珠算累加法正态分布几何量统计公式和函数表

干有成 刘立云 赵霖 黄裕泉

摘 要 古代珠算累加法构成累加三角数表，由N^2推导出的单峰型和双峰型几何量数学模型、统计公式 、函数值以及百分位量表等，都是我国古老的一种统计方法，它与我们的现实生活有密切的联系，它仍有实际的使用价值，真可谓是小算盘中有大学问，但是现在已近失传，现在整理如下。

关键词 累加法三角数表 单峰型对称分布 双峰型对称分布 累加法统计公式 累加法数学模型

中图分类号：O211.3 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2016.06.008

Abstract The cumulative number of triangle is derived from Chinese ancient beaded plate， single peak type and double peak type of geometrical symmetric distribution and its statistical formula function table and scales they are derived from “N^2”.This is a n ancient method of statistics， but it has a close relationship with our real life. It still has practical application value but almost lost now.

Key words cumulative number of triangle； single peak symmetric distribution； double peak symmetric distribution； statistical formula of accumulative method； mathematical model of accumulative method

1 中国古代珠算累加三角数表：

古代珠算累加法是由N^2推演而来，当N=2时，1+2+1=4；当N=3时，1+2+3+2+1=9；当N=4时，1+2+3+4+3+2+1=16。珠算累加法是珠算基础训练的方法，它既形象又直观地展现对称分布相关数据的规律（表1），频数公差为“1”频数分布和量表呈现三角形，此乃为珠算累加三角数表。

2 中国古代珠算累加法统计公式：

2.1 累加法单峰统计公式的推导（表2）

2.2 累加法双峰统计公式的推导：（表3）

2.3 累加三角统计公式：

3 累加三角“正态分布几何量”数学模型①

几何量计量是十大计量方法之一，“量块”是几何量的一种，它的横截面为矩形，量块形状简单，量值稳定。

古代珠算累加法，累加频数级差为“1”，对应的量表量公差也为“1”，以正方形“量块”为计量单位所构成的塔形三角的即为累加三角几何量数学模型（图1）。将频数和对应的量表数转化成“0”为起点的二维坐标实体的“量块几何图，例如方块累加和倒加，结果成为单峰型塔形正态分几何图和双峰型正态分布几何图。

4 古代珠算累加三角几何量数学模型②和中国传统五级百分及其百分位函数表（表4）

中国古代五级百分考试成绩几何量量表为（0-50），将基数“0”改为“50”，则百分制的量表为（50-100），这是中国古代的一大发明。这个发明可以解决当今世界的一大难题，60分以下为不及格（E），故被学生戏称为“60分”为“万岁分”，而不用补考。60～69为及格（D），70～79为中级（C），80～89为良级（B），90-100为优级（A）。

根据累加双峰统计公式：因为量表为2N=500，所以双峰值N=250；频数累加总和=N^2+N=250^2+250=62750；根据累加频数统计公式：（N^2）/2+N/2计算，分别计算出量表数（100、200、250）的累加频数为（5050、20100、31375）；根据累加百分位统计公式：累加频数/频数总数，分别计算其累加百分位为（0.08、0.32、0.5）；因为是对称分布，所以量表数（300、400、500）的累加百分位分别为（0.68、0.92、1）。任何人都可以根据公式计算出500分位即（0-500）＼（500-1000）中的每一分的百分位（百分率），分辨率降低一个数量级即为（0-50）＼（50-100）的五级百分位函数值（表4）。

优（A）级（90-100），其占有量为8%，即8%的原始分应转换成优（A）级，并可转换成对应的90-100分；良（B）级（80-90），其占有量为32%-8%=24%，即24%的原始分应转换成良（B）级，并可转换成对应的80-90分；同理中（C）级（70-80），其占有量为68%-32%=36%，即36%的原始分应转换成中（C）级，并可转换成对应的70-80分；而及格（D）级（60-70），其占有量为24%，即24%的原始分应转换成及格（D）级，并可转换成对应的60-70分；不及格为（E）级（50-59），其占有量为8%，即8%的原始分应为不及格（E）级。

以古代珠算累加法统计公式（（n^2/2+n/2）/（N^2+N））， （n^2/2+n/2）/62750），“n”为自然数变量（0-250）。将“n”代入公式，就能轻而易举地计算出正态分布五级百分位上每一分所对应的百分位（表4），简明直观而精准。

5 古代珠算累加三角几何量数学模型和考试成绩原始分转换③

我国古代五级百分有四个阈值点（图3）：“60”（0.08）、“70”（0.32）、“80”（0.68）、“90”（0.92）。所有考试成绩原始分都不呈正态分布，但是通过四个阈值点的百分位就能将原始分分为对应的五级（50-60-70-80-90-100）；再分别从五级原始分中，确定每一级的最高分（H）和最低分（L）（详见中国科举”五级百分”计量标准研究（一）表1）；将原始分代入公式：[（X-L）/（H-L）]？0+阈值分，就能将原始分转换成正态分布的五级百分标准分。

例如：XX高级中学XX班三学科期终考试成绩原始分转换成正态分布的五级百分。④三学科原始分的最高分分别为“86、 100、96”，皆等值为“100”，跨域阈值“0.08”的原始分皆等值为“90”，跨域阈值“0.32”的原始分皆等值为“80”，跨域阈值“0.68”的原始分皆等值为“70”，跨域阈值“0.92”的原始分皆等值为“60”；将原始分“X”，分别代入阈值区原始分等值公式：[（X-L）/（H-L）]？0+阈值分，其转换分即为五级百分正态分布的“标准分”。

6 结论

根据我国古代珠算累加法构成的三角数表，可分为单峰型和双峰型两种；根据相关的统计公式，可以精确地计算其量表上五级百分序列上的每一分所对应的百分位，这是西方教育统计学至今无法精确计算的一种表达方式；根据五级百分位上四个阈值点的百分位，可将群体考试成绩的原始分从频数百分位量值上等值，化分成正态分布的五个阈值区；再根据线性等值转换公式，就可将群体考试成绩的原始分在等距量表上转换成正态分布的标准分。

注释

① 史永刚，冯新泸，李子存.化学计量学.中国石化出版社，2015.

② 黄裕泉，樊正忠，陈彩安.遗传学.高等教育出版社，1995.

③ 赵寿元，黄裕泉.人类遗传学概论.复旦大学出版社，1996.

④ 张厚粲，徐建平.现代心理与教育统计学.高等教育出版社，2009.