高数教学中数学思想方法的应用分析

任晓燕

[摘 要] 大学高等数学教育旨在培养学生的综合能力和应用技能，同时也要注重培养学生的数学学习能力。在大学高等数学教育中运用数学思想方法，不仅可以加深学生对高数知识的理解，还能有效培养学生的问题分析和解决思维能力，全面增强学生的数学素质，促进学生综合素质的提高。主要深入探究了大学高数数学中数学思想方法的应用及其意义，为类似研究提供一些参考。

[关 键 词] 高数；数学思想；方法应用

[中图分类号] G712 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2016）28-0134-02

大学高等教育的目的不但是帮助学生积累扎实的理论知识，而且要引导学生掌握一定的学习方法，培养学生的学习思维。在大学教育中，高等数学是一门理论性、抽象性较强的学科，学生学习起来较为吃力，很容易对高数学习产生倦怠心理。在高数教学过程中运用数学思想方法辅助教学，除了可以有效培养学生的抽象思维，帮助学生巩固知识外，还能深化高数知识内容，促进高数教学活动的顺利开展。数学思想和数学方法是数学知识体系中的重要组成部分，学生要想更好地理清各个数学知识点间的关系，有效解决数学问题，可以采用数学思想和方法去建立数学模型，提高高数学习成效。因此，教师在大学高数教学中，加强学生对数学思想方法的认识，引导学生学会运用数学思想方法去解决实际数学问题，增强学生的数学素质。

一、高数教学中数学思想方法的应用意义

数学思想方法伴随着数学概念的延伸和数学知识的拓展，它不仅是数学内容中的本质思想，更是联系各个数学知识点的重要纽带，因此，数学思想方法的学习和掌握应是高数教学中的重要内容之一。在大学高数教学中加强数学思想方法的教学，具有以下几方面意义。

（一）加强数学思想方法教学，有效培养学生的数学能力

培养学生的数学能力，主要是指培养学生的数学思维能力、逻辑推理能力、空間想象能力、运算能力及问题分析解决能力。学生通过长期的数学学习，已经掌握了丰富的数学理论知识，但缺乏将数学知识转化为数学能力的条件，即学生还没做到灵活运用数学知识解决各类数学问题，这主要是因为学生还没充分掌握数学思想方法。学生在学习高数知识初期会积累一定的感性认识，当感性认识积累到一定量，学生便会加深对高数知识的理解，从而对高数知识产生理性认识，形成数学思想方法。此时，教师只需引导学生灵活运用数学思想方法解决数学问题，学生的数学能力便会得到有效提高。

（二）加强数学思想方法教学，有效培养学生的创新思维能力

数学思想方法是伴随数学概念、数学知识的产生而逐步发展的，数学思想方法的创新也会促使数学知识的变革和发展。由此可见，数学思想方法是数学发展的重要推动力，不论是拉格朗日中值定理，还是二次积分求面积，这些内容都是数学学者在数学思想方法上进行创新变革所得。大学高数教学的目标是在学生掌握扎实理论知识的基础上，高效培养学生的创新思维能力，而数学思想方法正是有效培养学生创新意识的重要途径。教师在高数教学过程中渗透数学思想方法，有助于学生掌握数学知识类比迁移的方法，从而促进学生将数学知识转化为数学能力，便于学生对数学知识的创新与发展，培养学生的创新思维。

（三）加强数学思想方法教学，有效培养学生的学习能力

高等教育旨在为企业培养一批具有高文化、强技能的应用型人才，良好的数学素质能高效培养学生的终身学习能力和可持续发展能力，保证高校学生能适应市场岗位需求。高数教学涉及众多内容，但教学课时相对较少，因此，教师要在短暂的教学时间内让学生掌握具体数学知识并灵活应用数学知识是十分困难的。为解决这一矛盾，教师应将数学思想方法渗透到高数教学过程中，引导学生逐步掌握高等数学中的数学思想、数学方法、问题分析方法、问题解决对策等，切实增强学生的数学素质，丰富学生的数学知识，使学生能自觉运用数学思想方法去解决实际的数学问题，發展学生的终身学习能力。

二、高数教学中数学思想方法的应用分析

数学思想方法是发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的重要途径，数学思想方法包含数学思想和数学方法，数学思想着重数学指导思想，即解题策略；数学方法侧重数学实践应用，即解题方法。目前，高等数学中常用的数学思想方法主要有以下几种。

（一）数形结合思想

数形结合思想是指运用函数的精确性去描绘某些曲线图形的特征属性，充分表现几何图形的直观性，其本质是以函数描绘图形特点，以图形反映函数特征。在高等数学中运用数形结合思想可以实现数量与图形间的对应转换，将抽象思维与形象思维相结合，精准解决数学问题。在高数教学内容中，需要运用到数形结合思想去解决的内容主要有：导数、极限、定积分、重积分的几何解释；线面积分、定积分、重积分的计算求解；函数图形的单调性、奇偶性、连续性、凹凸性、极值、拐点；无穷数列收敛性等。

