杨帆
摘 要:“直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况”这一知识点,在教材中起着承上启下的作用。本文探讨的重点是如何引入并深刻理解线面垂直的定义,并通过直观感受,操作确认得到直线与平面垂直的判定定理。
关键词:线线垂直;任意;线面垂直;相交
中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1992-7711(2016)12-079-1
一、课堂实录
1.创设情境,建构定义
回顾旧知,引入课题
[问题1] 直线和平面有几种位置关系?
[问题2] 在这些图中,有没有直线与平面相交的位置关系呢?
[问题3] 你怎么判断直线与平面垂直的呢?
师生活动:让学生举例生活中有哪些线面相交的位置关系,并为最特殊的一种线面相交命名,并让学生利用手中的工具摆出“线面垂直”的情形,学生能初步说出自己如何判断“线面垂直”。
设计意图:让学生通过操作、联想、感知“线面垂直”是线面相交的一种特殊情况,并让学生直观感受判断线面垂直的方法。学生初步错误判断只要一条直线垂直于平面内的一条直线,则直线垂直于平面。
2.创设情境,启发定义
情境 请同学们观察比萨斜塔图片。
[问题4] 为什么感觉斜塔是斜的?
[问题5] 那地面上有没有一条直线与比萨斜塔垂直呢?
[问题6] 那“不斜”,也就是“垂直”的判断标准是什么?
[问题7] “所有”直线是指哪些直线呢?
师生活动:借助“比萨斜塔”的“斜”从反面启发定义,请学生刻画出斜塔与地面不垂直的原因,体会到“线面垂直”的特征。
设计意图:“比萨斜塔”的“斜”是因为地面上可以找到一条直线与它不垂直,而“不斜”则是在平面内找不到一条直线与已知直线不垂直,即平面内所有直线都与已知直线垂直。从而得知之前学生的判断“如果一条直线与平面内一条直线垂直,那么这条直线垂直于平面”是不精确的。
3.认识定义,巩固深化
[问题8] 请你给“直线与平面垂直”下个定义。
思考:
(1)如果一条直线与平面内无数条直线垂直,那么这条直线垂直于平面吗?
(2)如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线垂直于平面内的所有直线吗?
师生活动:辨析定义,提出“能用‘所有与‘无数替换‘任意吗?”;通过讨论问题“如果一条直线与平面内无数条直线垂直,那么它与平面垂直吗?”,进一步认识定义,体会定义中“双向叙述”的功能。
设计意图:通过对关键词“任意”的分析,让学生深刻体会到“无数”并不等价于“所有”,这个辨析过程也为判定定理做了铺垫。
定义中既体现了由“线线垂直可以定义线面垂直”,同时也体现了“线面垂直可以得到线线垂直”——即平面的垂线垂直于平面内的任意一条直线,这也是判定线线得垂直的方法之一。
二、操作验证,感知判定
[问题9] 在实际操作中,你如何判定一条直线与平面垂直?
师生活动:学生发现在平面内找任意一条直线与已知直线垂直并不好操作,从而激发学生寻求判定线面垂直的新方法。让学生思考讨论,请多个学生给出判定直线与平面垂直的方法。师生共同讨论,根据已有知识和经验,排除错的判定方法,猜想正确的方法。学生能够猜想到:一条直线垂直于平面内的两条相交直线就可以得到这条直线垂直于这个平面。
设计意图:用定义直接判定直线与平面垂直是十分困难的,因为难以做到对平面内每一条直线都一一检验,所以有必要寻求一个便捷的判定方法,从而引发学生思考。
三、确认猜想,形成定理
1.操作试验
师生活动:学生带着猜想,通过实验:“(1)怎样将一本书立在桌面上,使得书脊能与桌面垂直?这样的书至少需要几页呢?(2)将手中的练习纸折叠,折痕满足什么条件,折痕与桌面垂直?”进行动手操作,确认猜想。
设计意图:直线与平面垂直的判定定理不需要证明,只需要通过生活中的实例,直观感知并操作确认,学生更容易接受。
2.形成判定
师生活动:由学生总结线面垂直的判定定理,并用文字语言、图形语言和符号语言表示“直线与平面垂直”的判定定理。
设计意图:通过试验操作确认,进一步增强学生的直观感受的同时进行理性思考,最终形成定理。接着要求学生用三种语言表示它,认识定理。
[问题10] 与直线与平面垂直的定义相比,判定定理的优越性在哪里?
[问题11] 现在判断线面垂直有哪些方法?这两种方法有什么共同点?
设计意图:让学生感悟到由“无限化为有限”的思想方法。通过问题11,让学生体会“线面垂直化为线线垂直”,“降维转化”的思想方法。
四、例题讲解,巩固新知
[问题12] 在正方体ABCDA1B1C1D1中,求证:(1)AC⊥平面BDD1。(2)求证:AC⊥BD1。
师生活动:学生分析条件以及要证明的结论,合理选择方法,教师板书示范解题过程,并引导学生归纳。
設计意图:利用所学知识解决直线与平面垂直的有关问题,体会转化思想在解决问题中的应用。
五、小结回授,感悟数学
[问题13] 本节课你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法?试用自己理解的语言叙述。
[问题14] 这节课我们学习了哪些数学思想方法?
设计意图:以问题讨论的方式进行小结,培养学生反思的习惯,鼓励学生运用自己理解的语言对问题进行质疑和概括。