教材中一道例题的引用

康聪

由书中例题进行拓展，对2015年的高考数学的相应试题有很好的解题帮助.

人教A版选修2-1.41页 例3.

如图1，设点A，B的坐标分别为（-5，0），（5，0）.

直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是-，求点M的轨迹方程.

解：设点M的坐标为（x，y），因为点A的坐标是（-5，0），所以，直线AM的斜率kAM =（x ≠ -5）；同理，直线BM的斜率kBM =（x ≠ 5）.由已知有 × = -（x ≠ ±5），化简，得点M的轨迹方程为 + = 1（x ≠ ±5）.

55页 探究

如图2，点A，B的坐标分别为（-5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，试求点M的轨迹方程.

解：设点M的坐标为（x，y），因为点A的坐标是（-5，0），所以，直线AM的斜率kAM =（x ≠ -5）；同理，直线BM的斜率kBM =（x ≠ 5）.由已知有 × =（x ≠ ±5），化简，得点M的轨迹方程为 + = 1（x ≠ ±5）.

拓展1 已知椭圆方程 + = 1（a > b > 0）实轴上的两点分别为A（-a，0），B（a，0），椭圆上的点M（x，y）异于A，B两点，求证：kMA·kMB = -.

拓展2 已知双曲线方程 - = 1实轴上的两点分别为A（-a，0），B（a，0），双曲线上的点M（x，y）异于A，B两点，求证：kMA·kMB =.

引用1 （2015年新课标2理）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶点为120°，则E的离心率为 （ ）.

A. B. 2 C. D.

解：由题意可知，AB = MB，kAM =，kAM·kBM = 1①，由拓展2得kAM·kBM =②联立①②得，a = b，則E的离心率为，选D.

引用2 （2015年重庆文）设双曲线 - =1（a > 0，b > 0）的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F做A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则双曲线的渐近线的斜率为 （ ）.

A. ± B. ± C. ±1 D. ±

解：由题意可知，k = -k①，∵ A1B⊥A2C，

∴ k ·k = -1②，联立①②得k ·k = 1，

由引理2知，k ·k =，得到a = b，选C.