（二）类比思想

类比思想是指针对具有部分相同属性的两个或两类对象进行推理类比的思想方法。在高等数学教学中，类比思想常应用于数学概念、定理性质及解题应用，例如，函数的左极限和右极限，函数的左导数和右导数等都可以运用类比分析的思想方法加深学生的理解；又如，二元函数极限概念可以类比到一元函数极限概念，二元函数偏导数概念可以类比到一元函数导数概念。因此，教师在高数教学中应积极引导学生应用类比思想，将自己已知的数学知识、方法、思维方式类比迁移到数学新知识、新方法、新思维方式中去，有效培养学生的类比推理能力，发展学生的创新性思维。

（三）极限思想

数列及函数的极限求解都体现了从有限至无限的极限变化思想，极限思想是解决一些实际问题但无法求得精确解时常用的方法。极限思想最先是用来求解圆面积，具体是利用增加圆内接正多边形的边数来求解圆的近似面积；后来，极限思想又被推广应用到利用平均速度的时间改变量趋近于零的方法求解变速直线运动的瞬时速度；接着，极限思想又被应用到利用矩形面积边长无限接近于零去求解曲边梯形面积中。在高等数学中，导数、定积分、无穷级数收敛性等都可以用极限思想来求解。

极限思想本质上是一种关乎“变与不变”“有限与无限”“精确与近似”的辩证思想，理解掌握、灵活运用极限思想分析、解决高数问题是培养学生数学思维、提高学生数学能力的关键。因此，在高数教学中，教师应有针对性地在数学概念、定理性质中引导学生掌握极限求解思想，高效培养学生的数学解题思想能力。例如，在讲到定积分相关内容时，为求解曲边梯形的面积，我们可以利用极限思想将曲边梯形想象成是由无数个小矩形近似形成的，引导学生形成一种“无限细分、无限接近、无限求和”的数学思想。教师在高数教学中渗透极限思想方法，能加深学生对高数知识的认识，便于学生更容易接受后续二重积分、三重积分的学习，同时增强学生的数学思维能力，有助于学生运用极限思想去思考、解决实际的数学问题。

（四）简化思想

高等数学中有大量概念定义、规律定理和运算方法，学生在学习过程中要全部掌握且灵活运用是很困难的。为提高高等数学教学成效，教师可以将抽象的高数知识简化凝练，便于学生理解、掌握和应用。同时，要培养学生的简化意识，让学生形成“复杂问题简单化”的解题思想，抓住数学问题的解题关键，全面培养学生的数学能力。

例如，在讲到利用高数导数去描绘函数图形的内容时，可以运用“点、线、面”结合分析的方法，即运用函数导数去分析函数的奇偶性、单调性、极值性、凹凸性和拐点特征，精准描绘函数图像，具体操作步骤为：（1）确定函数定义域和值域。（2）综合分析函数特征，考察函数的特性，如奇偶性、连续性和周期性。（3）求出函数的渐近线，再求出函数的极值点和拐点，研究函数的单调性和凹凸性。（4）求出函数的相关特殊点，例如与x轴和y轴的交点和容易计算的函数值的点的坐标。（5）根据函数的特征点、单调性、渐近线、连续性、奇偶性，画出函数图像。

在教师的引导下，学生能牢固掌握函数图像的描绘技巧，通过大量的练习实践，学生加深了对函数特性的认识，形成了“按部就班”的数学问题简化思想，有效培养了学生的数学思維，全面增强了学生的数学能力。

（五）转化及化归思想

转化及化归思想是指在解决毫无解题头绪的高数题目时，可通过运用观察分析、类比推理、联想转化的方式换个角度分析思考数学问题，并将该问题化归称为自己已知的高数知识范围内进行求解。高数问题分析中常见的转化及化归思想包括数形结合思想、函数与方程变换思想等，常用的问题转化手段则有分析法、反证法、构造法等，常见的转化及化归基本类型主要有：常量与变量间转化、函数与图形转化、实际问题与数学模型的转化等。转化及化归思想能将复杂分析变为简单分析，将抽象问题变为具体问题，便于解题。

例如，在高數中函数的导数内容包括一元函数的导数、多元函数的偏导数等，因此，在讲到一元函数的导数时，教师可把函数的本质讲清楚，即导数本质是函数变化率，它忽略了自变量和因变量的代表意义，只从数量层次上来表现变化率，简单来说，函数是相对于自变量的变化率。学生在掌握一元函数导数的含义后，在学习多元函数偏导数时，当考虑到函数中一个变量变化而另一个变量固定不变时，则可以将多元函数求偏导转化为一元函数的求导问题，将复杂的数学问题简化处理，培养学生的转化及化归思想，提高学生的数学素质。

总之，数学思想方法是数学知识和数学规律的提炼，它不仅能反映各个数学知识间的内在联系，还能有效解决各类数学问题，是一种高效的解题指导思想。由于高等数学具有内容复杂、理论抽象的特点，为提高高数课程教学成效，教师应在教学过程中加强数学思想方法的教学，多与学生互动交流，引导学生主动发现高数知识点间的规律，激发学生的学习兴趣，充分培养学生的自主学习能力和创新能力，全面提升学生的综合素质。

参考文献：

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[2]姜文旭.论在高数教学中数学思想方法的应用[J].时代教育，2015（2）：129.

[3]杨保红.浅谈高数教学中数学思想方法的相关应用[J]. 课程教育研究，2014（2）：148-149.