活中处处都有量与量之间的不等关系，不等式是刻画现实世界不等关系的有效模型.

【内容】

知识点一：不等式的概念

1. 不等式：

用“<”（或“≤”），“>”（或“≥”）等不等号表示大小关系的式子，叫作不等式.用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.

【解读】（1） 不等号的类型：

① “≠”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能明确两个量哪个大哪个小；

（2） 要正确用不等式表示两个量的不等关系，就要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义.

2. 不等式的解：

能使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解.

【解读】由不等式的解的定义可以知道，当对不等式中的未知数取一个数，若该数使不等式成立，则这个数就是不等式的一个解，我们可以和方程的解进行对比理解，一般地，要判断一个数是否为不等式的解，可将此数代入不等式的左边和右边利用不等式的概念进行判断.

3. 不等式的解集：

一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集.求不等式的解集的过程叫作解不等式.如：不等式x-4<1的解集是x<5. 不等式的解集与不等式的解的区别：解集是能使不等式成立的未知数的取值范围，是所有解的集合，而不等式的解是使不等式成立的未知数的值.二者的关系是：解集包括解，所有的解组成了解集.

【解读】不等式的解集必须符合两个条件：

（1） 解集中的每一个数值都能使不等式成立；

（2） 能够使不等式成立的所有的数值都在解集中.

知识点二：不等式的基本性质

基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变；

符号语言表示为：如果a>b，那么a+c>b+c，a-c>b-c；

基本性质2：不等式的两边都乘上（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；

符号语言表示为：如果a>b，并且c>0，那么ac>bc（或>）；

基本性质3：不等式的两边都乘上（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.

符号语言表示为：如果a>b，并且c<0，那么ac

【解读】（1） 不等式的基本性质1的学习与等式的性质的学习类似，可对比等式的性质掌握；

（2） 要理解不等式的基本性质1中的“同一个整式”的含义不仅包括相同的数，还有相同的单项式或多项式；

（3） “不等号的方向不变”，指的是如果原来是“>”，那么变化后仍是“>”；如果原来是“≤”，那么变化后仍是“≤”；“不等号的方向改变”指的是如果原来是“>”，那么变化后将成为“<”；如果原来是“≤”，那么变化后将成为“≥”；

（4） 运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质3，在乘（除）同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，要记住不等号的方向一定要改变.

知识点三：一元一次不等式的概念

只含有一个未知数，且含未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，系数不为0.这样的不等式，叫作一元一次不等式.

【解读】（1） 一元一次不等式的概念可以从以下几方面理解：

①左右两边都是整式（单项式或多项式），②只含有一个未知数，③未知数的最高次数为1；

（2） 一元一次不等式和一元一次方程可以对比理解.

相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的最高次数都是1，左右两边都是整式；

不同点：一元一次不等式表示不等关系（用“>”“<”“≥”“≤”连接），一元一次方程表示相等关系（用“=”连接） .

知识点四：一元一次不等式的解法

1. 解不等式：

求不等式解的过程叫作解不等式.

2. 一元一次不等式的解法：

与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，解一元一次不等式的一般步骤为：（1） 去分母；（2） 去括号；（3） 移项；（4） 合并同类项；（5） 系数化为1.

【解读】（1） 在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用.

（2） 解不等式应注意：①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；②移项时不要忘记变号；③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；④在不等式两边都乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变.

3. 不等式的解集在数轴上表示：

在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助.

【解读】在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：

（1） 边界：有等号的是实心圆圈，无等号的是空心圆圈；（2）方向：大向右，小向左.

【说明】1. 不等式的基本性质是解不等式的主要依据（性质2、3要倍加小心）.

2. 检验一个数值是不是已知不等式的解，只要把这个数代入不等式，然后判断不等式是否成立，若成立，就是不等式的解，若不成立，则就不是不等式的解.

3. 解一元一次不等式是一个有目的、有根据、有步骤的不等式变形，最终目的是将原不等式变为x>a或x

4. 将一元一次不等式的解集在数轴上表示出来，是数学中数形结合思想的重要体现，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.

5. 用一元一次不等式解答实际问题，关键在于寻找问题中的不等关系，从而列出不等式并求出不等式的解集，最后解决实际问题.

（作者单位：江苏省南师附中江宁分校）