高中“直线与圆的位置关系”的教学设计

◇　北京　高　宇　郑拴平



高中“直线与圆的位置关系”的教学设计

◇北京高宇郑拴平

“直线与圆的位置关系”一课是应学校要求,面向“国培计划”培训老师的一节研究课,在本节课的设计、实施等环节中,有不少值得思考的问题初中教材利用直线和圆的公共点个数定义了直线和圆的位置关系,并给出了利用圆心到直线距离与圆半径的比较判断位置关系的方法．高中阶段再学习该内容,与初中比较有什么区别呢?

笔者认为高中教材关于直线与圆位置关系的判定,是对初中定义和判定方法的解析、诠释，是后续学习直线与圆锥曲线位置关系的基础,所以在高中阶段学习“直线与圆的位置关系”,研究问题的方法与初中相比发生了根本的变化．鉴于此，笔者对本课的教学进行了如下设计,侧重于探究直线与圆方程联立所得方程组解的情况与几何位置的关系．

1学情分析

题号解答情况1百分率/%解答情况2百分率/%正确率/%1相离、相切、相交1001002用直线与圆的交点个数判断68用圆心到直线的距离与半径比较判断321003(1,3),(9,-13)98984代数方法:联立后判断kx2+x-1=0根的个数(考虑到k=0情况的仅占14%)69几何方法:数形结合判断过定点(0,1)、斜率存在的直线y=kx+1与反比例函数图象交点的个数3151

从测试结果看,学生清楚直线与圆的位置关系,知道通过圆心到直线的距离与半径的比较判定直线与圆的位置关系,会解简单的二元二次方程组,大多数学生知道通过联立方程判断2条曲线交点的个数,具备了一定用代数方法研究几何问题的意识,但思维缺乏一定的深度、严谨性不足;少部分学生能通过直线的方程分析直线的几何特征,具备一定的数形结合意识和能力,但对相切位置缺乏深入细致思考．

2教学重点与难点

由于直线与圆的位置关系是直线与圆锥曲线学习的开端,如果不对“为什么可以通过方程组解的个数判断直线与圆的位置关系”“消元后是否一定是一元二次方程”“该方程的解有哪些情况”等问题问个究竟,学生会将现有认识“自然迁移”到后续的学习中,造成盲目列方程、解方程的程序化操作,而不问其中蕴含的几何意义,偏离了解析几何教学的宗旨．另一方面,学生刚开始学习解析几何,对于其基本思想的理解缺少丰富实例的支撑,用解析法研究直线与圆的位置关系,是学生体会解析几何基本思想的良好载体,有必要引导学生通过思考对方程组解的情况与其几何含义(曲线的位置关系)有清晰的认识．基于此,设定了本课的教学目标及教学重、难点．

2.1教学目标

1) 掌握判断直线与圆位置关系的2种方法;

2) 经历“利用方程研究直线与圆位置关系”的过程，体会研究解析几何的基本方法和数形结合思想;

3) 通过对“利用判别式判定直线与圆的位置关系”方法正确性的思辨和应用过程中提高思维的严谨性和灵活性．

2.2教学重点与难点

3教学过程

3.1复习引入

问题1初中学习过的直线与圆有哪些位置关系?分别是如何定义的?如何判断?

问题2平面几何是研究平面图形的形状、大小和位置关系的学科,所以初中阶段从几何直观的出发,得到了直线与圆的位置关系和判断方法.高中阶段再谈直线与圆的位置关系,你认为研究的角度和方法应该有什么样的变化?

【设计意图】在复习基础上思考并感悟解析几何研究问题的方法,明确本节课要研究的问题及研究方法,使学生对学习任务有明确的认识.

3.2初步尝试与分享

【设计意图】让学生尝试解决问题并分享不同的解题方法．在交流中明确不同方法中方程的作用,初步感受利用代数方法研究几何问题的思想.建立“方程组的解”与“曲线的交点”之间的联系,为进一步的研究做好准备．

3.3思考辨析、完善认识

【设计意图】用判别式可判断一元二次方程根的个数,所以在这里也可用判别式判断直线与圆的交点个数——这是学生在知识迁移过程中很容易产生的一种感性认识,然而一元二次方程解的个数是否等价于方程组的个数,这样的方法是否合理、正确,学生也许并未思考太多．问题3的提出促使学生思考感性认识的结果是否严谨、正确,完善对知识的理解和认识．

3.4归纳思辨、加深认识

问题4请归纳判断直线l:Ax+By+C=0 与圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0位置关系的方法.

方法2联立直线方程与圆的方程,利用判别式.当Δ>0时,相交;Δ=0时,相切;Δ<0时,相离.

【设计意图】归纳判定直线与圆位置关系的方法,明确方程在判定过程中的作用,体会解析几何通过研究方程来研究几何问题的基本方法,突出重点．

问题5联立直线方程与圆的方程消元后得到的一定是一元二次方程吗?

问题6判别式能判断相应一元二次方程根的个数,可以用它判断方程组解的个数吗?为什么?

【设计意图】促使学生思考并分析利用判别式判断直线与圆的位置关系方法的严谨性,加深学生对该方法的理解和认识、对知识形成一定的理性认识,突破难点．同时提升学生思维的严谨性,养成理性思维的习惯,为之后学习直线与圆锥曲线(尤其是直线与双曲线、抛物线)位置关系打好基础．

3.5课堂练习、巩固知识

学生活动:2人一组,学生互相出题并解决——给出直线和圆的方程,判断直线与圆的位置关系.

【设计意图】初步应用知识生成课堂教学资源．通过展示和交流,评价方法的优化问题．加深学生对知识的认识,增强优化意识．如学生出示如下练习：

1) 直线x=2与圆x2+y2=1;

2) 直线x=2与圆x2+y2-2x+y-1=0;

3) 直线3x+4y-5=0与圆x2+y2-2x+y-1=0.

通过评价，明确练习1)解方程最简捷，练习2)适合用判别式判断,而练习3)则利用圆心到直线的距离判断最简捷．

方法3直线l变形为y-1=a(x-1),恒过定点P(1,1),且点P在圆C内,故相交.

【设计意图】一题多解开阔思路,提升思维灵活性.通过对不同方法的比较,加深认识和理解．

3.6课堂小结

1) 知识:直线与圆的位置关系及判断方法.

2) 方法:体会解析几何“利用代数方法研究几何问题”的方法.

3) 思维习惯:注重思维的严谨性.

4教学效果

本课从学生实际出发,以问题为导向进行教学设计,取得了良好的教学效果．设计紧密切合学生实际,在学生最近发展区内设计问题串,通过对问题的思考、辨析，突破本课难点．在很大程度上关注学生思维能力的提升,引导学生思考解题方法的合理性和严谨性．此外,注重在课堂上为学生搭建交流、展示与评价的平台,开发学习资源,加深对知识的认识．

(作者单位：北京市第十二中学)

重点:判断直线与圆的位置关系的方法.

难点:对“利用判别式判定直线与圆的位置关系”代数方法正确性的思辨.