浅谈解析几何的双向功能

李建杰 王楠

【摘要】 本文试图从数形结合的角度，借助常见的曲线方程、几何量和几何关系的代数表示，结合有关实例，就运用解析几何方法解决代数问题进行了探讨，强调强化利用几何方法审视代数问题这一功能意识的重要性，提出辨别代数问题中蕴涵的几何意义是利用几何方法解决代数问题的关键，并结合具体示例提出了运用解析几何方法解决代数问题的具体途径和方法，为实现解题过程的直接、简捷，避免繁复的代数运算提供了思路.

【关键词】 解析几何；双向功能

杰出地哲学家、数学家笛卡尔，从方法论的高度把代数和几何通过坐标系这个桥梁结合起来，将曲线用方程表示，运用代数方法研究几何问题，建立了解析几何. 桥梁总是双向通行的，作为哲学家的笛卡尔还考虑了将代数中的方程看作某个坐标系中的曲线，即反向应用几何方法解决代数问题. 他发现了用抛物线和圆的交点求三次和四次代数方程的实根这一著名的笛卡尔方法. 可见解析几何自从来到世间，就肩负着双重的使命：从几何到代数，也从代数到几何，即它具有双向功能.

解析几何方法的实质是通过坐标系把方程（方程组）同几何对象对应，使图形的几何关系在其方程的性质中表现出来. 把这个方法应用于几何，将几何问题转化为代数问题来解决，“以数解形”，这是解析几何的主要功能，这种方法是普遍有效的，已成为几何研究中的一个基本方法. 把这个方法应用于代数，即通过解析几何将代数问题转化为几何问题来解决，“以形解数”，这也是一个功能，不过，它不具有普遍性，其前提条件是这个代数问题具有几何意义. 然而，在我们的解析几何教学中，总把代数到几何附属于几何到代数，对解析几何的第二功能的重要作用重视不够，本文就此问题谈点看法.

一、建立将代数问题转化为几何问题的功能意识

有一些代数问题，只要我们用解析几何的眼光去看，一眼就能看出其具有的明显的几何意义，将其转化为几何问题很容易解决. 但如果只知道使用代数方法，想不到使用解析几何方法，其运算可能很繁琐. 这就要求教师在教学过程中，通过例题，向学生阐明解析几何除了具有解决几何问题的功能外，还具有解决代数问题的功能，即具有双向功能. 要培养学生具备运用解析几何的眼光审视代数问题的意识，只有具备了这种意识，才会主动分析面临的代数问题所具有的几何意义.

二、用解析几何的眼光审视代数问题所具有的几何意义

由于一个代数问题能用几何方法来解决的前提是它具有几何意义，一看到某些代数表达式，通過“直接翻译”马上就能说出它的几何意义. 即使所遇到的有些代数问题，其几何意义虽然不能直接一眼看出，但我们可以灵活地运用解析几何知识，通过变形、联想、猜想，赋予其特定的几何意义，从而将其转化成几何问题，简化解法或直观发现来解决. 本文将通过实例来说明如何把较复杂的代数、三角问题转换成几何问题，借助相关公式、性质、图形的特征、位置关系等来探求思考途径和解决方法.