概率与统计典例及其变式探究

刘族刚　寇玉琴

[概率事件]

例[1] 如图1，并联电路中元件[a，b]在某段时间内接通的概率分别为[p1，p2，]且元件[a，b]接通与否互不影响，求此并联电路接通的概率.

解析 设在某段时间内元件[a，b]接通的事件分别为[A，B，]因为元件[a，b]接通与否互不影响，所以[A，B]相互独立，且[P（A）=p1，P（B）=p2].

方法一：（利用互斥事件解题）此并联电路要被接通，则元件[a，b]至少一个接通，则此电路被接通的事件为[A?B+A?B+A?B.]

由于[A?B，A?B，A?B]互斥，

则[P（A?B+A?B+A?B）][=P（A?B）][+P（A?B）+P（A?B）]

[=P（A）P（B）+P（A）P（B）+P（A）P（B）]

[=p1（1-p2）+（1-p2）p1+p1p2][=p1+p2-p1p2].

方法二：（利用和事件解题）此并联电路要被接通，则元件[a]通或元件[b]通，故此并联电路被接通的事件为[A+B，]则[P（A+B）=P（A）+P（B）-P（A?B）=P（A）+P（B）-P（A）?][P（B）][=p1+p2-p1p2].

方法三：（利用对立事件解题）此并联电路被断开的事件为[A?B]，由于[A，B]相互独立，则[A，B]也相互独立，从而此并联电路被接通的概率为[1-P（A?B）=1-P（A）?P（B）][=1-（1-p1）（1-p2）=p1+p2-p1p2.]

点拨 本题三种解法体现了集合“容斥原理”“互斥事件”“和事件”等知识的交融. 从结构化的角度看“集合”“简易逻辑”与“概率”，三者在概念、运算及其性质等方面有一定的对应关系. 研究它们之间的联系，有益于我们从不同角度观察数学的各个模块或分支，深化对数学知识的认知.

变式1 用[2n]个相同的元件组成一个系统，按先串联后并联（如图2）的方式连接，如果每个元件能否正常工作是相互独立的，且每个元件能正常工作的概率为[p].求此系统正常工作的概率[P].

解析 [n]个相同元件串联构成的“子系统”正常工作时必须每一个元件都正常，故此“子系统”正常工作的概率为[pn.] 由此可知，由两个这样的“子系统”并联组成的该系统正常工作的概率为[P=1-（1-pn）2=2pn-p2n].

变式2 用[2n]个相同的元件组成一个系统，按先并联后串联（如图3）的方式连接，如果每个元件能否正常工作是相互独立的，且每个元件能正常工作的概率为[p]. 求此系统正常工作的概率[P].

解析 由例1知，两个元件并联构成的“子系统”能正常工作的概率为[1-（1-p）2=2p-p2][=p（2-p）]，所以[n]个这样的“子系统”串联组成的该系统正常工作的概率为[P=[p（2-p）]n].

点拨 将[n]个元件串联而成的子系统分别当作例1中的元件[a，b]就成了变式1. 因此，变式1是例1的引申，而变式2则是例1的应用.

[概率模型]

例2 给定正数[6]，然后随意写出两个小于[6]的正整数（这两个数可以相等），求这两个数与[6]一起能构成锐角三角形的概率.

分析 从[1，2，3，4，5]中取出的两个数可以相等，故这是一个有放回的抽样，“随意写出”说明事件是等可能的，故本题是一个“古典概型”.

解 设取出的两个数为[（m，n），]则[m，n∈1，2，3，4，5]，共有[5×5=25]种取法，即[（1，1）]，[（1，2）][（1，3）]，[（1，4）]，[（1，5）]，[（2，1）][（2，2）]，…，[（5，5）]，取到每一种的可能性相同，能够构成锐角三角形的只有[（4，5）]，[（5，4）]，[（5，5）]三种，所以这两个数与[6]一起能构成锐角三角形的概率为[P=325.]

变式1 给定正数[6]，然后随意写出两个小于[6]的正实数（这两个数可以相等），求这两个数与[6]一起能构成锐角三角形的概率.

解析 设写的两个数为[x，y]，依题意知[x，y]要满足[0而[x，y，6]能构成锐角三角形（其中[6]为最大的边），应满足的条件是[0